一元微积分A前三章练习题3答案.docx

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1、一元微积分A前三章练习题3答案13-14-3 一填空题 (每空3分，共21分) 1极限limsinxln(1+x)= 2 . x01-cosx2设函数y=x3ex，则微分dy=x2ex(3+x)dx. 3由方程xy+lny=1确定的函数为y=f(x), 则dydx=-e2. x=0e-x, x04 已知函数f(x)= 在x=0处可导，则a= -1 ，b= 1 . b+sinax, x01115曲线y=x上与直线x-y=2平行的切线方程是 y=x+. 222p6曲线y=sinx在点(,1)处的曲率半径为 1 . 2二、单项选择题 (每小题3分，共18分) 1设f(x)=1-cos3x，则当x0时

2、， f(x)与x2是等价无穷小; f(x)是比x2高阶的无穷小; f(x)是比x2低阶的无穷小; f(x)与x2是同阶但非等价无穷小. 2函数y=(cosln(2x)2的复合关系是 y=u2,u=coslnv,v=2x； y=u2,u=cosv,v=lnw,w=2x； y=cos2u,u=lnv,v=2x； y=cosu,u=v2,v=ln(2x). x2-93点x=-3是f(x)=2的. x+x-6连续点；可去间断点；跳跃间断点；无穷间断点 4如果函数y=f(x)二阶可导，f(0)=0，且limf(x)=1，则f(0) x0是f(x)的极小值; 是f(x)的极大值; 1 不是f(x)的极值;

3、 不一定是f(x)的极值. 5f(x)=x3在区间0,1上满足拉格朗日中值定理的x= -33; ; 3; -3. 33x+a, x06设f(x)=，则f(x)处处连续的充分必要条件是 2(1+a)x, x0a=0； a=1; a=2; a=-1. 三、计算题 ex+e-x-21求极限lim. x01-cosxex+e-x-2ex-e-xex+e-x=lim=lim=2 解：原式=limx0x0x0x2/2x12. 已知函数y=ln(1+x2)+arctanex+cos3，求dy2xex=+ 解： dx1+x21+e2xdy. dx3设y=y(x)是由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)所确定

4、的隐函数，求dy. 解： 2y-1=(1-y)ln(x-y)+(x-y)=(1-y)ln(x-y)+1-y1(1-y)x-y dy=2+ln(x-y)dx 3+ln(x-y)dy dx4. 设f(x)=(sinx)x，求 解：lny=ln(sinx)x=xln(sinx)，cosxxx)(ln(xs+inx) y=(sinsinx1cosxy=ln(sinx)+x ysinx)2 x=2(t-sint)dyd2y5. 设确定了函数y=y(x), 求，2. dxdxy=2(1-cost) 解：dxdydysint=2(1-cost)，=2sint，所以= dtdtdx1-costd2ydsint

5、dsint1=dx2dx1-costdt1-costdxdt cost(1-cost)-sint(sint)11=-(1-cost)22(1-cost)2(1-cost)26. 求函数y=2x3+3x2-12x+1图形的凹凸区间及相应曲线的拐点. 11解：y=6x2+6x-12,y=12x+6=12x+，令y=0，得x=- 2211当x-时，y-时，y0，得凹区间-,+。 22四、应用题 1在曲线y=1-x2 (x0)上求一点，使得曲线在该点的切线与两坐标轴所围三角形的面积为最小 解：设曲线的切点(x0,y0)满足y0=1-x02， 由y=-2x，过切点(x0,y0)的切线方程y-y0=-2x

6、0(x-x0)， x02+1与坐标轴交点(0,x0+1),(,0)， 2x02x02+113121面积S(x0)=(x0+1)=x0+2x0+，(x00) 22x04x022121(3x0-1)(x0+1)3S(x0)=3x0+2-2=，令，得唯一驻点， x=S(x)=00024x04x033 323所以x0=即为所求最小值点，对应曲线切点为3,3。 32水管壁的正截面是一个圆环，设它的内半径是R0，壁厚为h，利用微分来计算这个圆环面积的近似值. 解：圆面积公式为A=pR2, 则 DAdA=2pRdR=2pR0h 五、证明题 设函数f(x)在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)上f(x)0，f(0)=f(1)=0，对于任意的实数c(0,1)，证明：至少存在一点x(0,1)，满足f(x)=f(x+c) 证明：设F(x)=f(x)-f(x+c)，在0,1-c上连续， 且F(0)=f(0)-f(c)=-f(c)0， 由零点定理，至少存在一点x(0,1-c)(0,1)，使得F(x)=0，即f(x)=f(x+c)。 4