一次函数与几何图形综合专题讲座.docx

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1、一次函数与几何图形综合专题讲座一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： 函数方法 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题 数形结合法 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用 知识规律小结 ： 常数k，b对直线y=kx+b(k0）位置的影响 当b0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点； 当b0时，直线与y轴的负半轴相交 当k，b异号时，即-当b=0时，即-

2、b0时，直线与x轴正半轴相交； kb=0时，直线经过原点； kb当k，b同号时，即-0时，直线与x轴负半轴相交 k当kO，bO时，图象经过第一、二、三象限； 当k0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当bO，bO时，图象经过第一、三、四象限； 当kO，b0时，图象经过第一、二、四象限； 当kO，b=0时，图象经过第二、四象限； 当bO，bO时，图象经过第二、三、四象限 直线y=kx+b与直线y=kx(k0)的位置关系 直线y=kx+b(k0)平行于直线y=kx(k0) 当b0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b； 当bO时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=k

3、x+b 直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2的位置关系 k1k2y1与y2相交； k1k2； y1与y2相交于y轴上同一点或b=b12k1=k2,y1与y2平行； b1b2k1=k2,y1与y2重合. b=b21例题精讲： 1、直线y=-2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB y Q B x o C (1) 求AC的解析式；A P (2) 在OA的延长线上任取一点P,作PQBP,交直线AC于Q,试探究BP与PQ的数量关系，并证明你的结论。 (3) 在的前提下，作PMAC于M,BP交AC于N,下面两个结论：(MQ+AC)/PM的值不变；(MQ-AC)/PM

4、的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 y Q B M o C 2(本题满分12分)如图所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。 (1)当OA=OB时，试确定直线L的解析式； 第2题图 第2题图 (2)在(1)的条件下，如图所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AMOQ于M，BNOQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。 A P x (3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF和等腰直角ABE，连EF交y轴于P点，如图。 问：当点B在 y轴正半轴上运动时，

5、试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 第2题图 考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定 专题：代数几何综合题 分析：是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度； 由OA=OB得到启发，证明AMOONB，用对应线段相等求长度； 通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长 解答：解：直线L：y=mx+5m， A，B， 由OA=OB得5m=5，m=1， 直线解析式为：y=x+5 在AMO和OBN中OA=OB，OAM=BON，AMO=BNO， AMOONB AM=ON=4， BN=OM=3 如图，作EKy轴于K点 先证ABOBEK， OA=BK，EK=OB

6、 再证PBFPKE， PK=PB PB=115BK=OA= 222Byl1点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题 A0x3、如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于xC轴对称，已知直线l1的解析式为y=x+3， l2求直线l2的解析式； 过A点在ABC的外部作一条直线l3，过点B作BEl3于E,过点C 作CFl3于F分别，请画出图形并求证：BECFEF ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交与点M，且BPCQ，在ABC平移的过程中，OM

7、为定值；MC为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。 ABy0xCyBP0考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质 分析：根据题意先求直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线l2的上点C的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式； 根据题意结合轴对称的性质，先证明BEAAFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF； 首先过Q点作QHy轴于H，证明QCHPBO，xAMCQ然后根据全等三角形的性质和QHMPOM，从而得HM=OM，根据线段的和差进行计算OM的值 解答：解：直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点， A，B， 直

8、线l2与直线l1关于x轴对称， C 直线l2的解析式为：y=-x-3； 如图1 答：BE+CF=EF 直线l2与直线l1关于x轴对称， AB=BC，EBA=FAC， BEl3，CFl3 BEA=AFC=90 BEAAFC BE=AF，EA=FC， BE+CF=AF+EA=EF； 对，OM=3 过Q点作QHy轴于H，直线l2与直线l1关于x轴对称 POB=QHC=90，BP=CQ， 又AB=AC， ABO=ACB=HCQ， 则QCHPBO， QH=PO=OB=CH QHMPOM HM=OM OM=BC-=BC-=BC-OM OM=1BC=3 2点评：轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是

9、互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等 4.如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且a、b满足. (1)求直线AB的解析式； (2)若点M为直线y=mx上一点，且ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值； (3)过A点的直线交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为-1，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值 考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 专题：计算题 分析：求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线A

10、B的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可； 当BMBA，且BM=BA时，过M作MNY轴于N，证BMNABO，求出M的坐标即可；当AMBA，且AM=BA时，过M作MNX轴于N，同法求出M的坐标；当AMBM，且AM=BM时，过M作MNX轴于N，MHY轴于H，证BHMAMN，求出M的坐标即可 设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证AMGADH，AMGADHDPCNPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案 解答：解：要使b=必须2=0，b-4=0， a=2，b=4， A，B， 设直线AB的解析式是y=kx+b， 代入得：0=2

11、k+b，4=b， 解得：k=-2，b=4， 函数解析式为：y=-2x+4， 答：直线AB的解析式是y=-2x+4 如图2，分三种情况： 有意义， 如图当BMBA，且BM=BA时，过M作MNY轴于N， BMNABO， MN=OB=4，BN=OA=2， ON=2+4=6， M的坐标为， 代入y=mx得：m=3， 21， 3如图当AMBA，且AM=BA时，过M作MNX轴于N，BOAANM，同理求出M的坐标为，m=当AMBM，且AM=BM时，过M作MNX轴于N，MHY轴于H，则BHMAMN， MN=MH， 设M代入y=mx得：x=mx， m=1， 答：m的值是31或或1 23解：如图3，结论2是正确的

12、且定值为2， 设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点， 由y=kkx-与x轴交于H点， 22kkx-与y=kx-2k交于M点， 22H， 由y=M， 而A， A为HG的中点， AMGADH， 又因为N点的横坐标为-1，且在y=kkx-上， 22可得N 的纵坐标为-K，同理P的纵坐标为-2K， ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1 N与D关于y轴对称， AMGADHDPCNPC， PN=PD=AD=AM， PM-PN=2 AM点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二

13、次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键 5.如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1。 求直线BC的解析式： 直线EF：y=kx-k交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得SEBD=SFBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？ 如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角BPQ，连接QA并延长交轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。 考点：一次函数综合题；一次函数的

14、定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式 专题：计算题 分析：代入点的坐标求出解析式y=3x+6，利用坐标相等求出k的值，用三角形全等的相等关系求出点的坐标 解答：解：由已知：0=-6-b， b=-6， AB：y=-x+6 B OB=6 OB：OC=3：1， OC=OB=2， 3C 设BC的解析式是Y=ax+c，代入得；6=0a+c, 0=-2a+c， 解得：a=3, c=6， BC：y=3x+6 直线BC的解析式是：y=3x+6； 过E、F分别作EMx轴，FNx轴，则EMD=FND=90 SEBD=SFBD， DE=DF 又NDF=EDM， NFDEDM， FN=ME 联立y=kx

15、-k, y=-x+6 得yE=5k， k+19k k-3联立y=kx-k，y=3x+6 得yF=FN=-yF，ME=yE， 5k-9k= k+1k-3k0， 5=-9， k=3； 7不变化K 过Q作QHx轴于H， BPQ是等腰直角三角形， BPQ=90，PB=PQ， BOA=QHA=90， BPO=PQH， BOPHPQ， PH=BO，OP=QH， PH+PO=BO+QH， 即OA+AH=BO+QH， 又OA=OB， AH=QH， AHQ是等腰直角三角形， QAH=45， OAK=45， AOK为等腰直角三角形， OK=OA=6， K 点评：此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运用

16、解析式去解 6. 如图，直线AB交X轴负半轴于B，交Y轴负半轴于A，OCAB于C。 求m的值； 过G作OB的垂线，垂足为GQOB=OADAOB为等腰直角三角形CBO=45DCGB,DCGO,DOCB都是等腰直角三角形 GB=OG=CG=2m=-4直线AD交OC于D，交X轴于E，过B作BFAD于F,若OD=OE，求值； BF的AEHBO=FAHQOE=ODOED=ODEQFEB=OED，ADC=ODE(对顶角相等)ADC=FEBHBO=CADCAD=FAH在DAFB和DAFH中AFB=AFH=90AF=AFBAF=FAH(已证)DAFBDAFHBF=HF(全等三角形对应边相等)在DBOH和DAO

17、E中，HBO=EAOBO=AOBOH=AOE=90DBOHDAOEBH=AEQBH=BF+BH=2BFBFBFBF1=AEBH2BF2 如图，P为x轴上B点左侧任一点，以AP为边作等腰直角APM，其中PA=PM，直线MB交y轴于Q，当P在x轴上运动时，线段OQ长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。 7.在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图像过点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，与直线y=kx交于点P，且PO=PA 求a+b的值； 求k的值； D为PC上一点，DFx轴于点F，交OP于点E，若DE=2EF，求D点坐标. 考点：一次函数与二元一次方程 专题：计算题；数形结合；待

18、定系数法 分析：根据题意知，一次函数y=ax+b的图象过点B和点A，把2A、B代入求值即可； 设P，根据PO=PA，列出方程，并与y=kx组成方程组，解方程组； 设点D，因为点E在直线y= x上，所以E，F，222再根据等量关系DE=2EF列方程求解 解答：解：根据题意得： 5=-a+b 20=4a+b 解方程组得：a=a+b=-1， b=2 2133+2=，即a+b=； 2221x+2， 2设P，则点P即在一次函数y=ax+b上，又在直线y=kx上， 由得：一次函数y=ax+b的解析式是y=-又PO=PA， x2+y2=(4-x)2+y2 y=kx y=1 x+2， 21， 2解方程组得：x

19、=2，y=1，k=k的值是1； 211x+2），则E，F， 22设点D 2则-点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系 8. 在直角坐标系中，B、A分别在x，y轴上，B的坐标为，ABO=30，AC平分OAB交x轴于C； 求C的坐标； 解：AOB=90 ABO=30 OAB=30 又 AC是OAB的角平分线 OAC=CAB=30 OB=3 OA=3 OC=1 即 C(1，0) 若D为AB中点，EDF=60，证明：CE+CF=OC 证明：取CB中点H，连CD,DH AO= 3 CO=1 AC=2 又D,H分别是AB,CD中点 1 DH=AC AB

20、=23 21 DB=AB=3 BC=2 ABC=30 2 BC=2 CD=2 CDB=60 CD=1=DH EOF=EDC+CDF=60 CDB=CDF+FDH=60 EDC=FDH AC=BC=2 CDAB ADC=90 CBA=30 ECD=60 HD=HB=1 DHF=60 在DCE和 DHF中 EDC=FDH DCE=DHF DC=DH DCE DHF(AAS) CE=HF CH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1 CH=OC OC=CE+CF 若D为AB上一点，以D作DEC，使DC=DE，EDC=120，连BE，试问EBC的度数是否发生变化；若不变，请求值。 解：不变 EBC=60

21、 设DB与CE交与点G QDC=DE EDC=120 DEC=DCE=30 在DGC和 DCB中 CDG=BDC DCG=DBC=30 DGC DCB DCDB= DGDCDEDB= DGDE DC=DE 在EDG和BDE中 DEDB= DGDE EDG=BDE EDG BDE DEG=DBE=30 EBD=DBE+DBC=60 9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，且a 、b满足a-4 + |4b|=0 求A、B两点的坐标； D为OA的中点，连接BD，过点O作OEBD于F，交AB于E，求证BDO=EDA； y B E F O D A x 如图，P为x轴上A点右侧任意一点

22、，以BP为边作等腰RtPBM，其中PB=PM，直线MA交y 轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围. y 考点：全等三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根 B M 专题：证明题；探究型 O A P x Q 分析：首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a、b的方程，解方程组即可求出a，b的值，也就能写出A，B的坐标； 作出AOB的平分线，通过证BOGOAE得到其对应角相等解决问题； 过M作x轴的垂线，通过证明PBOMPN得出MN=AN，转化到等腰直角三角形中去就很好解决了 解答：解：a-4+|4-b|=0

23、 a=4，b=4， A，B； 作AOB的角平分线，交BD于G， BOG=OAE=45，OB=OA， OBG=AOE=90-BOF， BOGOAE， OG=AE GOD=A=45，OD=AD， GODEDA GDO=ADE 过M作MNx轴，垂足为N BPM=90， BPO+MPN=90 AOB=MNP=90， BPO=PMN，PBO=MPN BP=MP， PBOMPN， MN=OP，PN=AO=BO， OP=OA+AP=PN+AP=AN， MN=AN，MAN=45 BAO=45， BAO+OAQ=90 BAQ是等腰直角三角形 OB=OQ=4 无论P点怎么动OQ的长不变 点评：考查的是根式和绝对值

24、的性质 考查的是全等三角形的判定和性质 本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质，还有特殊三角形的性质 10、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为(0，1)， BAO=30求AB的长度； 以AB为一边作等边ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D求证：BD=OE yMEyEBOAxBOFAx 在的条件下，连结DE交AB于F求证：F为DE的中点 NDD考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形 专题：计算题；证明题 分析：直接运用直角三角形30角的性质即可 连接OD，易证ADO为等边三角形，再证ABDAEO即可

25、 作EHAB于H，先证ABOAEH，得AO=EH，再证AFDEFH即可 解答：解：在RtABO中，BAO=30， AB=2BO=2； 证明：连接OD， ABE为等边三角形， AB=AE，EAB=60， BAO=30，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D， DAO=60 EAO=NAB 又DO=DA， ADO为等边三角形 DA=AO 在ABD与AEO中， AB=AE，EAO=NAB，DA=AO ABDAEO BD=OE 证明：作EHAB于H AE=BE，AH=BO=1AB， 21AB，AH=BO， 2在RtAEH与RtBAO中， AH=BO ，AE=AB RtAEHRtBAO， EH=A

26、O=AD 又EHF=DAF=90， 在HFE与AFD中， EHF=DAF，EFH=DFA，EH=AD HFEAFD， EF=DF F为DE的中点 点评：本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等 111.如图，直线y=x+1分别与坐标轴交于A、B两点，在y轴的负半轴上截取3OC=OB. 求直线AC的解析式； 1解： 直线y=x+1分别与坐标轴交于A、B两点 3 可得点A坐标为，点B坐标为 OC=OB 可得点C坐标为 设直线AC的解析式为y=kx+b 将A，C代入解析式 1 -3k+b=0且b=-1可得k=-，b=-1 31 直线AC的解析式为y=x-1 3在x轴上取一

27、点D，过点D做AB的垂线，垂足为E，交AC于点F，交y轴于点G，求F点的坐标； 解： GEAB kEGkAB=-13 kGE=-11=-3y=-3x+b设直线GE的解析式为 y=-3(-1)+b=0 将点D坐标代入，得 b=-3 直线GE的解析式为y=-3x-3 1x=-34， 联立y=x-1与y=-3x-3，可求出3 将其代入方程可得y=-34， ） F点的坐标为过点B作AC的平行线BM，过点O作直线y=kx，分别交直线AC、AH+BIBM于点H、I，试求的值。 AB解：过点O作AC的平行线ON交AB于点N BM/AC OIOHOB=OCOB=OC OI=OH O为IH的中点 BM/AC N

28、B NAOI=OH OI=OH NB=NA N为AB中点 ON是四边形ABIH的中位线 AH+BI=2ON N是AB的中点，DAOB是直角三角形 AB=2ON AH+BI=AB AH+BI =1 AB12.如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1. 求直线BC的解析式； 解：因为直线AB：y=-xb过点A. 带入解析式 就可以得到 b=-6 即直线AB：y=-x+6 B为直线AB与y轴的交点 点 B OB：OC=3：1 OC=2 点 C 已知直线上的两点 B、C。设直线的解析式为y=kx+m 带入B、C的坐标。可以算出k=3

29、,m=6 所以BC的解析式为：y=3x+6 直线EF：y=kx-k交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得SEBD=SFBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？ (2) 假设 存在满足题中条件的k值 因为直线EF: y=kx-k交x轴于点D。 所以D点坐标为 在图中标出点D,且过点D做一直线，相交与直线AB,BC分别与点E,F然后观察EBD和FBD 则 SEBD= 11DEh SFBD=DFh 22两个三角形的高其实是一样的 要使这两个三角形面积相等，只要满足DE=DF就可以了 点E在直线AB上，设点E的坐标为 点F在直线BC上，设点F的坐标为 而上面我们已经得

30、到点D的坐标为 点E、F又关于点D对称，所以我们就可以得到两个等式，即： ，点F的坐标即为 22223把点E代入直线EF 的解析式，得到k= 73所以存在k，且k= 7如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。 这样就可以求得：p=(3) K点的位置不发生变化 理由：首先假设直线QA的解析式为y=ax+b，点P的坐标为过点Q作直线QH垂直于x轴，交点为H 这样图中就可以形成两个三角形，分别是BOP和PHQ，且两个三角形都是直角三角形。 B

31、PQ为等腰直角三角形，直角顶点为P BP=PQ，BPO+QPH=18090=90 又在直角三角形中，QPH+PQH=90 根据上面两个等式，我们可以得到BPO=PQH 且PB=QP 所以在BOP和PHQ中 BOP=PHQ BPO=PQH PB=QP BOPPHQ OP=HQ=p OB=HP=6 点Q的坐标为 然后将点A和点Q的坐标代入直线QA的解析式：y=ax+b中，得到： a=1，b=-6 也就是说a,b为固定值，并不随点P的改变而改变 这样直线QA：y=x-6的延长线交于Y轴的K点也不会随点P的变化而变化了。 求得点K的坐标为 实战练习： 1.已知，如图，直线AB：y=-x+8与x轴、y轴

32、分别相交于点B、A，过点B作直线AB的垂线交y轴于点D. 求直线BD的解析式； 若点C是x轴负半轴上的任意一点，过点C作AC的垂线与BD相交于点E，请你判断：线段AC与CE的大小关系？并证明你的判断； 若点G为第二象限内任一点，连结EG，过点A作AFFG于F，连结CF，当点C在x轴的负半轴上运动时，CFE的度数是否发生变化？若不变，请求出CFE的度数；若变化，请求出其变化范围. 2.直线y=x+2与x、y轴交于A、B两点，C为AB的中点. 求C的坐标； 如图，M为x轴正半轴上一点，N为OB上一点，若BN+OM=MN，求NCM的度数； P为过B点的直线上一点，PDx轴于D，PD=PB，E为直线BP上一点，F为y轴负半轴上一点，且DE=DF，试探究BFBE的值的情况. 3.如图，一次函数y=ax-b与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于B且OA=AB，OAB的面积为6. 求两函数的解析式； 若M，直线BM与AO交于P，求P点的坐标； 在x轴上是否存在一点E，使SABE=5，若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由。