《概率论与数理统计》习题及答案选择题.docx

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1、概率论与数理统计习题及答案选择题概率论与数理统计习题及答案 选 择 题 单项选择题 1以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”； “甲、乙两种产品均畅销”； “甲种产品滞销或乙种产品畅销”； “甲种产品滞销”. 解：设B=甲种产品畅销，C=乙种产品滞销，A=BC A=BC=BUC=甲种产品滞销或乙种产品畅销. 选C. 2设A,B,C是三个事件，在下列各式中，不成立的是. (A-B)UB=AUB; (AUB)-B=A; (AUB)-AB=ABUAB; (AUB)-C=(A-C)U(B-C). 解：(A-B)UB=ABUB=(AUB)I(BUB

2、)=AUB A对. (AUB)-B=(AUB)B=ABUBB=AB=A-BA B不对 (AUB)-AB=(A-B)U(B-A)=ABUAB. C对 选B. 同理D也对. 3若当事件A,B同时发生时，事件C必发生，则. P(C)P(A)+P(B)-1； P(C)P(A)+P(B)-1； P(C)=P(AB)； P(C)=P(AUB). 解：ABCP(C)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)P(A)+P(B)-1 选B. 4设P(A)=a,P(B)=b,P(AUB)=c，则P(AB)等于. a-b； c-b； a(1-b)； b-a. 解：P(AB)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=a

3、-P(A)-P(B)+P(AUB)=c-b 151 选B. 5设A,B是两个事件，若P(AB)=0，则. A,B互不相容； AB是不可能事件； P(A)=0或P(B)=0； AB未必是不可能事件. 解：QP(AB)=0/AB=. 选D. 6设事件A,B满足AB=，则下列结论中肯定正确的是. A,B互不相容； A,B相容； P(AB)=P(A)P(B)； P(A-B)=P(A). 解： A,B相容 A不对. A B A=B,B=A,AB=F B错. AB=FP(AB)=0，而P(A)P(B)不一定为0 C错. P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A). 选D. 7设0P(B)0，则有 P(A

4、)P(A|B)； 前三者都不一定成立. P(AB)要与P(A)比较，需加条件. 选D. P(B) 11设0P(B)0且P(A1UA2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)， 解：P(A|B)=则下列等式成立的是. P(A1UA2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)； P(A1BUA2B)=P(A1B)+P(A2B)； P(A1UA2)=P(A1|B)+P(A2|B)； P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2). 解1：P(A1UA2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B) P(A1A2|B)=0P(A1A2B)=0 P(A

5、1BUA2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2B) 选B. 解2：由PA1UA2|B=P(A1|B)+P(A2|B) 得 P(A1BUA2B)P(A1B)+P(A2B)= P(B)P(B) 可见 P(A1BUA2B)=P(A1B)+P(A2B) 选B. 12假设事件A,B满足P(B|A)=1，则. B是必然事件； P(B)=1； P(A-B)=0； AB. P(AB)=1P(AB)=P(A)P(A)-P(AB)=0 P(A) P(A-B)=0 选C. 13设A,B是两个事件，且AB,P(B)0，则下列选项必然成立的是 解：P(B|A)=( ). 153 P

6、(A)P(A|B)； P(A)P(A|B). P(AB)ABP(A)=P(A) 解：P(A|B)=P(B)P(B) ABP(A)P(B)0P(B)0,A1,A2互不相容，则下列各式中不一定正确的是. P(A1A2|B)=0； P(A1UA2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)； P(A1A2|B)=1； P(A1UA2|B)=1. 解：P(A1A2)=0QA1A2=F P(A1A2B)=0 A对. P(B) P(A1UA2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B) P(A1A2|B)= =P(A1|B)+P(A2|B) B对. P(A1A2|B)=P(A1UA2|B)=1-P

7、(A1UA2|B) =1-P(A1|B)-P(A2|B)1 C错. P(A1UA2|B)=P(A1A2|B)=1-P(A1A2|B)=1-0=1 D对. 选C. 15设A,B,C是三个相互独立的事件，且0P(C)1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是. AUB与C； AC与C； A-B与C； AB与C. 解：P(AUB)C=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=(1-P(A)(1-P(B)P(C) =1-(P(A)+P(B)-P(A)P(B)P(C)=P(AUB)P(C) A对. P(ACC)=P(AUC)C=P(ACUCC)=P(AC)+P(C)-P(AC) =P(C)P(AC)P(C

8、) AC与C不独立 选B. 16设A,B,C三个事件两两独立，则A,B,C相互独立的充分必要条件是. A与BC独立； AB与AUC独立； AB与AC独立； AUB与AUC独立. 154 解：QA,B,C两两独立， 若A,B,C相互独立则必有 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC) A与BC独立. 反之，如A与BC独立则P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C) 选A. 17设A,B,C为三个事件且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是. 若P(C)=1，则AC与BC也独立； 若P(C)=1，则AUC与B也独立； 若P(C)=1，则A-C与A也独立； 若CB，

9、则A与C也独立. 解：QP(AB)=P(A)P(B),P(C)=1概率为1的事件与任何事件独立 AC与BC也独立. A对. P(AUC)IB=P(AUC)B=P(ABUBC) =P(AB)+P(BC)-P(ABC)=P(AUC)P(B) C对 选D. 18一种零件的加工由两道工序组成. 第一道工序的废品率为p1，第二道工序的废品率为p2，则该零件加工的成品率为. 1-p1-p2； 1-p1p2； 1-p1-p2+p1p2； (1-p1)+(1-p2). 解：设A=成品零件，Ai=第i道工序为成品 i=1,2. P(A1)=1-p1 P(A2)=1-p2 P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(

10、A2)=(1-p1)(1-p2) =1-p1-p2+p1p2 选C. 19设每次试验成功的概率为p(0p0，则k 155 . l为任意正实数； l=b+1； 11； l=. 1+bb-1lblkk=1 解：P(X=K)=bl=bl=b1-l1-lk=1k=1k=11 l= 选C. 1+b 21设连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为f(x)和F(x)，则 l=下列各式正确的是. 0f(x)1； P(X=x)=f(x)； P(X=x)=F(x)； P(X=x)F(x). 解：F(x)=P(Xx)P(X=x) 选D. 22下列函数可作为概率密度的是. f(x)=e,xR； 1,xR； f(x)

11、=p(1+x2)-|x|1-xe2,x0, f(x)=2p 0,x1. 解：A： B：2+-+e-|x|dx=2+0e-xdx=2+0e-xdx=2 错. dx11pp+=arctanx=+=1 -p(1+x2)p-p2210xR 选B. 且 f(x)=2p(1+x) 23下列函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是. F(x)=111F(x)=+arctanx； ； 1+x22p1-x(1-e), F(x)=2,0 156x0x0;x-+- F(x)=pf(t)dt，其中f(t)dt=1. 解：对A：01+x)=P(X1-x) 即 F(1-x)=1-P(X1+x)=1-F(1+x) 选C.

12、27设XN(m,4),YN(m,5)，设P(Xm-4)=p122，P(Ym+5)=p2，则. 对任意实数m有p1=p2； p1p2； 只对m的个别值才有p1=p2. m-4-m=F(-1)=1-F(1) 4m+5-m p2=P(Ym+5)=1-P(Ym+5)=1-F=1-F(1) 5 p1=p2 选A 2 28设XN(m,s)，则随着s的增大，概率P(|X-m|s)的值. 解：p1=P(Xm-4)=F 单调增大； 单调减少； 保持不变； 增减不定. 解：P(|X-m)|s=P(m-sX1)=F(0)= 33设随机变量 1 选B. 2-1Xi14且满足P(X1X2=0)=1，则P(X10111,

13、i=1,2 24=X2)=. 159 0； 1/4； 1/2； 1. 解： X1 X2 -10140-1 001401014104111pi424 P(X1X2=0)=1P(X1X20)=0 P(X1=X2)=P(X1=X2=-1)+P(X1=X2=0)+P(X1=X2=1) 1 =0+0+0=0 选A. 34设随机变量X取非负整数值，P(X=n)=an(n1)，且EX=1，则pj1412 14a的值为. 3+53-5； ； 2235 ； 1/5. 2 解：1=EX=nan=1n=anan=1n-1=a(X)nn=1X=a=a(Xn-1)n=0X=ax =a1-x2=aX=a21(1-a)23

14、5，但a1. 2 a=(1-a),a-3a+1=0,a= a=3-5. 选B. 2 35设连续型随机变量X的分布函数为 11-x4,F(x)=0,则X的数学期望为. 160x1,x1, 2； 0； 4/3； 8/3. -54x 解：f(x)=0x1xEX2； (EX)2EX2. 解：DX=EX2-(EX)20 EX2(EX)2. 选D. 41设X1,X2,X3相互独立，且均服从参数为l的泊松分布，令1Y=(X1+X2+X3)，则Y2的数学期望为. 3111222 l； l； l+l； l+l. 333 解：QX1X2X3独立P(l) (X1+X2+X3)P(3l) E(X1+X2+X3)=D(

15、X1+X2+X3)=3l 1lD(X1+X2+X3)= 932222 =EY-(EY)=EY-l l22 EY=l+ 选C. 3 42设X,Y的方差存在，且EXY=EXEY，则. D(XY)=DXDY； D(X+Y)=DX+DY； D(X1+X2+X3)=13 X与Y独立； X与Y不独立. 解：D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y) =DX+DY+2(EXY-EXEY)=DX+DY 选B. 43若随机变量X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y)，且DXDY0，则必有. X,Y独立； X,Y不相关； DY=0； D(XY)=0. 解：D(X+Y)=D(X-Y)cov(X,Y)=0P=0X,Y不

16、相关. 选B. 44设X,Y的方差存在，且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X,Y 162. 不相关的充分条件，但不是必要条件； 独立的必要条件，但不是充分条件； 不相关的必要条件，但不是充分条件； 独立的充分必要条件. 解：由D(X+Y)=DX+DYcov(X,Y)=0r=0X与Y不相关 D(X+Y)=DX+DY是不相关的充要条件. A、C不对. 由独立D(X+Y)=DX+DY，反之不成立 选B. 45设X,Y的相关系数rXY=1，则 X与Y相互独立； X与Y必不相关； 存在常数a,b使P(Y=aX+b)=1； 存在常数a,b使P(Y=aX+b)=1. 解：|rXY|=1存在a,b使P(

17、Y=aX+b)=1 选C. 46如果存在常数a,b(a0)，使P(Y=aX+b)=1，且0DX+，那么X,Y的相关系数r为. 1； 1； |r|=1； |r|0，必有. P(|X-C|e)=E|X-C|/e； P(|X-C|e)E|X-C|/e； P(|X-C|e)E|X-C|/e； P(|X-C|e)DX/e. 解：P(|X-C|e)= 选C. 49设随机变量X的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有P(|X-EX|10). 0.25； 0.75； 0.75； 0.25. 解：P(|X-EX|10)1- 选C. 50设X1,X2,L为独立随机变量序列，且Xi服从参数为l的泊松分布，2|X-C|

18、ef(x)dxf(x)dx=1|X-C|X-C|eef(x)dx +-|X-C|eeE|X-C| DXe2=1-253=0.75 1004i=1,2,L，则. nX-nlii=1 limPx=F(x)； nnl 当n充分大时， 当n充分大时，Xi=1nni近似服从标准正态分布； 近似服从N(nl,nl)； Xi=1i 164n 当n充分大时，P(Xi=1ix)F(x). 解：由独立同分布中心极限定理 选C i=1nXni近似服从N(nl,nl) 51设X1,X2,L为独立随机变量序列，且均服从参数为l的指数分布，则. nnX-ili=1 limPx=F(x)； 2nn/lnlX-nii=1 l

19、imPx=F(x)； nn1nX-ili=1 limPx=F(x)； 2n1/lnlX-nii=1 limPx=F(x). nn11nnnn 解：EXi= DXi=2 EXi= DXi=2 ll1l1lnnnlX-nX-iil11x=F(x). 由中心极限定理limPx=limPnnnn2l 选B. 52设X1,X2,X3,X4是总体N(m,是统计量的是. s2)的样本，m已知，s2未知，则不 165 4 X1+5X4； Xi=1i-m； 2i X1-s； Xi=14. 统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. 选C. 53设总体XB(1,p),X1,X2,L,Xn为来自X的样本，则PX=.

20、p； 1-p； kkk Cnp(1-p)n-k； Cn(1-p)kpn-k. nk=n 解：X1X2LXn相互独立且均服从B(1,p) 故 即 nXB(n,p) 则P(X= 选C. Xi=1iB(n,p) kkk)=P(nX=k)=Cnp(1-p)n-k n 54设X1,X2,L,Xn是总体N(0,1)的样本，X和S分别为样本的均值和样本标准差，则. X/St(n-1)； XN(0,1)； 22 (n-1)Sc(n-1)； nXt(n-1). 1111nXN(0,) B错 解：X=Xi EX=0，DX=2n=nnnni=1 Q (n-1)S2s2XSc2(n-1) (n-1)222S=(n-1

21、)Sc(n-1) 21nt(n-1). A错. 选C. 22 55设X1,X2,L,Xn是总体N(m,s)的样本，X是样本均值，记S1= 1n1n1n2222(Xi-X),S2=(Xi-X),S3=(Xi-m)2，n-1i=1ni=1n-1i=11n2S4=(Xi-m)2，则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是. ni=1 166X-mX-m； T=； S1/n-1S2/n-1X-mX-m T=； T= S4/nS3/n T=(X 解：i=1ni-X)2c2(n-1) X-ms2snN(0,1) X-m T=s1nt(n-1) is2(Xi=1n-X)2n-1(X-m)nX-m=n-1t(n

22、-1) T=2S2nS2/n-1 选B. 2 56设X1,X2,L,X6是来自N(m,s2)的样本，S为其样本方差，则DS2的值为. s； s； s； 2 解：X1,X2,L,X6N(m,s),n=6 13415425422s. 55S2s2c2(5) 25S2=25=10 即DS2=10s4=2s4 由c分布性质：Ds2255 选C. 57设总体X的数学期望为m,X1,X2,L,Xn是来自X的样本，则下列结论中正确的是. X1是m的无偏估计量； X1是m的极大似然估计量； X1是m的一致估计量； X1不是m的估计量. 解：QEX1=EX=mX1是m的无偏估计量. 选A. 2 58设X1,X2,L,Xn是总体X的样本，EX=m,DX=s，X是样本 167 均值，S2是样本方差，则. s22 XNm,； S与X独立； n(n-1)S2c2(n-1)； S2是s2的无偏估计量. 2s 解：已知总体X不是正态总体 都不对.