全国联赛第一讲集合.docx
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1、全国联赛第一讲集合集合 第一讲: 集 合 集合的划分反映了集合与子集之间的关系,这既是一类数学问题,也是数学中的解题策略分类思想的基础,在近几年来的数学竞赛中经常出现,日益受到重视,本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1集合的概念 集合是一个不定义的概念,集合中的元素有三个特征: 确定性 设A是一个给定的集合,a是某一具体对象,则a或者是A的元素,或者不是A的元素,两者必居其一,即aA与aA仅有一种情况成立。 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素. 无序性 2集合的表示方法 主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常
2、用数集如:N,Z,Q,R应熟 记。 3实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换,有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集,要注意它们的几何意义。 4子集、真子集及相等集 ABAB或AB; ABAB且AB; ABAB且AB。 5一个n阶集合有2个不同的子集,其中有21个非空子集,也有21个真子集。 6集合的交、并、补运算 nnnAIB=x|xA且xB AUB=x|xA或xB A=x|xI且xA 要掌握有关集合的几个运算律: 交换律 AUBBUA,AIBBIA; 结合律AUUC, AI(AIB)IC; 分配律 AUI AI (AIB) U 01律 AUfA,AIIA AUI
3、I,AIff 等幂律 AUAA,AIAA 吸收律 AU(AIB)A,AIA 求补律 AUAI,AIAf 第1页 集合 反演律 AUB=AIB,AIB=AUB 7有限集合所含元素个数的几个简单性质 设n(X)表示集合X所含元素的个数 n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AIB) 当n(AIB)=f时,n(AUB)=n(A)+n(B) n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C) n(AIB)-n(AIC)-n(BIC)+n(AIBIC) 8映射、一一映射、逆映射 映射 设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的 任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从
4、集合A到集合B的映射,记作f:AB。上述映射定义中的A、B,可以是点集,数集,也可以是其他集合。 和A中元素a对应的B中的元素b叫做a的象,a叫做b的原象。A中的任何一个元素都有象,并且象是唯一的。 一一映射 设A、B是两个集合,f:AB是从集合A到集合B的映 射,如果在这个映射的作用下,对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象,且B中的每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B上的一一映射。 逆映射 设f:AB是集合A到集合B上的一一映射,如果对于B中的 每一个元素b,使b在A中的原象a和它对应,这样所得映射叫做映射 f:AB的逆映射,记作f-1:BA。 注意:只有一一映射,才有逆映射。
5、 要能够根据这三个概念的定义,准确地判断一个给定的对应是不是映射,是不是一一映射,并能求出一一映射的逆映射。 解题指导 元素与集合的关系 221设Aa|ax-y,x,yZ,求证:2k-1A(kZ); 4k-2A (kZ) 分析:如果集合Aa|a具有性质p,那么判断对象a是否是集合A的元素的基本方法就是检验a是否具有性质p。 22解:k,k-1Z且2k-1k-(k-1),故2k-1A; 第2页 集合 假设4k-2A (kZ),则存在x,yZ,使4k-2x2-y2 即(x-y)(x+y)=2(2k-1) (*) 由于x-y与x+y具有相同的奇偶性,所以式左边有且仅有两种可能:奇数或4的倍数,另一方
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