专题一求函数值域十六法.docx

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1、专题一求函数值域十六法求函数值域方法 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。 一、基本知识 1 定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域。 2 函数值域常见的求解思路： 划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。 反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，

2、解不等式即可获解。 可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数y=f(x)看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值y0，y0对应的自变量x0一定为方程y=f(x)在定义域中的一个解，即方程y=f(x)在定义域内有解；另一方面，若y取某值y0，方程y=f(x)在定义域内有解x0，则y0一定为x0对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。 特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。 可以用函数的单调性求值域。 其他。 3 函数值域的求法 、直接法：从自变量x的范

3、围出发，推出y=f(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例1：求函数y= 例2：求函数y=例3：求函数y=x-1+x+1,(x1)的值域。 2,+ x2+6x+10的值域。 1,+) x+1的值域。 )解：x0，x+11， 函数y=x+1的值域为1,+)。 2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F(x)=af(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。 例1：求函数y=-x+4x+2的值域。 解：y=-x+4x+2=-(x-2)+6， 222x-1,1，x-2-3,-1，1(x-2)9 -3-(x-2)+65，-3y5

4、函数y=-x+4x+2的值域为-3,5。 最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。 解：由3-2x-x20，解出定义域为-3，1。 函数y在-3，1内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。 函数的值域是0,2 例2：求函数y=2，x-2,2的值域。 ,4 4x2221 例3：求函数y=-2x+5x+6的值域。 -,273 8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。 1-2x例1：求函数y=的值域。 x1+21-y1-2xx2=解：由y

5、=解得， x1+y1+220，x1-y0，-1y1 1+y1-2x函数y=的值域为y(-1,1)。 1+2x、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数y=值域为yyax+b(c0)，如果在其自然定义域内，cx+da，采用部分分式法将原函数化为；如果是条件定义域cadac(adbc)，用复合函数法来求值域。 y=+ccx+db-1-x的值域。 2x+5177-(2x+5)+1-x2=-1+2， 解：y=22x+52x+522x+5例1：求函数y=7120，y-， 22x+51-x1函数y=的值域为y|y-。 2x+52、换元法

6、：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y=ax+bcx+d的函数常用此法求解。 例1：求函数y=2x+1-2x的值域。 1-t2解：令t=1-2x，则x=， 2y=-t2+t+1=-(t-)2+当t=125 4135，即x=时，ymax=，无最小值。 2845函数y=2x+1-2x的值域为(-,。 4、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0；通过方程有实数根，判别式D0，从而a1x2+b1x+c1求得原函数的值域，形如y=的函数的值域，常用此方法求解。 2a2x+b2x+c2x2-x+3例1：求函数y=2的值域。 x-x+1x2-x+3

7、2解：由y=2变形得(y-1)x-(y-1)x+y-3=0， x-x+1当y=1时，此方程无解； 当y1时，xR，D=(y-1)-4(y-1)(y-3)0， 解得1y21111，又y1，1y 33x2-x+311函数y=2的值域为y|1y x-x+13、函数的单调性法：确定函数在定义域上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y=x-1-2x的值域。 解：当x增大时，1-2x随x的增大而减少，-1-2x随x的增大而增大， 函数y=x-1-2x在定义域(-,上是增函数。 12y111-1-2=， 22212函数y=x-1-2x的值域为(-,。 例2求函数y=x+1在区间x(0,+)上的值域。 x

8、分析与解答：任取x1,x2(0,+)，且x1x2，则 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-1)x1x2，因为0x1x2，所以：x1-x20， 当1x10，则f(x1)f(x2)； 当0x1x21时，x1x2-10，则f(x1)0)是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取=成立的条件. 例1 求函数解答: y=x+2x+1x+2x+1的值域. 1x+1y=x+1+2, 当且仅当x=1时=成立. 故函数的值域为y2,+). 此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分

9、式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例2 求函数y=x2+2x+2x+1的值域. 解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出(x+1)项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设: (x+1)(x+b)+c=x2+2x+2, (2) 将上面等式的左边展开, 有: x2+(b+1)x+(b+c), 故而b+1=2, b+c=2. 解得b=1, c=1. 从而原函数y=(x+1)(x+1)+1x+1=(x+1)+1x+11x+1; )当x-1时, x+10, 0,

10、 此时y2, 等号成立, 当且仅当x=0. 1x+1)当x0, -0, 此时有 y=(x+1)(x+1)+111=(x+1)+=-(x+1)-2, x+1x+1x+1等号成立, 当且仅当x=-2. 综上, 原函数的值域为: y(-,-22,+). 不等式法 利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例3. 求函数解：原函数变形为： 的值域。 当且仅当即当时，等号成立 故原函数的值域为： 例4. 求函数解： 的值域。 当且仅当，即当时，等号成立。 由可得： 故原函数的值域为： 、有界性法：利用某些函

11、数有界性求得原函数的值域。 x2-1例1：求函数y=2的值域。 x+1解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得 (y-1)x2=-(y+1)， y1，x=-2y+1， y-1-y+10，-1y1， y-1x2-1函数y=2的值域为y|-1y0,y-10y1或y-1 y-1例3：求函数y=2cosx+1的值域。 3cosx-21-,3,+) 51,3 3例4：求函数y=2-sinx的值域。 2+sinx、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义或当一个函数的图象易于作

12、出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数y=|x+3|+|x-5|的值域。 y-2x+2(x-3)解：y=|x+3|+|x-5|=8 (-3x1) =1-=1-则y=t3x+13x+11Qt101t0y0，x2=y+3y+30，解得-3y1 ， Qx20，1-y1-y又 y1， 所以 -3y) x2121412、导数法 若函数f在(a,b)内可导, 可以利用导数求得f在(a,b)内的极值, 然后再计算f在a,b点的极限值. 从而求得f的值域. 例1： 求函数f(x)=x-3x在(-5,1)内的值域. 2分析:显然f在(-5,3)可导，且f(x)=3x-3. 由f(x)=0得f的极

13、值点为x=1,x=-1. 3f(-1)=2,f(1-0)=-2. f(-5+0)=140. 所以, 函数f的值域为(-2,140). 、“平方开方法” 求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题. 1.适合采用“平方开方法”的函数特征 设f(x)是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征： f(x)的值总是非负，即对于任意的xD，f(x)0恒成立； f(

14、x)具有两个函数加和的形式，即f(x)=f1(x)+f2(x)； f(x)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即 f2(x)=f1(x)+f2(x)2=c+g(x)， 其中，新函数g(x)的值域比较容易求得. 2.“平方开方法”的运算步骤 若函数f(x)具备了上述的三个特征，则可以将f(x)先平方、再开方，从而得到f(x)=c+g(x).然后，利用g(x)的值域便可轻易地求出f(x)的值域.例如g(x)u,v，则显然f(x)c+u,c+v. 3.应用“平方开方法”四例 能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧. 例1 求函

15、数f(x)=b-x+x-a的值域. 解：首先，当xa,b时，f(x)0； 其次，f(x)是函数f1(x)=b-x与f2(x)=x-a的和； 最后，f2(x)=b-a+2(b-x)(x-a)=b-a+2-x2+(a+b)x-ab 可见，函数f(x)满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)平方、开方得f(x)=b-a+2-x2+(a+b)x-ab.这里，g(x)=2-x2+(a+b)x-ab.对g(x)根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得g(x)的值域为0,b-a.于是，f(x)的值域为b-a,2(b-a). ab例2 求函数f(x)=b-kx+kx-a的值域. kk解：显然，该

16、题就是例1的推广，且此题的f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)ab平方、开方得f(x)=b-a+2-k2x2+k(a+b)x-ab.这里，g(x)=2-k2x2+k(a+b)x-abkkab.对g(x)根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得g(x)的值域仍为0,b-a.于是，f(x)kk的值域也仍为b-a,2(b-a). 例3 求函数f(x)=|sinx|+|cosx|的值域. 解：参照例1的验证步骤，显然，此题的f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)平方、开方得f(x)=1+|sin2x|.这里，g(x)=|sin2x|.易知，g(x)的

17、值域为0,1.于是，f(x)的值域为1,2. 例4 求函数f(x)=|sinx+cosx|+|sinx-cosx|的值域. 解：参照例1的验证步骤，显然，此题的f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)平方、开方得f(x)=2+2|cos2x|.这里，g(x)=2|cos2x|.易知，g(x)的值域为0,2.于是，f(x)的值域为2,2. 例5 求函数y=x-3+5-x 的值域 解：函数定义域为：x3,5 y2=(x-3)+(5-x)+2-x2+8x-15由x3,5,得-x2+8x-150,1y2,42原函数值域为2,2y 平方法）函数定义域为：x3,5 y2=(x-3)+

18、(5-x)+2-x2+8x-15由x3,5,得-x2+8x-150,1y2,421 0 x 原函数值域为2,2 . 一一映射法 原理：因为就可以求另一个变量范围。 在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围， 例1. 求函数的值域。 解：定义域为由得故或 解得故函数的值域为多种方法综合运用 例1 求函数解：令的值域。 ，则当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以 当t=0时，y=0。 综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法 例2. 求函数解： 的值域。 令，则当当时，时，此时都存在，故函数的值域为x例3.求函数 y=2(x0) 的值域 解：如图，值域为(0,1 例4

19、.求函数y=13-x2+2x 的值域 t122解：令t=-x+2x=-(x-1)+1，则y=(t1) 3 由指数函数的单调性知，原函数的值域为,+ 例5.求函数y=x+1-x2的值域 解： Q13-1x1 设x=cosqq0,p y=cosq+sinq=cosq+sinq=2sin(q+)-1,2 4原函数的值域为-1,2p小结：若题目中含有a1，则可设 a=sinq,-p2qp2(或设a=cosq,0qp) 若题目中含有a2+b2=1 ，其中0q2p 则可设a=cosq,b=sinq若题目中含有1-x2，则可设x=cosq，其中0qp 若题目中含有1+x2，则可设x=tanq，其中-p2q0

20、,y0,r0)， 则可设x=其中q0,rcos2q,y=rsin2q p 2x2-1例6、求函数y=2 的值域 x+1解法一：Qx=21+y01-y-1y1 原函数的值域为2-11) 2 解法二：设x+1=t ， 22则 y=1-2=1-(t1) tx+122-1y1 t原函数值域为(-1,1Qt10解法三：原函数可化为 (y-1)x+0x+y+1=0 1） y=1时 不成立 2） y1时，D00-4(y-1)(y+1)0-1y1 2-1y1 综合1）、2）值域y|-1y1 解法四：QxRpp设x=tanqq-,，则 221-tan2qy=-=-cos2qQ2q(-p,p)cos2q(-1,1

21、 1+tan2q 原函数的值域为y|-1y1 ax2+bx+c22小结：已知分式函数y=(a+d0) ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；2dx+ex+f如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为 y=二次式一次式(或y=)的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；一次式二次式如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数y=x+注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用a(x0)的单调性去解。 x的有界性。 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。