第8章代数几何码ppt课件.ppt

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1、第8章 代数几何码,8.1 代数几何的研究对象 8.2 仿射空间与仿射变换 8.3 射影空间与射影变换 8.4 在有限域上的仿射曲线与射影曲线 8.5 RS码与Goppa码 8.6 代数几何码的构成 8.7 代数曲线中的一些重要概念 8.8 Riemann-Roch定理 8.9 椭圆曲线码 习题,8.1 代数几何的研究对象,代数几何是几何学中的一个重要研究领域，它研究平面代数曲线、空间代数曲线和代数曲面，更一般地，研究n维空间的代数簇。所谓代数簇，就是由一组代数方程所确定的点集以及由这些点集通过一定的规则导出的对象。例如，在普通直角坐标中，由代数方程 F(x，y)0,所决定的曲线即为平面代数曲

2、线，这里F(x，y)是关于变量x，y的二元多项式。平面上的直线、圆锥曲线都是代数曲线，但是y-sinx=0所决定的正弦曲线便不是代数曲线。类似地，由三元多项式 F(x，y，z)0,决定的点集即为代数曲面。两个无关且相容的三元代数方程组 F1(x，y，z)0 F2(x，y，z)0 所决定的点集，即为空间代数曲线。一般地，由n元代数方程组 Fi(x1，x2，xn)0 i1，2，m,所决定的点集即为代数簇。研究一次曲线(直线)及一次曲面(平面)，以及二次曲线和曲面是普通解析几何中的内容。在上一世纪以前，代数几何是从研究三次及四次曲线及曲面的分类开始的。从19世纪末开始，人们才开始研究一般代数簇的系统

3、结构。在代数几何的研究中采用拓扑学及抽象代数方法则是本世纪的事情。,8.2 仿射空间与仿射变换,定义8.2.1 一个n维仿射空间AnK是点P，Q，R，的集，满足:1 每一个有序点偶(P，Q)，恰有vVnK与之对应，记为PQ=v。2 每一个点PAnK及每一向量vVnK，恰有一点QAnK使PQ v。,3 对于AnK中任意三点P，Q，R，恒有 PQ+QR PR,设vVnK。由定义8.2.1之2，对于每一点PAnK，恰有一点QAnK使PQ v。由此定义了AnK上的一个映射 Tv PQ，PTvQ称此映射Tv为AnK上的一个平移(见图 8-1)。,图 8-1 AnK上的一个平移,图 8 2 AnK上的平移

4、变换,定义8.2.2 设m为n维仿射空间AnK的非空子集，Sm为VnK的m维向量子空间。如果在AnK与VnK的相应关系下，m恰好是相应于Sm的一个仿射空间，则称m是AnK的一个m维仿射子空间。AnK的一维仿射子空间1称为直线，二维仿射子空间2称为平面。,图 8 3 A2K中的直线,例如，考虑A2K中一条直线，它通过点 P(p1，p2)，且该直线(作为一维仿射空间)相应的一维向量子空间以v(v1，v2)为基底，如图 8-3所示。设X(x1，x2)为该直线上任意一点。于是 PX 必为该直线相应的一维向量子空间中的向量，因而可写成 PX v(K)。又因PX OX-OP(x1，x2)-(p1，p2)(

5、x1-p1，x2-p2)，v=(v1，v2)，故(x1-p1，x2-p2)(v1，v2),由于v0(基向量)，不妨设v10。于是，由 x1-p1v1得,将代入x2-p2=v2中，便有 v2x1-v1x2+(v1p2-v2p1)0令a1=v2，a2-v1，a0v1p2-v2p1，便有 a1x1+a2x2+a00(8.2.1)式中，a1、a2不全为0。,反过来，每一个形如式(8.2.1)的一次方程均代表A2K中的一条直线。事实上，考虑满足方程式(8.2.1)的所有的点X(x1，x2)。由于a1，a2不全为0，不妨设a10。于是 x1-a-11(a0+a2x2)。选取P(-a-11 a0，0)，v(

6、-a2，a1)0，便有 x(-a-11 a0，0)+(-a2，a1)p+v-a-11 x2 此处点x与点p为点X与P的位置向量。这表明方程式(8.2.1)代表通过点P且由向量v构成的直线。,设e1，e2，en为n维向量空间VnK的基底。设0，e1，e2，en为相应的n维仿射空间Ank的坐标系。设X(x1，x2，xn)为Ank中任意一点。所谓仿射变换是指线性变换 YCX+b(8.2.2)式中,为域K上的非异矩阵，b(b1，bn)为AnK中一点。因此，仿射变换即为AnK上的非异齐次线性变换再加上平移。在变换式(8.2.2)之下，点X(x1，xn)变为点Y(y1，yn)。,8.3 射影空间与射影变换

7、,引入n维仿射空间的出发点是n维向量空间。引入n维射影空间的出发点则是域K上的n+1维向量空间Vn+1K。设v，wVn+1K。若存在r0(rK)使 wrv，则称向量v与w等价。在等价的意义下，Vn+1K中的全部向量被分成等价类。零向量0构成由自身代表的一类。记为0。如果一个类中包含向量v，则此类用v代表。,定义8.3.1 在Vn+1K中所建立的每一个异于0的类称为射影点。所有射影点的全体所构成之集称为域K上的n维射影空间，记作PnK。因此，PnK中的点是Vn+1K中的一维子空间。Vn+1K中的二维子空间称为PnK中的射影直线，三维子空间称为PnK中的射影平面，m(m3)维子空间称为PnK中的(

8、m-1)维超平面。在射影空间中可以引进齐次坐标的概念。,设e1，en，en+1是Vn+1K的一个基底。于是PnK中每一点X皆可表为,称(x1，xn，xn+1)为点X的射影齐次坐标。,设Y=(y1，y2，y3)，Z(z1，z2，z3)为该直线上两点，X(x1，x2，x3)为该直线上任意一点。这表明相应的V3K中向量X，Y，Z线性相关，即存在不全为0的1，2，3使1X+2Y+3Z0。即齐次方程组：1x1+2y1+3z10 1x2+2y2+3z20 1x3+2y3+3z30,有非零解(1，2，3)。而这只有在条件,(8.3.1),之下才成立。而式(8.3.1)可写成 u1x1+u2x2+u3x30(

9、8.3.2)式中 u1=y2z3-y3z2 u2=y3z1-y1z3 u3=y1z2-y2z1并且 u1，u2，u3不全为0(否则Y与Z将线性相关)。,另一方面，若点X不在该直线上，则X，Y，Z必线性独立，因而行列式(8.3.1)必不为0，即X之坐标不满足式(8.3.2)。式(8.3.2)即为P2K中射影直线之一般方程。类似地，我们可建立射影空间中高次曲线的方程。射影空间中的曲线称为射影曲线。,由于射影空间PnK中的第一类点包含了所有对应于仿射空间AnK中的点，同时在射影空间中还有第二种点，因此射影空间PnK可视为由仿射空间AnK中的点添加第二种点，即所谓虚点而获得的模型。由于所有虚点均对应于

10、xn+10的射影点，因此这种射影点位于一个射影超平面上，并且全部这种点对应于仿空间AnK的模像是(n-1)维线性子空间，即所谓(n-1)维流型。在A2K中是直线，在A3K中是平面，等等。在射影空间中，上述的虚点也称为无穷远点。,8.4 在有限域上的仿射曲线与射影曲线,设Fq(GF(q)代表q阶有限域。又设Fq代表Fq的代数闭包，即包含Fq的最小代数闭域。可以证明：,设F(x，y)代表Fq上的二元多项式，它在Fq上的全部根便定义为仿射平面A2(Fq)上的一条仿射曲线。多项式F(x，y)的次数称为该曲线的阶。,定义8.4.1 在仿射平面上A2(Fq)的点(a，b)，若a，bFq，则称点(a，b)为

11、A2(Fq)上的有理点。对于m次二元多项式F(x，y)，它定义了一条m阶仿射曲线，记为C。经过齐次化：zmF(xz，yz)便得到一个三元m次齐次多项式，记为F(x，y，z)。,例如，考虑三次二元多项式 F(x，y)y2-x2(x+1)它定义了仿射平面上一条三阶仿射曲线。经过齐次化：z3F(xz，yz)F(x，y，z)y2z-x3-x2z 齐次化的过程相当于引进齐次坐标。一般，由m次二元多项式F(x，y)经过齐次化得到的三元m次齐次多项式F(x，y，z)，便定义了射影平面上的一条m阶代数曲线，称为m阶射影曲线。它是由仿射曲线C上的点添加某些无穷远点所构成的射影平面上的m阶代数曲线。,反过来，每一

12、条m阶射影曲线F(x，y，z)0也可通过非齐次化手续化为m阶仿射曲线F(x，y，1)0。例如五阶射影曲线 F(x，y，z)x5+y5-z50 可化为 F(x，y)x5+y5-10 这相当于由原来的m阶射影曲线去掉某些无穷远点所产生的m阶仿射曲线。,定义8.4.2 在射影平面P2(Fq)上的点(a，b，c)，当c0时，ac，bcFq；当c0时(此时，a，b中至少有一不为0)，abFq(b0)或baFq(a0)；则称点(a，b，c)为P2(Fq)上的有理点。,例8.1 在P2(F4)上找出曲线 y2z+yz2x3+x2z+xz2+z3(8.4.1)上的全部有理点。,表 8 1 式(8.4.1)所示

13、曲线上的全都有理点,熟知，F40，1，+12，经过计算，该曲线上的全部有理点共有9个，见表 8-1。点Q(0，1，0)是无穷远点。式(8.4.1)所确定的曲线是亏格为1的代数曲线，称为椭圆曲线。椭圆曲线是编码理论中要讨论的重要曲线，以后我们会进一步解释。在实践上，真正算出给定曲线的全部有理点，或退一步，算出这些有理点的个数，均是相当困难的工作。如果多项式F(x，y)在Fq的任何扩域Fqm上均无异于常数的因式，则称相应的曲线为不可约曲线(既约曲线)。判断一条曲线的不可约性，也是一件相当困难的事情。,8.5 RS码与Goppa码,为了讨论一般的代数几何码，我们首先来回顾一下经典的RS码及Goppa

14、码。正如定义7.3.1所述，RS码是Fq(q2)上码长为n=q-1的本原BCH码，该码的生成多项式为,式中，为Fq的本原域元素。RS码是码长为n(=q-1)，信息位数为n-d+1，最小距离为d的极大最小距离可分码n，n-d+1，d，亦即MDS码。像所有线性码一样，对于n，n-d+1，dRS码增加一个全校验位后，便成为扩展RS码。它是码长为n+1(=q)，信息位数仍为n-d+1的n+1，n-d+1码。由定理7.3.1，这个码的最小距离为d+1，因而扩展RS码仍为MDS码。,我们现在遵循里德与索洛蒙原来的编码方法，也就是用M-S多项式构造RS码的方法来建立扩展RS码。为了方便，我们取n=q。Fq中

15、的元素记成 ii 0iq-2 式中，为Fq的本原域元素。令 LfFqxfk-1 kn我们定义一个码C为 C(f(0)，f(1)，f(0)fL(8.5.1),正如7.3中所指出的码C是用频域方法编出的扩展RS码，码长n=q，信息位数为k，即L(作为线性空间)的维数。又因L中的多项式次数k-1，故不可能多于k-1个零点，从而码C的最小距离dmn-k+1。另一方面，推论3.2.1指出：任何线性码的最小距离至多为该码的校验位数加1，即 dmn-k+1 因此，dm=n-k+1。这表明码C是n，k，n-k+1线性码，亦即MDS码。,设i(0)Fq(i1，n)，1，n1，q-2，且1，n彼此不同，于是可定义

16、一个码为 C=(1f(1)，nf(n)fL(8.5.2)这个码的构成相当于如下的线性映射：L(Fq)n f(1f(1)，nf(n),显然，C仍为最小距离为n-k+1的线性码n，k，n-k+1，即为MDS码。,为增大码长，上面所构成的线性码还可在Fq的扩域Fqm上考虑。设 L=fFqmxdcgfk-1 kn 这里deg ff是多项式f的次数。再设i(0)Fqm(i1，2，n)，(1，n)，并且取Fqm中n个不同元素1，n，置(1，n)，于是可构造一个线性码 C(1f(1)，nf(n)fL 码C仍为n，k，n-k+1线性码，即为MDS码。由定义7.3.2可知该码就是广义RS码，记为GRSk(，)。

17、,假设f(z)(z)(z)是 上的有理函数，即(z)，(z)z。现在考虑 上所有具备下列性质的有理函数全体：1 f(z)以g(z)的所有零点(根)为零点(g(z)即为前述定义中的 上的Goppa多项式)，且f(z)在这些零点上的级至少为g(z)在这些零点上相应的级;2 f(z)除了在L1，n中的某些点上可能具有一级极点外别无其它极点。,这里f(z)的极点、极点的级，以及下面提到的f(z)在极点i上的留数 与普通复变函数论中的定义类似，此处不再重复。当f(z)取遍具有上述性质1，2的全部 上的有理函数时(注意，这些有理函数的全体构成一个线性空间)，在 上便可定义一个线性码，它由形如,(8.5.3

18、),的n重构成。,为了考察Goppa码与广义RS码之间的关系，我们首先需找出Goppa码(L，g)一致校验矩阵的另一种表达式。设。于是,是关于变量z的一个次数t的多项式(对于任何x)。由于,从而依据(z-x)(z)g(z)-g(x)-g(x)(mod g(z)，再令j1g(j)，关系式,对于0lt-1，上式中zl的系数均为0。我们看出，c(c1，cn)必与下列矩阵之每一行向量内积为0：,可改写成,(8.5.4),式中，第一行对应于上述和式中zt-1之系数；第二行对应于zt-2的系数，等等；最后，第t行对应于z0的系数。与式(7.9.9)相比可知：若这里的t=r，则上面的H4矩阵就是Goppa码

19、的H2矩阵。如所周知，对上述矩形做初等行变换并不影响c与该矩阵行的正交性。由此便得到Goppa码(L，g)的一致校验矩阵为,(8.5.5),现在我们再回过来考虑广义RS码GRSk(，)，亦即 C(1f(1)，nf(n)fL 的生成矩阵。在GRSk(，)中取k=t，且设 f(z)。于是C中的码字可写成,(8.5.6),这表明Goppa码(L，g)的一致校验矩阵恰为GRSk(，)的生成矩阵。这正如7.9中所指出的，Goppa码恰为一个GRS码的对偶码的子域子码。,8.6 代数几何码的构成,在上一节构造RS码及广义RS码中所使用的多项式f(z)可写成 z+a-1 z-1+a1 z+a0 k-1 或引

20、进齐次坐标zxy，上式可改写成 x+a-1 x-1 y+a1xy-1+a0y y,k-1(8.6.1),图 8-4 RS码的几何解释,从上述RS码的几何解释中，我们看到，这种码是由在射影直线X=P1上的有理函数及有理点P1，Pn所确定的。称X=P1为底曲线。激发起构造代数几何码想法的出发点就是将射影直线X=P1由射影平面P2上的代数曲线来取代，并且考虑以这条代数曲线上的指定点Q1，Ql分别至多为m1，ml级极点的全部有理函数，记为L(G)，。在这条曲线上取定n个Fq上的有理点P1，Pn，从而便构造出一个新的线性码,C(f(P1)，f(Pn)fL(G)如图 8-5所示。在这里，前述代数曲线也称为

21、底曲线。,图 8-5 用P2上的代数曲线构造的线,例8.2 考察例8.1中所示之椭圆曲线 y2z+yz2=x3+x2z+xz2+z3 已知该曲线上共有9个有理点：Q，P1，P2，P8，如表 8-1所示。,8.7 代数曲线中的一些重要概念,一、局部环与局部参数 在本节中用K代表Fq的代数闭包Fq。设X是一个仿射曲线或射影曲线，P是曲线X上的一点，U(P)是P点的一个邻域(为定义邻域概念，需在射影空间Pn或仿射空间An中引进所谓Zariski拓扑，此处从略)。在U(P)上定义的函数=fg称为于点P正则，如果g(P)0，其中f，g均为具有相同次数的齐次多项式。,两个在点P正则的函数1，2称为是等价的

22、，如果1，2在点P的某一邻域内相等。用O(U)代表在U(P)的每一点均为正则的函数全体，显然O(U)构成一个环。将O(U)中的函数按上述等价概念分类，又得到一个环，记为OP(X)。,定义8.7.1 O(U)中正则函数等价类的集合所构成的环OP(X)称为在X上点P的局部环(local ring)。这里定义的局部环概念正是近世代数中的局部环概念。事实上，不难证明 OP(X)含有一个在点P等于0的函数类的集合，记为mP(X)，它是OP(X)中唯一的一个极大理想。作为练习，建议读者证明这一结论。,在A2中，若一曲线由F(x，y)0定义，P(a，b)是该曲线上一点。若偏导数Fx(P)与Fy(P)至少有一

23、个不为0，则称点P为该曲线的非奇异点。这表明该曲线在点P有切线Fx(P)(x-b)+Fy(P)(y-b)0。若曲线上每一点均为非奇异点，则称该曲线是非奇异的或光滑的。今后，我们总假定所讨论的曲线是光滑的。在一般情形下，如果mPm2p(作为K上的向量空间看待)具有维数1，则称相应的代数曲线在点P光滑。,因为mPm2P之维数为1，故该空间有一生成元t。我们同样也把t作为对应于mP中之元。于是可断定，OP(X)中的每一元素z均可表为z=utm的形式，其中u是OP(X)中的单位(即乘法逆元)，m是某一整数。具备这一性质的元素t，作为函数看待，称之为在点P的局部参数。如果m0，则点P是z的m级零点；如果

24、m0，则点P是z的m级极点。我们引入记号 mOrdP(z)vP(z)对于一般在X上定义的有理函数fg，我们可定义 vP(fg)vP(f)-vP(g)(8.7.1),二、除子 除子(divisor)的概念在代数几何中占有重要地位。以下总假定X是K上的光滑射影曲线。定义8.7.2 在曲线X上的有限个点所作的形式整系数线性组合,nP是整数,即除去X上的有限个nP0的点P外，称之为除子。如果式(8.7.2)中所有nP0，则称除子D是有效的，记为D0。最后，在式(8.7.2)中称nP为除子D的次数，记为 deg(D)nP(8.7.3)两个除子D1=niPi及D2=miPi可进行加减运算：D1D2(nim

25、i)Pi 例如，若D1=P1+2P2-P3，D2=P1-3P3+P4，则 D1-D22P2+2P3-P4,定义8.7.3 X上全部除子所构成的加法群称为曲线X的除子群，记为div(X)。对于X上的有理函数f，在8.6中已经定义过f的除子(f)。使用本节中的记号vP()，我们可以重新定义(f)如下。,定义8.7.4 对于X上的有理函数f，f不恒为0，定义f的除子为,对于f0，我们规定：,在某种意义上说，函数f的除子可看作是一种登记表，它告诉我们这个数在曲线X上有哪些零点与极点以及它们相应的级数。因为f是分子与分母次数相同的有理函数，又因K是代数闭域，所以不难想象，f具有相同数目的零点与极点(连同

26、其级数一起计算)。因此，直观上可看出下述定理成立。,定理8.7.1(Bezout定理)对于X上的任一有理函数f，恒有deg(f)0。现在，我们在除子群div(X)上建立一种等价关系。设D，Ddiv(X)，如果对于某一有理函数f，有D-D(f)，则称除子D与D线性等价，记为DD。不难证明，这确实是一个等价关系，即满足:1 DD；2 DDDD；3 DD，DDDD。,定义8.7.5 称商群Div(X)(f)fRat(X)为曲线X的Picard群，记为 Pic(X)Div(X)(f)fRat(X)Picard群也叫除子类群。Picard群在代数曲线理论中起着重要的作用。,类似于8.5中用有理函数所构成

27、的线性空间定义推广了的Goppa码的情形一样，我们可在曲线X上做同样的事情。设D为曲线X的一个除子。考察集合 L(D)ffRat(X)，f0，(f+D00(8.7.4),定义8.7.6 设Ddiv(X)，称 L(D)ffRat(X)，f0，(f+D00 为由曲线X的除子D所决定的线性空间。可以证明，L(D)必为有限维线性空间，以 dimK L(D)代表 L(D)的维数。我们可以有下面的定理。,定理8.7.2 对于线性空间 L(D)，下述论断成立：1 若deg(D)0，则 L(D)0；2 dimK L(D)1+deg(D)。今后，用l(D)代表dimK L(D)，l(D)与下一节要叙述的一个重要

28、定理有直接的关系。,三、在曲线上的微分 考察A2上由方程F(x，y)0定义的曲线X，且设 P(a，b)为X上一点。曲线X在点P的切线TP由 dPF0定义，其中dPF由下式定义：dPFFx(a，b)(x-a)+Fy(a，b)(y-b)(8.7.5),给定PX，则映射dP把每一个函数F变成一个线性函数dP(F)。同样，给定函数F，则映射dPF把每一点PX皆变成一个线性函数dPF。称线性算子dPF为F在点P的微分。若考察每一点PX的微分，则记为dF。它具有下述性质：1 d(F+G)dF+dG；2 da0，aK；3 d(FG)FdG+GdF。,定义8.7.7 设X是闭域K上的仿射曲线。在X上定义(X)

29、为满足下述条件的集合：(X)中的每一元素在每一点PX的邻域U(P)内均可表示为，式中，fi，gi均在U(P)正则；并且dgi满足上述条件1，2，3。称(X)中的元素为正则微分形式。,定义8.7.8 考虑序偶(U，)与(V，)，设、分别是邻域U、V上的正则微分形式。定义等价关系：(U，)(V，)在UV 按这一等价关系决定的等价类称为有理微分形式。,定义8.7.9 微分的除子定义为,(8.7.6),此处fPdtP是的局部表示。,称W()为标准除子。可以证明，这种标准除子构成Picard群Pic(X)中的一个类。因此按定义8.7.6，可以定义线性空间 L(W)及其维数l(W)。定义8.7.10 设X

30、为闭域K上的光滑射影曲线。称g=l(W)为曲线X的亏格(genus)。定理8.7.3(Plcker公式)若X是P2上一个光滑d次射影曲线，则,(8.7.7),图 8-6 亏格的拓扑结构,定理8.7.4 如果是光滑射影曲线X上的微分，则,(8.7.9),8.8 Riemann-Roch定理,定理8.8.1(Riemann-Roch定理)设D是亏格为g的光滑射影曲线上的一个除子。于是，对于任意标准除子W，有 l(D)-l(W-D)deg(D)-g+1(8.8.1)这一定理不但在代数几何及其相关的理论(诸如数论等)中占有中心地位，它同时也是在编码理论中获得具有重大意义结果的关键所在。,推论8.8.1

31、 对于标准除子W，有 deg(W)2g-2(8.8.2)证明 每一个在射影曲线上的正则函数均为常数，从而 L(0)=k，l(0)1。在定理8.9.1 中置DW便可得到deg(W)2g-2。,推论8.8.2 设D是亏格为g的光滑射影曲线的除子，并且假设deg(D)2g-2。于是 l(D)deg(D)-g+1(8.8.3)证明 由推论8.8.1，deg(W-D)deg(W)-deg(D)(2g-2)-(2g-2)0。由定理8.8.2之1，L(W-D)0，从而l(W-D)0，再由定理8.8.1便得 l(D)deg(D)-g+1,定义8.8.1 设D为曲线X上的一个除子，我们定义(D)(X)：()-D

32、0 并且用(D)表示dimK(D)，称之为D的指标(index)。可以证明:(D)l(W-D)(8.8.4)为了说明Riemann-Roch定理的应用，我们再回到8.5中关于代数几何码的构造问题上来。,设X是Fq上的光滑射影曲线。设P1，P2，Pn为X上的有理点，并且D是除子P1+P2+Pn。进一步，假设G是某一另外的除子，并且除子G由不同于诸Pi的有理点构成，并且满足条件 2g-2deg(G)n(8.8.5),定义8.8.2 在Fq上长为n的线性码L(D，G)是线性映射L：L(G)(Fq)n之下的像，L由下式定义：L(f)(f(P1)，f(P2)，f(Pn)称这种码为广义的几何RS码。定理8

33、.8.2 L(D，G)码具有维数(信息位)kdeg(G)-g+1及最小距离dn-deg(G)。,定义8.8.3 广义的几何Goppa码是Fq上码长为n的线性码L(D，G)，它是线性映射*L(G-D)(Fq)n 之下的像，*L由下式定义：*L()(ResP1()，ResP2()，ResPn()(8.8.6)线性码L(D，G)的相参数由下述定理给出。,定理8.8.3 线性码L(D，G)具有维数 k*=n-deg(G)+g-，最小距离d*deg(G)-2g+2。这一定理的证明与定理8.8.2类似，也是定理8.8.1(Riemann-Roch定理)的直接推论。定理的证明留给读者。正如经典的Goppa码

34、与RS码的情形一样，我们有下述的定理。定理8.8.4 L(D，G)与L(D，G)互为对偶码。,定理8.8.5(Weil限)设X 是Fq上亏格为g的曲线，Nq(X)代表X上有理点的数目。于是有,(8.8.7),由上式可看出：,(8.8.8),塞里(Serre)于1983年将此上限改进为,(8.8.9),8.9 椭 圆 曲 线 码,在本章之末，我们对椭圆曲线码作一大致的介绍。亏格为1的平面代数曲线称为椭圆曲线。椭圆曲线X在P2上的一般齐次表达式为 y2z+a1xyz+a3yz2=x3+a2x2z+a4xz2+a6z3(8.9.1)其中a1，a2，a3，a4，a6Fq，称 F(x，y，z)y2z+a

35、1xyz+a3yz2-x3-a2x2z-a4xz2-a6z3(8.9.2)为Weirstrass多项式。,图 8-7 椭圆曲线上点的一种加法运算,表 8-2 F4上椭圆曲线码与BCH码的比较,以椭圆曲线为底曲线构成的线性码，称为椭圆曲线码。利用椭圆曲线上的有理点所构成的群，可以研究以椭圆曲线为底曲线所构成的线性码L(D，G)与L(D，G)的许多性质。德林科特(Y.Driencourt)等人于1987年曾证明，对于码长为n的椭圆曲线码L(D，G)，其最小距离d介于n-deg G与n-deg G+1之间(针对特征为2的域)：n-deg Gdn-deg G+1(8.9.3),经验表明，当码长n不太大

36、时，椭圆曲线码比BCH码的编码效率要高。表 8-2针对F4给出了这两种码的比较。表中n为码长，d为最小距离，r0代表BCH码的校验位数目，r1代表椭圆曲线码的校验位数目。关于椭圆曲线码的重量分布、覆盖半径以及各种码限的研究，引起了不少学者的重视，由于篇幅所限，这里不再介绍，请参阅1。,代数几何码的研究是当代编码理论界关注的焦点之一。人们利用各种代数曲线试图构造性能及参数较好的线性码，从理论上探讨代数几何码的一般性质，讨论曲线上有理点的个数(与码长有关)及码限问题。对于代数几何码，编码问题比译码问题容易。为使代数几何码走向实用化，寻找高效率的译码算法是这一领域中最为重要的课题。,编写本章的目的在

37、于促进更多的读者了解代数几何码这一新兴的领域。当然，真正走向这一领域的研究，还需要一段艰苦的历程。代数几何码的出现，正如著名编码学家范林特所指出的那样，它证明了一个重要的事实，任何数学，不管它多么高深，最终总是会在应用领域中放出异彩。,习 题,1 试将下列仿射平面上的代数曲线方程变为射影平面上的代数曲线方程：(1)y2+yx3+x2+x+1(2)xr+yr+10 2 试将下列射影平面上的代数曲线方程变换为仿射平面上的代数曲线方程：(1)x3y+y3z+z3x=0(2)x5+y2z3+yz4+z5=0,3 对于例8.2中的4，试求出div(4)。4 证明8.7中的mP(X)是环UP(X)中唯一的极大理想。5 在F4的代数闭域F4上考察P2中由方程 f(x，y，z)x3y+y3z+z3x=0 定义的代数曲线(Klein四次曲线)。试求出该曲线在F4上的全部有理点。6 证明曲线X上的所有次数为0的除子(即deg(D)0)构成div(X)的子群。,7 证明在8.7中对于div(X)中建立的关系DD(D，Ddiv(X)是一等价关系。并且进一步证明：1 D0 D(f)2 DD deg(D)deg(D)3 DD，D1D1D+D1D+D1 8 证明8.7中的定理8.7.2之1。9 证明8.8中的定理8.8.3。,