上海交通大学大学物理11静电场.docx

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1、上海交通大学大学物理11静电场 53 习题11 11-1直角三角形ABC的A点上，有电荷q1=1.810-9C，B点上有电荷q2=-4.810-9C，试求C点的电场强度(设BC=0.04m，AC=0.03m)。 v解：q1在C点产生的场强：E1=vq2在C点产生的场强：E2=q124pe0rACvi， vq2j， 24pe0rBCavivvvvvC点的电场强度：E=E1+E2=2.7104i+1.8104j； 2C点的合场强：E=E12+E2=3.24104Vvjm， 方向如图：a=arctan 1.8=33.7o=33o42。 2.7-911-2用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空

2、隙为2cm，电量为3.1210C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。 解：棒长为l=2pr-d=3.12m， 电荷线密度：l=ORaa2cmxql=1.010-9Cm-1 可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去d=0.02m长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。 解法1：利用微元积分： dEOx=a14pe0lRdqR2cosq， EO=a-cosqdq=llld-1； 2sina2a=0.72Vm24pe0R4pe0R4pe0R解法2：直接利用点电荷场强公

3、式： -11由于dd时，由S22O-d2x有：E=rd。图像见右。 2e0rd2e0 56 11-8在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如图所示)， 平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量. 解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。 【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r，有r=球冠面一条微元同心圆带面积为：dS=2prsinqrdq 球冠面的面积：S=d2+R2， rdqrsinqOdrq02prsinqrdq=2prcosq20cosq=xd=2pr2(1-)】 r球面面积为：S球面=4pr2，通过闭合球面的电通量为：F

4、闭合球面=qe0， 由：F球冠F球面=S球面S球冠，F球冠=1dqqd(1-)=(1-)。 222re02e0R+d11-9在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为，求圆柱体内、外的场强分布，并作Er关系曲线。 解：由高斯定律Svv1 EdS=qi，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r，长为l的高斯面。e0S内rrrpr2l当rR时，2prlE=，则：E=； e02e0rrr2e(rR)2e0r图见右。 ErR2e0oRr11-10半径为R1和R2的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量l和-l，试求：rR1；R1rR2处各点的场强。 57 解：利用高斯定律：Svv1EdS=qi。

5、e0S内rR2时，利用高斯定律及对称性，有：2prlE3=0，则：E3=0； vE=0rR1lvR1rR2R1rR2时，利用高斯定律及对称性，有：2prlE2=11-11一球体内均匀分布着电荷体密度为r的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O，两球心间距离OO=d，如图所示。求： 在球形空腔内，球心O处的电场强度E0； 在球体内P点处的电场强度E，设O、O、P三点在同一直径上，且OP=d。 解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为r的大球和带有电荷体密度为-r的小球的合成。 以O为圆心，过O点作一个半径为d的高斯面，根据高斯定理有： vvr43rd，方向从

6、O指向O； EdS=pdE=0S1e033e0过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有： vvr43rd，方向从O指向P， EdS=pdE=P1S1e033e0过P点以O为圆心，作一个半径为2d的高斯面。根据高斯定理有： vvr43rr3S2EdS=-e03prEP2=-3e0d2， rr3E=EP+EP=(d-2)，方向从O指向P。 3e04d12vvv11-12设真空中静电场E的分布为E=cxi，式中c为常量，求空间电荷的分布。 解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面， z有：SvvEdS=cx0DS 由高斯定理：Svv1EdS=e0q， S内ox00DS设空间电荷的密

7、度为r(x)，有：cx0 DS=r(x)DSdxe0yx0xx00r(x)dx=e0cdx，可见r(x)为常数r=e0c。 0x0 58 11-13如图所示，一锥顶角为q的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为s，求顶点O的电势(以无穷远处为电势零点) 解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：r=xtanq2，环面圆宽：dl=dxcosq2qdx， dS=2prdl=2pxtan2cosq2利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上x0处电势的表达式： U环=14pe0qr+x220， dl=rdxcos有：dU=14p

8、e0qdxs2pxtanq2cos(xtan)+x2q2q22=stanqdx， 2e022x考虑到圆台上底的坐标为：x1=R1cotq22x2ss(R2-R1)qsqR2cotqU=。 tandx=tanq2dx=x12eRcot22e02e0212011-14电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心r处P点的电势。 解：利用高斯定律：，x2=R2cotq， 2Svv1EdS=q可求电场的分布。 e0S内QrQr3rR时，4prE外=；有：E外=； e04pe0r2离球心r处的电势：Ur=orPRPRrE内dr+E外dr，即： RUr=RrQrQ3QQr2。 dr+dr=-3R4pe

9、r24pe0R38peR8peR00011-15图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为r，球壳内表面半径为R1，外表面半径为R2设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。 解：当rR1时，因高斯面内不包围电荷，有：E1=0， 当R1rR2时，有：E3=3rp(R2-R13)434pe0r23r(R2-R13)=， 23e0r 59 以无穷远处为电势零点，有： 3333vR2r(r-R)r(R-R)rvvv22121=(R-Rdr+drU=E2dr+E3dr=21)。 22RR1R2R122e03e0r3e0rR211-16电荷以相同的面密度s 分布在半径为r1=10cm和r2=20cm的两

10、个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为U0=300V。 求电荷面密度s； 若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度s为多少？ 解：当rr1时，因高斯面内不包围电荷，有：E1=0， r1sr12O当r1rr2时，可求得：E3=， 2e0r222rsr1s(r1+r2)r2vsvvvdr+drU0=E2dr+E3dr=(r1+r2) 2rer2rr1r2e0re002128.8510-12300-92那么：s= =8.8510Cm-3r1+r23010设外球面上放电后电荷密度s，则有： sr1sU0=(sr1+sr2)/e0=0，s=-=- r22e0U0则应放掉电荷为： 11-17

11、如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为l，长度为l，细线左端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能。 解：以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴， 均匀带电球面在球面外的场强分布为：E=322=43.148.8510-123000.2=6.6710-9C。 Dq=4pr2(s-s)=s4pr22q24pe0rvv取细线上的微元：dq=ldl=ldr，有：dF=Edq， vvr0+lqlqlrvvv为rrF= ldr=2r04pe0x4pe0r0(r0+l)q均匀带

12、电球面在球面外的电势分布为：U=。 4pe0rqldr， 对细线上的微元dq=ldr，所具有的电势能为：dW=4pe0rr0+lldrr0+lqqlW=。 =ln4pe0r0r4pe0r0。 60 11-18. 一电偶极子的电矩为p，放在场强为E的匀强电场中，p与E之间夹角为q，如图o所示若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p、E平面的轴转180，外力需作功多少？ 解：法一) 由功的表示式：dAe=-Mdq 考虑到：M=pE，有：Ae=-vvvqp+qpEsinqdq=-2pEcosq, 外力作功: A外=-Ae=2pEcosq rr法二）由电偶极子在匀强电场中的电势能公式：We=-pE Ae=W

13、e1-We2=-pEcosq-pEcosq=-2pEcosq 外力作功: A外=-Ae=2pEcosq 法三）由外力对每个点电荷做功计算， A外=-Ae(+q)-Ae(-q)=2qElcosq=2pEcosq。 11-19如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为s(0)今有一质量为m，电荷为-q的粒子(q0)沿圆板轴线(x轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O为b的位置上时，粒子的速度为v0，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。 解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上x0处产生的电势为： U=UObs2(R2+x0-x0)，那么， 2e0s=UO-Ub=(R+b-R2+

14、b2)， 2e01112qs2mv2=mv0-(-qUOb)=mv0+(R+b-R2+b2)， 2222e0由能量守恒定律，有：v= 2v0+qs(R+b-R2+b2) me0思考题11 11-1两个点电荷分别带电q和2q，相距l，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零? 答：由qQ2qQ，解得：x=l(2-1)，即离点电荷q的距离为l(2-1)。 =224pe0x4pe0(l-x)11-2下列几个说法中哪一个是正确的？ 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同； 场强方向可由E=F/q定出，其中q为试验电荷的电量

15、，q可正、可负，F为试验电荷所受的电场力； 以上说法都不正确。 答： 11-3真空中一半径为R的的均匀带电球面,总电量为q(q0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积DS(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去DS后球心处的电场强度大小和方向. 答：题意可知：s=q4pe0R2，利用补偿法，将挖去部分看成点电荷， 61 有：E=sDS，方向指向小面积元。 4pe0R211-4三个点电荷q1、q2和-q3在一直线上，相距均为2R，以q1与q2的中心O作一半径为2R的球面，A为球面与直线的一个交点，如图。求： (1)通过该球面的电通量(2)A点的场强EA。 解：(1) 11-5有一边长为a的

16、正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处， 有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量 为多少？ 解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q围在正方体的中心， 通过此正方体闭合外表面的通量为：F闭合=q/e0，那么， 通过该平面的电场强度通量为：F=EdS； q3q1q2。 +-22240(3R)40R40RSvvq1+q2；(2)EA=EdS=e0q。 6e011-6对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？ (A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷； (B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷； (C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电

17、场强度必处处为零； (D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。 答：(A) 11-7由真空中静电场的高斯定理Svv1EdS=e0q可知 (A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零； (B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零； (C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零； (D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。 答：(C) 11-8图示为一具有球对称性分布的静电场的Er关系曲线请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。 (A)半径为R的均匀带电球面； (B)半径为R的均匀带电球体； (C)半径为R、电荷体密度r

18、=Ar(A为常数）的非均匀带电球体； (D)半径为R、电荷体密度r=A/r (A为常数)的非均匀带电球体。 62 答：(D) 11-9如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P点的电势为 qq (B)4pe0r4pe0qq(C) (D)4pe0(r-R)4pe0(A)11- rR11- Rr答：(B) 11-10密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生实验中，半径为r、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为U12当电势差增加到4U12时，半径为2r的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？ 解：U124U44q=r3g，12q=(2r)3g d3d3联立有：q=2q=4e。 11-11设无穷远处电势为零，则半径为R的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的U0和b皆为常量)： 答：(C) 11-12无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。见书中例11-12。