计淑静开题报告.doc
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1、鞍山师范学院数学系 12届学生毕业设计(论文)开题报告课题名称: 勒贝格积分与黎曼积分的关系学生姓名:计淑静专 业:数学与应用数学班 级:08级4班学 号:080429指导教师:赵艳英2012年 1 月 10 日论文开题报告论文题目:勒贝格积分与黎曼积分的关系一、选题意义1、现实意义:把实变函数论的主体内容与经典微积分学结合起来进行比较分析,主要从积分的定义、性质及重要定理等方面对勒贝格积分与黎曼积分进行比较分析,阐明二者之间内在的联系与区别,旨在为实变函数理论学习提供一些参考与帮助。勒贝格积分和黎曼积分极大地推动了数学的发展,继而能够比较容易的解决有关几何、物理甚至经济等自然学科的相关问题。
2、 2、理论意义:勒贝格(Lebesgue)测度与积分理论的发展奠定了近代分析数学的基础,而这一变革和发展的根基就是经典的黎曼(Riemann)积分。因而Riemann积分的概念和理论是十分重要的在数学分析的教学中,Riemann积分占据了主导内容,同时也是学习数学分析的后续课程-常微分方程、复变函数论、实变函数论、概率论以及力学课程的重要基础。勒贝格积分黎曼积分有着密切的联系,它是黎曼积分的拓广,比黎曼积分优越,对黎曼积分起指导保证作用,利用它来研究黎曼积分的许多概念可得到较为深刻的结果,提供黎曼积分本身无法解决的一些问题的理论根据;反过来,黎曼积分是勒贝格积分的模型。二、论文综述1、理论渊源
3、及演进过程勒贝格积分理论作为分析学中的一个有效工具的出现,尤其是他在三角级数中应用的高度成功,吸引了许多数学家,例如P法国(Fatou),F里斯(Riesz)和E菲舍尔(Fischer)等,来探讨有关的问题,使得这一领域开始迅速发展其中特别是里斯关于Lp空间的工作(注:勒贝格可积的函数全体构成的距离空间是完备的),使得勒贝格积分在积分方程和函数空间的理论中持久地占有重要的位置勒贝格积分是以昂利.勒贝格命名的,他于1904年引入了这个积分定义。今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。广义地说是相对于一个测度而定义的函数积分。狭义则是指相对于勒贝格测度在实直线。或者更高维数的欧式空间的一个子集中定义的
4、函数的积分。在闭区间a和b之间对函数f的积分可以被看作是求f的函数图像下的面积。对于多项式这样比较常见的函数来说这个定样比较常见的函数来说这个定义简而易懂。但是对于更加稀奇古怪的函数来说它是什么意思呢?广义地来说,对于什么样的呢?广义地来说,对于什么样的函数“函数图像下的面积”这个函数“函数图像下的面积”这个呢?广义地来说,对于什么样的函数“函数图像下的面积”这个概念有意义?这个问题的答案具有很大的理论性和实际性意义。19世纪里在数学中有把整个数学理论放到一个更加坚固的基础上的趋势。在这个过程中数学家也试图给积分计算提供一个稳固的定义。波恩哈德.黎曼提出的黎曼积分成功地为积分运算提供了一个这样
5、的基础。黎曼积分的出发点是构造一系列容易计算的面积,这些面积最后收敛于给定的函数的积分。这个定义很成功,为许多其它问题提供了有用的答案。但是在求函数序列的极限的时候黎曼积分的效果不良,这使得候黎曼积分的效果不良,这使得这些极限过程难以分析。而这个分析比如在研究傅里叶级数、傅里叶变换和其它问题时却是极其重要的。勒贝格积分能够更好地描述在什么情况下积分有极限。勒贝格积分所使用的容易计算的面积与黎曼积分所使用的不同,这是勒贝格积分更加成功的主要原因。勒贝格的定义也使得数学家能够计算更多种类的函数的积分。比如输入值为无理数时输出值为1,其它情况下输出值为0的狄利克雷函数没有黎曼积分,但是有勒贝格积分。
6、黎曼积分的重要推广,分析数学中普遍使用的重要工具。 2、国外有关研究的综述19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分,例如黎曼积分(简称R积分)、黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)等。只要相应的函数性质良好,用这些积分来计算曲边形面积、物体 、重心、物理学上的功、能等,是很方便的。然而,随着认识的深入,人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数,例如,由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数,两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在讨论它们的可积性、连续性、可微性时,经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。因此,在理论和应用上都
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