上海大学高数第章无穷级数.docx

《上海大学高数第章无穷级数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海大学高数第章无穷级数.docx（139页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、上海大学高数第章无穷级数第八章 无穷级数 一、基本要求： 1.理介常数项级数收敛与发散的概念,收敛级数和的概念,掌握级数的基本性质和收敛的必要条件； 2.掌握几何级数,P级数的敛散性； 3.掌握正项级数的比较判别性,比值判别法,会用根值判别法,了解积分判别法； 4.掌握交错级数的莱布尼兹判别法； 5.了解函数项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,以及二者之间的关系； 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念； 7.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间以及收敛域的求法； 8.了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和； 9.了解泰勒公式、泰勒级数

2、；掌握e,sinx,0,l,ln(1+x)及(1+x)的麦克劳林展开式,并能利用这些展开式将一些xa简单的函数展成幂级数； 10.了解幂级数在近似计算中的简单应用； 11.了解傅立叶级数的概念以及函数展开成傅立叶级数的狄利克莱定理； 12.会将定义在-p,p,-l,l及0,p,0,l上的函数展开为傅立叶级数,会写出傅立叶级数的和的表达式。 二、主要内容： 1. 内容提要： 1.数项级数的定义： 设有数列un,n=1,2,3,L,则u1+u2+L=u1+u2+L+un=un=1n称作以u1为首项,以un为近项的无穷级数。 uk=1nk=sn称作无穷级数un的前n 项的部分和。 n=1若limsn

3、=s,则称级数nun=1n收敛于s,s称为级数un=1n的和,即un=1n=s；若limsn不存在,则称级数un发散,nn=1即un=1n的和不存在。 一般项数列un与部分和数列sn关系：un=sn-sn-1 2.数项级数的性质： 级数u1n收敛的必要条件是：limun=0,当limun0或limun不存在时,nnnun=1n必发散。 设k是非零常数,则级数kun=1n与un=1n的敛散性相同。 un=1n中增加、改变或去掉有限项后,敛散性不变。 设un=1n=s,vn=s,则(anbn)=anbn=ss n=1n=1n=1n=1收敛级数任意加括号后所得级数都收敛,且其和不变；发散级数去括号后

4、仍发散。 3.正项级数收敛判别法： 比较判别法： 设当nv时,有0unvn,若v1n收敛,则u1n收敛；若u1n发散,则v1n发散。 un比较判别法的极限形式 若lim=l(0l0或lim=+,且vn,则un发散。 nvnv11nn敛散性已知的常用级数 aqn=0n 当q1时收敛,p1时发散； pnn=11p1时收敛,p1时发散。 p 当nlnnn=2()un+1=r 则当r1时,un发散,此时limun0； 比值判别法： 若limnnu11n 则当r=1时,此判别法不能判定。 根值判别法： 若limnun=r 则当r1时,u1n发散,此时limun0； n 则当r=1时,此判别法不能判定。

5、积分判别法： 设函数f(x)在1,+)单调下降且非负,则级数正项级数收敛的充分必要条件：部分和数列sn有界。 f(n)与反常积分n=1+1f(x)dx同敛散。 4.交错级数莱布尼兹判别法： 若un+1un,n=1,2,L且limun=0,则n(-1)n=1n-1un收敛,且其和小于首项u1。 5.绝对收敛与条件收敛： 若级数u11n收敛,则级数收敛,而级数u11n也收敛,并称此级数发散,则称此级数u1nn为绝对收敛； 若级数 6.函数项级数的概念： ununu1条件收敛。 设u1(x),u2(x),Lun(x),L为定义在(a,b)内的函数序列,则定义在(a,b)内的函数项级数。 设xn(a,

6、b),若级数u(x)=u(x)+u(x)+L+u(x)+L 称为n12nn=1nu(x)收敛,则称x为函数项级数u(x)的收敛点,收敛点的全体称为其收敛域；若级n010n=1数u(x)发散,则称x为函数项级数u(x)的发散点,发散点的全体称为其发散域。 n00nn=1n=1设sn(x)为函数项级数和函数。 7.幂级数的概念： 称u(x)的前n项和序列,若lims(x)=s(x),x(a,b)存在,则称s(x)为u(x)的nn=1nnnn=1axnn=0n为x的幂级数,称a(x-x)n0n=0n为x-x0的幂级数。 阿贝尔定理 若级数若级数axnn=0n在x=x0(x00)处收敛,则适合不等式x

7、x0的一切x使这幂级数发散。 axnn=0nannn幂级数anx,则R=lim,R称为anx的收敛半径,anx在xR发散。 nan=0n=0n=0n+1napnpnn幂级数anx,则R=plim为anx的收敛半径,anx在xR发散。其中R=0时,收敛域仅为一点x=0；R=+时,收敛域为(-,+)；0R+时,收敛域为一有限区间。 8. 幂级数在收敛区间(-R,R)性质： 设axnn=0nnn=A(x),则和函数A(x)在(-R,R)内连续； axn=0=A(x)在(-R,R)内可逐项积分,逐项求导,且得到的新的级数收敛半径不变。 xann+1A(x)dx=x A(x)=nanxn-1 x(-R,

8、R) n=0n+1n=1n。 0设anx=A(x), xR ,j(x)处处连续,则anj(x)=Aj(x),xj(x)R。 nn=0n=0设 axnn=0n=A(x),xR1；bnxn=B(x),xR2；则在xR=min(R1,R2)上有； n=0nn(an=0nbx=axbx=A(x)B(x)； )nnnnn=0n=0nn anxbnx=(a0bn+a1bn-1+L+anb0)xn=A(x)B(x)。 n=0n=0n=09.函数的幂级数展开： 函数的泰勒展开式 设f(x)在x-x0R具有任意阶导数,且 f(n+1)(x)n+1x-x0)=0,x=x0+q(x-x0),0q1 lim(n(n+

9、1)！ 则 f(x)=n=0f(n)(x0)n!(x-x0),x-x0R n函数的麦克劳林展开式 设f(x)在xR具有任意阶导数,且 f(n+1)(x)n+1x=0,x=qx,0q1 limn(n+1)! 则 f(x)= 常用函数的麦克劳林展开式 121n11e=1+x+x+L+x+L=xn,x+2!n!n=0n!x(-1)x2n+1,x+131n2n+12sinx=x-x+L+(-1)x+L= 3!(2n+1)!n=0(2n+1)!(-1)x2n,x+121n2n3cosx=1-x+L+(-1)x+L= 2!(2n)!n=0(2n)!nnn=0f(n)n!(0)xn,xR 12n4=1+x+

10、x+L+x+L=xn,x1 1-xn=0(-1)xn+1,x1 12131n+1n5ln(1+x)=x-x+x-L+(-1)x+L=23n+1n=0n+1a(a-1)2a(a-1)L(a-n+1)na6(1+x)=1+ax+x+L+x,x1 2!n!n10.傅立叶级数的概念： 函数在-l,l上的傅立叶级数 设l的周期函数f(x)在-l,l上满足狄利克莱条件： 1除有限个第一类间断点外处处连续； 1lnpx1lnpx2仅有有限个极值点，dx,(n=0,1,2L)；bn=f(x)sindx,(n=0,1,2L)则有以an=f(x)cos-l-llllla0npxnpx为系数所组成的三角级数，+an

11、cos+bnsin称为 函数f(x)的傅立叶级数。 2n=1ll狄利克莱收敛定理：设f(x)在-l,l满足狄利克莱条件，则f(x)的傅立叶级数在-l,l上收敛，其和函数为s(x)，且 f(x),x为f(x)的连续点；1 s(x)=f(x0+0)+f(x0-0),x0为f(x)的间断点；21f(-l+0)+f(l-0),x=l。2当f(x)在-l,l上是偶函数时，则f(x)在-l,l上的傅立叶级数是余弦级数 a0npx+ancos2n=1l n=0,1,2L l2npx其中an=f(x)cosdx0ll 当f(x)在-l,l上是奇函数时，则f(x)在-l,l上的傅立叶级数是正弦级数 npxl n

12、=1 n=0,1,2L l2npx其中bn=f(x)sindxl0l仅定义在0,l上的函数f(x)可以奇延拓后展成正弦级数；也可以偶函数延拓后展成余弦级数。 bnsin三、重点与难点： 级数收敛，发散，条件收敛，绝对收敛的判定； 幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域以及和函数的求法； 将函数展开成幂级数； 求函数的傅立叶系数与傅立叶级数，写出傅立叶级数的和； 求某些数项级数的和。 典型例题： 例1：判别下列级数的敛散性： 113+135+L+1(2n-1)(2n+1)+L 1+223+325+L+n222n-1+L 112n-n=1n 解 na111n=22n-1-2n+1,s11n=ak=k=

13、121-2n+1limns111n=limn21-2n+1=2所以级数其和为1n1(2n-1)(2n+1)收敛，2。解 2a=2nn2n-1limnan1n=limn2n-1=40所以级数n=1n22n-1发散。解 因为公比q=1所以等比级数1212n收敛;n=1 因为p=1112所以级数n=n发散；1故级数1n=112n-n发散。例2：判别以下级数的敛散性： nn4n=14 2+(-1)12nn,n=13n, , ,n=1nnnlnnn=13 解 n44un=4n因为r=limun+1nu=lim(n+1)4n1nn4n+1n4=41由根值判别法解 所以级数n=123nlnnn发散。f(x)

14、=1x(lnx)p因为+1x(lnx)2dx=p1(1-p)(lnx)pp-1+21,p1p-1=(p-1)(ln2),p1 发散由积分判别法 例3：若所以级数n=21n(lnn),在p1时收敛,在p1时发散。a(ann=1n0)收敛，试证：级数 an,2n=1(2)n=1ann,a(3)n,n=11+an(4)(an+an+1)n=1 收敛。证 因为an收敛，n=1则liman=0n即存在N2当nN时有0an1所以an1)与an收敛n=1ann收敛。因为an0,a故nan1+anan收敛。n=11+an由an收敛n=1所以证 因为a,ann=1n=1n+1 收敛，所以(an+an+1)收敛。

15、n=1例4：判别以下级数的审敛性： xn11-(),其中xn为递增有界的正数列；xn+1n=1(2)n=11n0xdx;1+x(3)en!;nnn=1n(4)1a0)。n(1+an=1解 因为正数列xn递增有界，即0x1x2Lxnxn+1L,所以xn收敛。且有0122n=1n=1n1n0由比较判别法知：级数un=n=1n=11n0xdx收敛。1+x解 en(n+1)!nnun+1e因为r=lim=lim=lim=1n+1nnnunnen!(n+1)1n1+n由比值判别法知：在r=1时失效，因为改用其它方法判别。enn!设un=nnnn11 因为数列1+是单调上升且趋于e的，即对一切n有1+1由

16、此得出un+1unnun11+nenn!所以limunu10故级数n发散。nn=1n解 1分以下三种情况讨论：n1+a1111a=1un=limun=0n1+122un=20a1级数1发散。n1+an=11lim=limun=10n1+ann11un=1+anan1因为0n-1(n+1)12+1由莱布尼兹判别法知：级数(-1)n=1收敛n+1所以级数(-1)n=1n-1条件收敛。n+121解 n=1(-1)=1nn2nn=1n2n-11111因为,级数收敛公比q=1nnnn2222n=1 由比较判别法知：级数n=1(-1)n-1n2n收敛所以级数n=1(-1)n-1nn2绝对收敛。解 1设un

17、=,n-lnnn-lnnn=1(-1)n=1,n=1n-lnn11因为limn-lnn=lim=1,nn1lnn1-nnn-11级数发散(p=1),n=1n(-1)非绝对收敛，1由比较法极限形式知：级数发散，级数n=1n-lnnn=1n-lnn11又因为limun=lim=limn=0nnn-lnnnlnn1-n1ln1+-1(n-lnn)-(n+1)-ln(n+1)11nun+1-un=-=0n+1-lnn+1n-lnnn+1-lnn+1n-lnn(n+1)-ln(n+1)n-lnn)()()()(所以un+11,ur=limn+1=limn+1nun(n+2)!nnnn(n+2)nnn+2

18、2nn+1由比较判别法知：级数(-1)非绝对收敛，n+1!()n=1由limun+1unn1可知：当n足够大时,un+1un1,即un+1un,nn+1所以级数(-1)发散。(n+1)!n=1n所以limun0,n从而limun0,n例6：判别以下级数的敛散性： -1)(1)nn=2n+(-1)n,(2)sin(pn=1n+a22),(3)(-1)n=1n-1an(a0)n(4)111111+-+-+Laa+1a+2a+3a+4a+5n(a0)解 (-1)不单调,所以不能利用莱布尼兹判别法来判敛。因为un=nn+(-1)nnnn-1n-1()()-1)-1n()1= 但是un= =-n222n

19、-1n-1n-1n+(-1)nn-1)n-1)(1易知2与2均收敛,故也收敛。nn-1n-1n=2n=2n=2n+(-1)注：本题说明交错级数的莱布尼兹判别法是交错级数收敛的充分条件。不满足该条件的交错级数也有可能收敛，本题即为一例。 解 sinpn+a(22)=sinnp+(pa2nn+a-np=(-1)sinn2+a2+n22)因为当n充分大时,0sin22n+a+n1时，级数(-1)n=1n-11当a1时，级数(-1)n=1an绝对收敛；nan发散；n3当a=-1时，级数(-1)n=1n-1(-1)nn1=-发散；n=1n4当a=1时，级数n=1(-1)nn-1条件收敛。解 本题为任意项

20、级数而非交错级数，考虑每三项加一括号所成的级数。9n2+6n(a-1)+a2-2a+1111+-=a+3n-3a+3n-2a+3n-1n=1(a+3n-3)(a+3n-2)(a+3n-1) n=1 由比较判别法易知该级数发散，再由级数的基本性质：发散级数去括号仍发散知111111原级数+-+-+L发散。aa+1a+2a+3a+4a+5小结：判别数项级数敛散性时，一般可按如下顺序进行： 例7： nn1x-(1)若幂级数anx在x=2处收敛，问级数an在1x=12x=-2处是否收敛？2n=1n=1(2)若幂级数an(x-2)n=1n在x=-1处收敛，问此级数在x=4处是否收敛？若收敛，是条件收敛还

21、是绝对收敛？解 幂级数anxn在x=2处收敛。n=11由阿贝尔定理知：则对一切适合x2的x，anx绝对收敛，anx-与anxn的系数相同。2n=1n=1n=1n 因此对一切适合x-12的x,级数ax-1绝对收敛。n22n=1nn所以:111当x=1时,满足x-2,所以anx-在x=1处收敛，且绝对收敛。22n=1112当x=-2时,不满足x-2,所以anx-在x=-2处的敛散性不能确定。22n=1nn解 幂级数an(x-2)在x=-1处收敛。n=0n 由阿贝尔定理知：对一切适合x-2-1-2=3的x,即-1x5的该级数都收敛且绝对收敛。 所以an(x-2)在x=4处收敛且为绝对收敛。n=0n例

22、8：求以下幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域： 3n+(-1)nx(1)nn=1n3+(-1)n2x()nn=1n(-1)x2n+13()nn=13(2n+1)n(4)n=1(2x+1)nn解 n+13n+(-13+(-)1)an+1nan=r=lim=limnnnannn+13+(-1)nnn+111+-3n3=lim=nnn+111+-3nn+13,nnn3n+(-1)111(-1)1x=时，=+n3n3nn3n=1n=1(-1)收敛，1因为发散，nn3nn=1n=13n+(-1)1所以级数n3n=1nn发散；因为1nnn3n+(-1)1-1)(112x=-时，+-=n3n3nn3n=1n

23、=1(-1)nn与11均收敛,n3n3n+(-1)1所以级数-n3n=1nnn收敛。11,收敛域为-,。33 3n+(-1)n111所以幂级数x的收敛半径R=，收敛区间为-, n333n=1解 nn+1an=3+(-1)n,因为3+(-1)an+1=ann+1n3+(-1)n2nn+1=n2(n+1),n为奇数,n为偶数n3+(-1)an+1n所以lim不存在，故收敛半径不能用比值法确定，而r=lima=lim=1， nnannnn3+(-1)当x=1时，级数nn=1nn与n=1(-1)n3+1n均发散。3+(-1)n所以幂级数x的收敛半径 R=1，收敛区间为(-1,1)，收敛域为(-1,1)

24、。nn=11解级数缺少x的偶次幂项，不能直接用比值法求r得收敛半径R=,可采用以下方法： run+1(x)-1)x2n+33n(2n+1)(x)(方法一：r=lim=limn+1=n2n+1nu(x)n33(2n+3)(-1)xn1当n+12xxx2321,即x3,22x3时，发散；2当3当323=1,即x=3时，级数n=1(-1)32n+1n与n=1(-1)n-132n+1均收敛。所以，原幂级数的收敛半径R=3，收敛区间为-3，3，收敛域为-3，3。()(-1)tn方法二：令t=x2,原级数为xnn=13(2n+1)n+1-1)3n(2n+1)(an+1lim=limn+1nnan32n+3

25、()(-1)nn1=,即t3时收敛,3从而x3,也即x3时收敛,而当x=3时,级数2n=1(-1)n32n+1与n=1(-1)n-132n+1都收敛。所以，原幂级数的收敛半径R=3，收敛区间为-3，3，收敛域为-3，3。解 ()因为n=1(2x+1)nn不是x的幂级数，而是2x+1的幂级数，可用代换：令t=2x+1,n=1(2x+1)nntn=,n=1nlimnan+1n=lim=1,nn+1ann-1)(1发散，2t=-1时，收敛。 1t=1时，nnn=1n=1tn所以幂级数的收敛域为-1t1,即-12x+11,n=1n所以原幂级数n=1(2x+1)nn的收敛半径为1，收敛区间为(-1,0)

26、，收敛域为-3，3。2an+11kn+m小结：标准形式的幂级数anx的收敛半径可直接由r=lim而得R=。而当幂级数缺项，即anx时，narn=1n=1k可用变量代换法令t=x求得收敛半径或由un=anxkn+m，利用级数的比值判别法求出。另外，当幂级数为非标n准形式，如nt=ax+b，也可令，求出aax+bat()nn的收敛半径，转而代回x求出原幂级数的收敛半n=1n=1n径及收敛域。 例9：求以下幂级数的和函数： n2+1nn(2n+2)2n+1x(1)nx(2)(-1)2n!2n+1!()n=0n=0解 2(3)n(x-1)n=1n(4)(-1)n=1n+1nx2nxn (5)n=1n(

27、n+1)limn(n+1)+12nn!=0,当x-,+时,其和函数()2n+1(n+1)!n2+1nnnnn2+1nn(n-1)+n+1x1x1x1xS(x)=nx=+n!2n=2(n-2)!2n=1(n-1)!2n=0n!2n=02n!n=0x=221xx1x1x+2n=0n!2n=0n!2n=0n!2nnnnx2x1x=+122n=0n!2xx2x2=+1e22-x+解 -1)(2n+4)2n+1)!(limn(2n+3)!(-1)n(2n+2)n+1=0,当x(-,+)时，其和函数nn2n+1x(-1)x2n+2(-1)x2n+1xn(2n+2)xs(x)=s(x)dx=(-1)dx=x

28、 00(2n+1)!n=0n=0(2n+1)!n=0(2n+1)!()=(xsinx)=sinx+xcosx解 ,-x+n令t=x-1,limn(x-1)=ntn=1n=1n=tntn-1n=1nan+1n+1=lim=1,当t(-1,1)时，nanntn-1tn-1nt1n-1s(t)=nt=s(t)dt=ntdt=ntdt=t=20001-t(1-t)n=1n=1n=1n=1t(n)所以解 n(x-1)=ts(t)=n=1t(1-t)2=x-11-(x-1)2=x-1(2-x)2,0x2-1)(n+1)(an+1lim=lim=1,当x(-1,1)时，其和函数n+12nan(-1)nnn+

29、12nn+12n-1n+1n+1n+1nn-1ns(x)=(-1)nx=x(-1)nx=x(-1)nx=xx(-1)nx=xx(-1)xn=1n=1n=1n=1n=1xx(1-x)x=xx=x231+x1+x()()1+xn+22,-1x1解 n(n+1)an+1lim=lim=nan(n+1)(n+2)nxns(x)=n=1n(n+1)当1,x(-1,1)时，其和函数,s(0)=01xnxnn当x0时，s(x)=x=-nn+1n+1()n=1n=1nn=111n1xnx=-x-ln(1-x)-x=xn=1nn=1n+1x11所以s(x)=xn=-ln(1-x)-ln(1-x)-xnn+1x()n=11n其中，x=-ln(1-x),n=1nln(1-x)(1-x)ln(1-x)+1=1+xx(1-x)ln(1-x)nx0,-1x11+xx即