两圆外切圆.docx

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1、两圆外切圆已知兩圓的公切圓的畫法及其圓心分佈軌跡的探討 壹、 研究動機： 在平面幾何中有道題目：圓O1與圓O2互相外切，而分別與圓O3內切，求証O1O2O3的周長等於圓O3半徑的兩倍。與同學作此練習而畫此三圓時，心想應如何可輕易而精確畫出與已知兩圓相切的公切圓？且此圓應非唯一，而其圓心分佈軌跡又是如何？因此展開了我們的研究之旅 貳、 研究目的： (一)、 如何畫出與已知兩圓(外離、外切、相交兩點、內切、內離)相切的公切圓。 (二)、 求公切圓圓心分佈的軌跡。 參、 研究器材：圓規、直尺、電腦、數學繪圖軟體The Geometers Sketchpad。 肆、 研究過程：(假設圓O1半徑=r1、

2、圓O2半徑=r2、圓O3半徑=r3，且圓O1在圓O2左邊) 研究一：與兩已知圓都外切或都內切的公切圓的畫法及其圓心I1分佈軌跡的探討。 一、 r1r2(不失一般性，可設r1r2) 定理(一)：如圖(一)，設兩圓的連心線與外公切線(Q、R為切點)相交於P點，若LAEBO1MNCFDO2RQP圖(一)過P點作直線L分別交兩圓於A、B、C、D且O1A交O2D於M，O1B交O2C於N，則AM=DM，BN=CN。 証明：連接O1Q、O2R PQ為兩圓的外公切線，Q、R為切點 O1QQR O2RQR O1Q/O2RPO2：PO1=O2R：O1Q=r2：r1 1 分別作O1EL於E，O2FL於F O1E/O

3、2F O2F：O1E=PO2：PO1=r2：r1=O2D：O1B O1EB=O2FD=90 EB=O1B-O1E，FD=O2D-O2F FD：EB=r2：r1=O2D：O1B=O2F：O1E O2FDO1EB(SSS)O1BA=MDA O1A=O1B A=O1BA A=MDA AM=DM O2C=O2D O2CD=MDA 又O1BA =NBC、O2CD =NCB(對頂角) NBC=NCB BN=CN 推論：1.以N為圓心，BN為半徑畫一圓，即為與兩圓都外切的公切圓。 2.以M為圓心，AM為半徑畫一圓，即為與兩圓都內切的公切圓。 3.由A=O2CD O1A /O2C，O1BA =MDAO1B /

4、O2D 至此，我們可以得到以下公切圓的畫法： (1) 半徑法： 1. 分別以O1 、O2為圓心，t、t -r1+ r2 (t r1)為半徑(或以t、t + r1-r2為半徑)，各畫一弧，相交於P(或Q)。 2. 以P(或Q)為圓心，t-r1(或t+r1)為半徑，畫一圓即是與兩圓都外切(或都內切)的公切圓。如圖(二)。 (2) 投影法： 1. 作兩圓的外公切線交連心線O1O2於P。 2. 過P作直線L分別交兩圓於A、B、C、D。 3. 連接O1B，O2C交於N，連接O1A， LAO1BNCO2MDP2222PO1QO2圖(二)圖(三)2 O2D交於M。 4. 若以M為圓心，MA為半徑畫一圓，則為

5、與兩圓都內切的公切圓；以N為圓心，BN為半徑畫一圓，則為與兩圓都外切的公切圓。如圖(三)。 (3) 平行法： 1. 分別過O1，O2作兩平行線各交兩圓於A、B。 2. 連接AB分別另交兩圓於C、D。 3. 連接O1C交O2B於N，O2D交O1A於M。 O1ACNBO2DM圖(四)4. 若以N為圓心，NC為半徑畫一 圓，則為與兩圓都外切的公切圓；以M為圓心，AM為半徑畫一圓，則為與兩圓都內切的公切圓。如圖(四)。 定理(二)：如圖(五)，O1X /O2Y，XY分別交O1O2與兩圓於P、Q、R，而O2Q交O1X於M，O1R交O2Y於N，則MX=MQ，NY=NR。 証明：O1X /O2Y X=NYR

6、 O1X =O1R X=R O2Y =O2Q NYR =MQY X=MQX MX=MQ NYR =R NY=NR 推論：分別以M、N為圓心，MX、NY為半徑各畫一圓，則都分別與兩圓內切。 圖(五)MO1XYPO2QRN3 至此，我們可以得到以下公切圓的畫法： (1) 半徑法： 1. 分別以O1、O2為圓心，以t、r1- r2-t為半徑(其中0t r1-r2(即O1O2 r1-r2兩圓外離或外切或相交兩點) X2Y21甲式可化為-= 2(r1-r2)(2d- r1+r2)(2d+ r1-r2)41令a2=(r1-r2)2，b2=(2d- r1+r2)(2d+ r1-r2)，c= 4x2y2式子可

7、變為2-2=c abxy即以(0，0)為中心，=為漸近線的雙曲線(或部分)圖形。 ab(ii) 2d= r1-r2(即O1O2= r1-r2兩圓內切)y=0 即以x軸為圖形(切點除外) (iii) 02d r1-r2(即0O1O20)為半徑，畫一弧。 O12222QO2P圖(十一)2. 以O2為圓心，t+r1+r2(或t- r1-r2，其中t r1+r2)為半徑，畫一弧，交前9 弧於P(或Q)。 3. 以P(或Q)為圓心，t+r1 (或t- r1)為半徑，畫一圓即為所求。如圖(十一)。 (2) 投影法： 1. 作兩圓的內公切線交O1O2於P。 2. 過P作直線L分別交兩圓於A、B、C、D。 3

8、. 連接O1A，O2C交於M，連接O1B，O2D交於N。 4. 若以M為圓心，MA為半徑畫一圓，則與圓O1內切，而與圓O2外切；以N為圓心，BN為半徑畫一圓，則反之。如圖(十二)。 (3) 平行法： 1. 分別過O1，O2作兩平行線各交兩圓於A、B、C、D。 2. 連接BC分別交兩圓於E、F。 3. 連接O1E交CD於N，O2F交AB於M。 4. 以M為圓心，BM為半徑畫一圓，則為一圓，則為與圓O1外切，而與圓O2內切的公切圓。如圖(十三)。 定理(六)：如圖(十四)，O1X /O2Y，XY交圓O2於P，O2P交O1X於M，則MX=MP 証明：O2P =O2Y O2PY=O2YP O1X /O

9、2Y MXP=O2YP 又MPX=O2PY(對頂角) MXP=MPX MX=MP XMPO2O1YBANPO1MCO2D圖(十二)AMFO1ECNO2DB瓜()與圓O1內切，而與圓O2外切的公切圓；以N為圓心，NC為半徑畫圖(十四)10 推論：以M為圓心，MX為半徑畫一圓，則為與圓O1內切，而與圓O2外切的公切圓。 至此，我們可以得到以下公切圓的畫法： (1) 半徑法： O1O3O21. 以O1為圓心，t為半徑，畫一弧。(其中0t r1+r2(即O1O2 r1+r2兩圓外離) X2Y21-= 2(r1+r2)(2d- r1-r2)(2d+ r1+r2)4令a2=(r1+r2)2，b2=(2d-

10、 r1-r2)(2d+ r1+r2)，c= 1413 x2y2式子可變為2-2=c abxy即以(0，0)為中心，=為漸近線的雙曲線圖形 ab(ii) 2d= r1+r2(即O1O2= r1+r2兩圓外切)y=0即以x軸為圖形(切點除外) (iii) 02d r1+r2(即0O1O2 r1+r2兩圓相交兩點或內切或非同心圓的內離) y2x21+= 2(r1+r2-2d)(r1+r2+2d)4(r1+r2)令a2=(r1+r2)2、b2=(r1+r2-2d)(r1+r2+2d)、c= x2y2式子可變為2+2=c，且a2b2，其圖形為一橢圓(或部分) ab14(iv) 2d=0(即O1O2=0兩

11、圓為同心圓) (r1+r2)2x2y2122+= x+y= (r1+r2)2(r1+r2)244r+r其圓即以(0,0)為圓心，12為半徑的圓形 2結論：(1)當已知兩圓外離時，I2的分佈軌跡即是一雙曲線，與右圓內切則右支，而與左圓內切則左支。 (2)當已知兩圓外切時，I2的分佈軌跡即是少了切點的連心線，與左圓內切則左半線，而與右圓內切則右半線。 (3)當已知兩圓相交兩點時，I2的分佈軌跡即是少了兩交點的橢圓，與左圓內切則左邊部份，而與右圓內切則右邊部份。 (4)當已知兩圓內切時，I2的分佈軌跡即是少了切點的橢圓。 (5)當兩已知圓內離(非同心圓)，則I2的分佈軌跡即為橢圓。 (6)當兩已知圓

12、為同心圓時，則I2的分佈軌跡即以兩已知圓半徑和的一半為半徑的同心圓。 伍、 結論： (1) 與已知兩圓(外離、外切、相交於兩點、內切、內離)相切的公切圓畫法可有：(i)半徑法(ii)投影法(iii)平行法。 (2) 與兩已知圓相切的公切圓圓心分佈的軌跡，由前面的研究可得到如下的14 結果：(註I1為與兩已知圓同時外切或同時內切的任一公切圓圓心。I2為與兩已知圓一外切另一內切的公切圓圓心。) (a) 已知兩圓外離時： (i) I1分佈的軌跡為：1.已知兩圓為等圓時，則為連心線段的中垂線2.已知兩圓非等圓時(設左圓大於右圓)，則為雙曲線；同時內切則為左支，而同時外切則為右支。 (ii) I2分佈的

13、軌跡為：雙曲線；而與左圓 內切則左支，與右圓內切則右支。 (b) 已知兩圓外切時： (i) I1分佈的軌跡為：1.已知兩圓為等圓，同時內切則是連心線段的中垂線，而同時外切則是少了切點的連心線段的中垂線。2.兩圓非等圓時(設左圓大於右圓)，為少了切點雙曲線；同時內切則左支，而同時外切則少了切點的右支。 (ii) I2分佈的軌跡即是少了切點的連心線，而與左圓內切則左半線，與右圓內切則右半線。 (c) 已知兩圓相交於兩點時： (i) I1分佈的軌跡為：1.已知兩圓為等圓時，同時內切則是連心線段的中垂線，而同時外切則是少了公弦部份的連心線段的中垂線。2.已知兩圓非等圓時，(設左圓大於右圓) 則為少了兩

14、交點的雙曲線；同時內切則是左支及兩交點之間曲線，而同時外切則少了兩交點之間曲線的右支。 (ii) I2分佈的軌跡為少了兩交點的橢圓；與左圓內切則左邊部份，而與右圓內切則右邊部份。 (d) 已知兩圓內切時：(設切點在圓心的右邊) (i) I1分佈的軌跡為少了切點的連心線；同時內切則左半線，同時外切則右半線。 (ii) I2分佈的軌跡為少了切點的橢圓。 (e) 兩圓內離(非同心圓)時，I1、I2所分佈的軌跡都為橢圓。 (f) 兩圓為同心圓時，I1、I2所分佈的軌跡，即與兩已知圓都為同心圓，15 前者以半徑差的一半為半徑，後者則以半徑和的一半為半徑。 (g) 以平行法，應用電腦軟體(GSP)可輕易且精準的畫出其軌跡，如後面附圖。 陸、 展望： (1)有關解析幾何部份，將來高中時，應可加以研究其相關性。 (2)若已知有三圓時，則與此三圓相切的公切圓的畫法與探討。 柒、 參考資料： (1)國中數學第五冊 (2)幾何學辭典(部真市郎原著、九章編輯部譯) 16