二次函数与平行四边形综合(1).docx
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1、二次函数与平行四边形综合第十八讲二次函数与平行四边形综合 一、教学内容 1.二次函数的表示,二次函数图像与性质; 2.平行四边形的性质和判定; 3.函数图像与平行四边形的综合应用,典型应用、图像题; 二、例题细看 3 已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+6与x轴、y轴的交点分 别为A、B,4将OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C. 直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式; 若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由; Q为线段BT上一点,直接写出QA-QO的取
2、值设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,范围. 二次函数综合题 y B H 1Cx OA1D T 点A的坐标是纵坐标为0,得横坐标为8,所以点A的坐标为; 点B的坐标是横坐标为0,解得纵坐标为6,所以点B的坐标为; 由题意得:BC是ABO的角平分线,所以OC=CH,BH=OB=6 AB=10,AH=4,设OC=x,则AC=8-x由勾股定理得:x=3 点C的坐标为将此三点代入二次函数一般式,列的方程组即可求得; 求得直线BC的解析式,根据平行四边形的性质,对角相等,对边平行且相等,借助于三函数即可求得; 1 如图,由对称性可知QO=QH,|QA-QO|=|QA-QH|当点Q与点B重合时,Q、H、
3、A三点共线, |QA-QO|取得最大值4;设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K,当点Q与点K重合时,|QA-QO|取得最小值0 例1.(浙江义乌市) 如图,抛物线y=x-2x-3与x轴交A、B两点,直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2 求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式; P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值; 点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由 A 如图,点O是坐标原点,点A(n,0)是x轴上
4、一动点(n0).以AO为一边作矩形AOBC,点C在第二象限,且OB=2OA矩形AOBC绕点A逆时针旋转90得矩形AGDE过点A的直线y=kx+m(k0)交y轴于点F,FB=FA抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H,过点H作HMx轴,垂足为点M 求k的值; 点A位置改变时,DAMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变?说明你的理由 y CB GD FM OxAE H 由题意知OB=2OA=2n,在直角三角形AEO中,OF=OB-BF=-2n-AF,因此可用勾股定理求出AF的表达式,也就求出了FB的长,由于F的坐标为据此可求出m,n的关系式,可用n替换掉一次函数中m的
5、值,然后将A点的坐标代入即可求出k的值 思路同一样,先用n表示出E、F、G的坐标,然后代入抛物线的解析式中,得出a,b,c与n的函数关系式,然后用n表示出二次函数的解析式,进而可用n表示出H点的坐标,然后求出AMH的面积和矩形AOBC的面积进行比较即可 2 2 在图1,2,3中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标,写出图1,2,3中的顶点C的坐标,它们分别是(5,2), , ; y y y y B(c,d) C B(c,d) B(c,d) B(1,2) CC C O (A)图1 D(4,0)x O (A)图2 D(e,0)x A(a,b)D(e,b)D(e,f)O 图3 x A(a,
6、b)O 在图4中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标,求出顶点C的坐标图; 归纳与发现 通过对图1,2,3,4的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f)时,则四个顶x 点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为 ;纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为 运用与推广 1519c,c,Sc,c,2222H(2c,0)问当c为何值时,该抛物线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的P点坐标 在同一直角坐标系中有抛物线y=x-(5c-3)x-c和
7、三个点G-2 3 如图1,RtDABC中,A=90,tanB=3,点P在线段AB上运动,点Q、R分别在线段BC、4AC上,且使得四边形APQR是矩形设AP的长为x,矩形APQR的面积为y,已知y是x的函36)的抛物线的一部分 数,其图象是过点(12,求AB的长; 当AP为何值时,矩形APQR的面积最大,并求出最大值为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论: 36)在图1中表示什么呢? 张明:图2中的抛物线过点(12,36)李明:因为抛物线上的点(x,y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系,那么(12,表示当AP=12时,AP的长与矩形APQR面积的对应关系. 赵明
8、:对,我知道纵坐标36是什么意思了! 孔明:哦,这样就可以算出AB,这个问题就可以解决了. 请根据上述对话,帮他们解答这个问题. C本题结合三角形、矩形的相y关知识考查了二次函数的应用,用数形结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键 (12,36) QRO BAP 由于y是x的函数且过点,即AP=12时,矩形的面积为36,可求出PQ的长,进而在直角三角形BPQ中得出BP的值,根据AB=AP+BP即可求出AB的长 与类似,可先用AP表示出BP的长,然后在直角三角形BPQ中,表示出PQ的长;根据矩形的面积计算方法即可得出关于y,x的函数关系式然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对
9、应的x的值 4 x,0)和B(5,0)的抛物线l1的顶点为C(3,4),抛物线l2与如图,已知与x轴交于点A(1l1关于x轴对称,顶点为C 求抛物线l2的函数关系式; 已知原点O,定点D(0,4),l2上的点P与l1上的点P始终关于x轴对称,则当点P运动到何处时,以点D,O,P,P为顶点的四边形是平行四边形? 在l2上是否存在点M,使ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形?若存,求出点M的坐标;若不存在,说明理由 y5 4 3 2 1 El2O-1-1-2-3-4-5A1 2 3 4 5 x BCl1 如图,在矩形OABC中,已知A、C两点的坐标分别为A(4,、0)C(0,2),D为O
10、A的中点设点P是AOC平分线上的一个动点 试证明:无论点P运动到何处,PC总与PD相等; 当点P运动到与点B的距离最小时,试确 定过O、P、D三点的抛物线的解析式; 设点E是中所确定抛物线的顶点,当点P运动到何处时,DPDE的周长最小?求出此时点P的坐标和DPDE的周长; 设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P,使CPN=90?若存在,请直接写出点P的坐标 y 。 5 C(0,2)PODBA(4,0)x本题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数,及线段最短和探索性的问题 通过POCPOD而证得PC=PD 首先要确定P点的位置,再求出P、F两点坐标,利用待定系数法求的抛物线解析式; 此问
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