专题函数的周期性.docx

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1、专题 函数的周期性 专题 函数的周期性 一 知识点精讲 1周期函数的定义：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kTf(x+T)=f(x)也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集 2性质 若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期； 若周期函数f(x)的周期为T，则f(vx)(v0)是周期函数，且周期为3几种特殊的具有周期性的抽象函数： 函数y=f(x)满足对定义域内任一实数x f(x)=f(x+a)，则y=f(x)的周期T=a f(x+a

2、)=-f(x)，则f(x)的周期T=2a f(x+a)=1fT|w|。 (x)，则f(x)的周期T=2a f(x+a)=f(x-a)，则f(x)的周期T=2a f(x+a)=1-f(x)1+f(x)，则f(x)的周期T=2a ，则f(x)的周期T=4a数 f(x+a)=-f(x+a)=1-f(x)1+f(x)1+f(x)1-f(x)函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，若f(x)为奇函数，则其周期为T=4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T=2a ，则f(x)的周期T=4a 函数y=f(x)(xR)的图象关于直线x=a和x=b(ab)都对称，则函数f(x)是以2(b-a)为周期的周期

3、函数 函数y=f(x)(xR)的图象关于两点A(a,y0)、B(b,y0)(ab)都对称，则函数f(x)是2(b-a)为周期的周期函数 函数y=f(x)(xR)的图象关于A(a,y0)和直线x=bf(x)是以4(b-a)为周期的周期函数 (aa)对称，则f(x)的一个周期为 A3已知a+b2 B2(b-a) Cb-a2 D4(b-a) f(x)在R上是奇函数满足f(x+3)=-f(x),f(1)=2，则f(5)= 4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(2008)= 例5已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1x1)是奇函数又知

4、y=f(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5。 证明：f(1)+f(4)=0； 求y=f(x),x1,4的解析式；求y=f(x)在4,9上的解析式。 9、函数y=f(x)定义域为R，且恒满足f(x+2)=f(2-x)和f(6+x)=f(6-x)，当 2x6时，f(x)=2-12x，求f(x)解析式。 10、已知偶函数y=f(x)定义域为R，且恒满足f(x+2)=f(2-x)，若方程f(x)=0在0,4上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(-8,10中的根。 附参考答案： T1：-1 T2：(1,0) T3：x=1 T4：y轴即x=0 T5：y轴x

5、=1 T6：x=14x=12 T7：C T8： 1(x-8k)(8k-2x8k+2,kZ)2T9：f(x)= 1-(x-8k)+2(8k+2x8k+6,kZ)210共9个根。 T10：方程的根为-6、-4、-2、0、2、4、6、8、2.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 A5 B4 C3 D2 4.f(x)是偶函数，且f(0)=993,又g(x)=f(x-1)为奇函数，则f(1992)= 6.数列an中a1=1,a2=5,an+2=an+1-an,则a2006= 7 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)

6、时，f(x+1)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。 8 f(x)的定义域是R，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008) 的值。 9已知函数f(x)满足f(x+1)= log2(1-x),x010. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则ff(x-1)-f(x-2),x01+f(x)1-f(x)，若f(0)=2004，试求f(2005)。 的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 :由已知得f(-1)=log22=1,f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1, f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(

7、1)=-1-(-1)=0, f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f= f=1,故选C. 16.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_.wwwk5uom y f(x)=m (m0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x :因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x)

8、,所以, 由f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间0,2上是增函数,所以f(x)在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1x2x3x4由对称性知x1+x2=-12x3+x4=4所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8 答案:-8 函数f(x)的定义域为R，若f(x+则( D )1)与f(x-1)都是奇函数，wwwk5uom (A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数

9、(C) f(x)=f(x+2) (D) f(x+3)是奇函数 解: Qf(x+1)与f(x-1)都是奇函数，f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1)， 函数f(x)关于点(1,0)，及点(-1,0)对称，函数f(x)是周期T=21-(-1)=4的周期函数.f(-x-1+4)=-f(x-1+4)，f(-x+3)=-f(x+3)，即f(x+3)是奇函数。故选D 专题 函数对称性 一 知识点精讲： I 函数y=f(x)图象本身的对称性 若f(x+a)=f(x+b)，则f(x)具有周期性；若f(a+x)=f(b-x)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1

10、、f(a+x)=f(b-x) y=f(x)图象关于直线x=(a+x)+(b-x)2=a+b2对称 推论1：f(a+x)=f(a-x) y=f(x)的图象关于直线x=a对称 推论2、f(x)=f(2a-x) y=f(x)的图象关于直线x=a对称 推论3、f(-x)=f(2a+x) y=f(x)的图象关于直线x=a对称 2、f(a+x)+f(b-x)=2c y=f(x)的图象关于点(a+b2,c)对称 推论1、f(a+x)+f(a-x)=2b y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 推论2、f(x)+f(2a-x)=2b y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 推论3、f(-x)+f(2a+x)=

11、2b y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 II 两个函数的图象对称性 1、y=f(x)与y=f(-x)图象关于Y轴对称 2、y=f(x)与y=-f(-x)图象关于原点对称函数 3、函数y=f(x)与y=-f(x)图象关于X轴对称 4、函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)图象关于直线y=x对称 5.函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图象关于直线x=b-a2对称 推论1:函数y=f(a+x)与y=f(a-x)图象关于直线x=0对称 推论2:函数y=f(x)与y=f(2a-x) 图象关于直线x=a对称 推论3:函数y=f(-x)与y=f(2a+x)图象关于直线x=-a对称 二 典例解析

12、： 1、定义在实数集上的奇函数f(x)恒满足f(1+x)=f(1-x)，且x(-1,0)时, ,则f(log220)=_。 5解析：y=f(x)关于直线x=1对称，f(-x)=f(2+x)，又Q是f(x)奇函数，f(x)=2+x1f(-x)=-f(x)T=4，2故20-4)=f(log2有5)=-f(logf(2+x)=-f(x)4)=-2log52，=1 24552、已知函数y=f(x)满足f(x)+f(2-x)=0，则y=f(x)图象关于_对称。 2,f(log20)=f(log4+1解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知y=f(x)图象关于(1,0)对称 3、函数y=f(x-1)与函数

13、y=f(1-x)的图象关于关于_对称。 解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于x=1对称 4、设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x-1)=f(1-x)，则y=f(x)的图象关于_对称。 解析：这是一个函数的对称性，y=f(x)的图象关于y轴即x=0对称 5、设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x+1)的图象关于_对称。 解析：y=f(x)关于直线x=1对称，y=f(x+1)是由y=f(x)向左平移一个单位得到的， 故y=f(x+1)的图象关y轴对称 6、设y=f(x)的定义域为R，且对任意xR，有f(1-2x)=f(2x)，则y=f(x)关

14、于_对称，y=f(2x)图象关于_对称，。 解析：令t=2x， 则有 f(1-t)=f(t) y=f(t) 关于直线t=x=1212 即y=f(x)关于 14对称，y=f(2x)是由纵坐标不变，横坐标变为原来的12，y=f(2x)关于x= 对称。 7、已知函数y=f(x)对一切实数x满足f(2-x)=f(4+x)，且方程f(x)=0有5个实根，则这5个实根之和为 A、5 B、10 C、15 D、18 解析：y=f(x)的图象关于直线x=3对称，故五个实根，有两对关于直线x=3对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为C 8、设函数y=f(x)的定义域为R，则下列

15、命题中，若y=f(x)是偶函数，则y=f(x+2)图象关于y轴对称；若y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)图象关于直线x=2对称；若f(x-2)=f(2-x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=2对称；y=f(x-2)与y=f(2-x)图象关于直线x=2对称，其中正确命题序号为_。 解析： 错 y=f(x+2)关于直线x=-2对称， 对 错 若f(x-2)=f(2-x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=0对称； 对 第十五讲 抽象函数问题 一 知识点精讲： 1 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号 表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象

16、函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也 是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再 由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有 效方法。 2中学阶段常用抽象函数f(x)的“原型” 1f(x+y)=f(x)+f(y)y=kx(k为常数） 2f(x+y)=f(x)f(y)y=ax 3f(xy)=f(x)+f(y)y=logax 4f(xy)=f(x)f(y)y=xn(n为常数） 5f(x)+f(y)=2f(x+y22f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)y=coswx(w常数） )f(x-y)或

17、6f(x+y)=f(x)+f(y)1-f(x)f(y)y=tanx 方法：想具体函数的运算法则，代特殊值。 二典例解析 例1设函数f(x)满足f(x)+f(y)=2f(x+y2)f(x-y2)，且f(p2)=0，x、yR；求证：f(x)为周期函数，并指出它的一个周期 y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，例2已知函数f(x)对于任意实数x、且当x0时，f(x)0，f(-1)=-2，求证f(x)在R上的奇函数。 (2) 求证f(x)在R上的增函数 求函数f(x)在区间-2，1上的值域。 例3已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(0)0，f(x+y)=f(x)f(y)，且当x0时，f(x)为

18、增函数，若x10，且|x1|f(-x2) Bf(-x1)f(-x2) D -f(x1)1时f(x)0,f(2)=1， f(2x，且当)求证：f(x)是偶函数； f(x)在(0,+)上是增函数；解不等式f(2x2-1)2 4 (201014重庆)已知函数f(x)满足12： f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yR)，则f(2010)=_.5.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2，当x1f(x2) 的是 Af(x)=1x B. f(x)=(x-1) C .f(x)=e D 2xf(x)=ln(x+1) 5：A 解析依题意可得函数应在x(0,+)上单调递减，故由选项

19、可得A正确。 12定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2(-,0(x1x2)，*有(x2-x1)(f(x2)-f(x1)0.则当nN时,有wwwk5uom (A)f(-n)f(n-1)f(n+1) (B) f(n-1)f(-n)f(n+1) wwwk5uom (C) (C)f(n+1)f(-n)f(n-1) (D) f(n+1)f(n-1)0x2x1时，f(x2)f(x1)f(x)在(-,0为增函数f(x)为偶函数f(x)在(0，+为减函数wwwk5uom 而n+1nn-10,f(n+1)f(n)f(n-1)f(n+1)f(-n)0 ()求,f； 2411()证明f(x)是周期函数

20、； 22.()解：因为对，所以 f(x)=f(x2+12xx)=ff0,x0,1222+11112)=ff=f 2222x12，都有, Qf(1)=f(1111112f=f(+)=ff=f2444440， 3 分 f=a2,f=a4 241111定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)=0在闭区间-T,T上的根的个数记为n，则n可能为D 0 1 3 5 定义在R上的函数f(x)是奇函数，f(0)=0，又是周期函数，T是它的一个正周期，f(T)=f(-T)=0，f(-T2)=-f(T2)=f(-T2+T)=f(T2)，f(-TT)=f=0，22则n可

21、能为5，选D。 抽象函数问题的“原型”解法 抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。 抽象来源于具体。抽

22、象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如f(x)=kx(k0)有f(x1+x2)=k(x1+x2)=f(x1)+f(x2)可抽象为f(+xf(x+)y=y)=(ff(x)+)x。f那么yy=kx就叫做抽象函数f(x)满足，分析抽象函数问题的解题过程及心f(的“原型”y理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”并举例说明“原型”解法。 一、中学阶段常用抽象函数f(x)的“原型” 1、f(x+y

23、)=f(x)+f(y)y=kx(k为常数） 2、f(x+y)=f(x)f(y)y=a 3、f(xy)=f(x)+f(y)y=logax (a0且a1) 4、f(xy)=f(x)f(y)y=x(n为常数） 5、f(x)+f(y)=2f(x+y2)f(x-y2)或f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) nxy=coswx(w为常数） 6、f(x+y)=f(x)+f(y)1-f(x)f(y)y=tanx 二、“原型”解法例析 设函数f(x)满足f(x)+f(y)=2f(x+y2x+y2)f(x-y2x-y2)，且f(p2)=0，x、yR；求证：f(x)为周期函数，并指出它的一个周期。 分析与

24、简证：由f(x)+f(y)=2f()f() 想：cosx1+cosx2=2cosx1+x222原型：y=cosx，为周期函数且2为它的一个周期。 cosx1-x2猜测：f(x)为周期函数，2为它的一个周期 令x1=x+p，x2=p 则f(x+p)+f(x)=2f(x+f(x+p)=-f(x)f(x+2p)=f(x) f(x)为周期函数且2是它的一个周期。 已知函数f(x)满足f(x+1)=分析与略解：由f(x+1)=1+f(x)1-f(x)p2)f(p2)=0 ，若f(0)=2004，试求f(2005)。 1+f(x)1-f(x)想：tan(x+p4)=1+tanx1-tanxp4原型：y=t

25、anx为周期函数且周期为4=。 猜测：f(x)为周期函数且周期为41=4 1+f(x+1)1-f(x+1)11+1+f(x)1-f(x)1+f(x)1-f(x)f(x+2)=f(x+1)+1=1-=-1f(x)f(x+4)=f(x+2)+2=f(x+2)f(x)是以4为周期的周期函数 =f(x)f(x+4)=f(x) 又f(2)=2004 f(2005)=f(2004+1)=f(2005)=-20051+f(2004)1-f(2004)=1+f(0)1-f(0)=1+20041-2004=-200520032003 已知函数f(x)对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x

26、0时，f(x)0，f(-1)=-2，求函数f(x)在区间-2，1上的值域。 分析与略解：由：f(x+y)=f(x)+f(y) 想：k(x+y)=kx+ky 原型：ykx为奇函数。k0时为减函数，k0时为增函数。 猜测：f(x)为奇函数且f(x)为R上的单调增函数，且f(x)在2,1上有f(x)4,2 设x10 f(x2x1)0 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)f(x2-x1)0 =f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2)f(x1),f(x)为R上的单调增函数。 令x=y=0,则f(0)=0,令y=x，则f(x)=f(x) f(x)为R上的奇函数。 f(-1

27、)=- f(1)=-2 f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4 -4f(x)2(x-2,1) 故f(x)在-2,1上的值域为-4，2 已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(0)0，f(x+y)=f(x)f(y)，且当x0时，f(x)1 当x0时，求f(x)的取值范围 判断f(x)在R上的单调性 分析与略解：由：f(x+y)=f(x)f(y) 想：ax+y=axay 原型：y=ax，a0=10。当a1时为单调增函数，且x0时，y1，x0时，0y1；0a1时为单调减函数，且x0时，y1，x0时，0y1。 猜测： f(x)为减函数，且当x0时，0f(x)1。 对于一切x、yR，f(x+y)

28、=f(x)f(y)且f(0)0 令x=y=0，则f(0)=1，现设x0，则-x0，f(-x) 1 又f(0)=f(x-x)= f(x)f(-x)=1 f(-x)=0f(x)1 设x1x2，x1、x2R，则x1x2f(x2)， f(x)在R上为单调减函数 已知函数f(x)定义域为(0,+)且单调递增，满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y) 证明：f(1)=0；(2)求f(16)；若f(x)+ f(x-3)1，求x的范围； 试证f(x)=nf(x) 分析与略解：由：f(xy)=f(x)+f(y) n想：logaxy=logax+logay 原型：y=logax 猜测：f(x)有f(1)=

29、0，f(16)=2， 令x=1，y=4，则f(4)=f(14)=f(1)+f(4)f(1)=0 f(16)=f(44)=f(4)+f(4)=2 (3)f(x)+f(x3)=fx(x3)1=f(4) f(x)在上单调递增 x(x-3)4-1x430x3x0 xf(xy)=f(x)+f(y) f(xn)=f(1x4x42x4L4x)=nf(x) 3n个 已知函数f(x)对于一切正实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y)且x1时，f(x)1，f(2)=19(1)求证：f(x)0；求证：f(x-1)=f(x)-1 求证：f(x)在上为单调减函数 若f(m)=9，试求m的值。 分析与简证：由f(xy)

30、=f(x)f(y)， 想：(x1x2)n=x1nx2n 原型：y=xn 猜测：f(x)0，在上为单调减函数， (1)对任意x0，f(x)=f(xxx)=f(x)0 2假设存在y0，使f(y)=0，则对任意x0 xy)=ff(y)=0，这与已知矛盾 yy故对任意x0，均有f(x)0 f(x)=f(f(f(x)=f(x1)=f(x)f(1)，f(x)0, f(1)=1 f(x)f(1x)=f(1xx)=f(1)=1 f(x-1)=f(x)-1 x2x1(3)x1、x2(0,+)，且x1x2，则f(x2)=f(x2x1191，f(x2x1)1， x1)=f(x2x1)f(x1)f(x1) 即f(x2)f(x1) f(x)在上为单调减函数。 f(2)=，f(m)=9 f(2)f(m)=1 f(2m)=1=f(1)，而f(x)在(0，+)是单调减函数 2m=1 即m=12综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象具体抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。