MATLAB经典数学建模教程.docx

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1、MATLAB经典数学建模教程第 1 节Matlab 基本知识 一、 Matlab 的主要功能 Matlab是一种功能非常强大的工程语言，诞生于20世纪XX年代，XX年正式推向市场。XX年8月，Matlab6.5开始发布。是进行科学研究和产品开发必不可少的工具。 l 数值和符号计算 矩阵(数组)的四则运算、数值差分、导数、积分、求解微分方程、微分方程的优化等 l 数字图像、数字信号处理 l 工程和科学绘图 l 控制系统设计 l 财务工程 l 建模、仿真功能 二、 Matlab 的界面 1.命令窗口： Matlab各种操作命令都是由命令窗口开始，用户可以在命令窗口中输入Matlab命令，实现其相应

2、的功能。此命令窗口主要包括文本的编辑区域和菜单栏。在命令窗口空白区域单击鼠标右键，打开快捷菜单，各项命令功能如下： Evaluate Selection :打开所选文本对应的表达式的值。 Open Selection :打开文本所对应的MatLab文件。 Cut :剪切编辑命令。 Paste :粘贴编辑命令。 2. M-文件编辑/调试窗口 Matlab Editor/Debugger窗口是一个集编辑与调试两种功能于一体的工具环境。 M-文件 l 什么是M-文件：它是一种和Dos环境中的批处理文件相似的脚本文件，对于简单问题，直接输入命令即可，但对于复杂的问题和需要反复使用的则需做成M文件。 l

3、 创建M-文件的方法： Matlab命令窗的File/New/M-file。 在Matlab命令窗口运行edit。 l M文件的扩展名： *.m l 执行M-文件：F5 l M文件的调试 选择Debug菜单，其各项命令功能如下： Step :逐步执行程序。 Step in :进入子程序中逐步执行调试程序。 1 Step out :跳出子程序中逐步执行调试程序。 run:执行M-文件。 Go Until Cursor :执行到光标所在处。 Exit Debug Mode :跳出调试状态。 l 函数文件的创建要求：文件名与函数名必须相同，如sin(x)必有sin.m函数文件存在。 要求实参和形参位

4、置一一对应。形参在工作空间中不会存在。 可以编写递归函数，可以嵌套其他函数。 可以用return命令返回，也可以执行到终点返回 3.工作空间窗口： 显示目前保存在内存中的Matlab的数学结构、字节数、变量名以及类型窗口。 保存变量：File菜单Save Workspace as 命令行：save 文件名 装入变量：File菜单Import Data 命令行：Load 文件名 4.现在目录窗口 5.命令历史窗口：提供先前使用过的函数，可以复制或者再次执行这些命令。 Matlab帮助系统 Matlab在命令窗口提供了可以获得帮助的命令，用户可以很方便的获得帮助信息。例如：在窗口中输入“help

5、fft”就可以获得函数“fft”的信息。常用的帮助信息有help ,demo ,doc ,who ,whos ,what ,which ,lookfor ,helpbrowser ,helpdesk ,exit ,web 等。 三、关于变量 变量命名规则： l 变量名是不包含空格的单个词 l 变量名区分大小写 l 变量名必须以字母开头的字母、数字、下划线的组合，最多19个字符。 l Matlab提供的标准函数名均以小写字母开头 特殊变量名： l ans 缺省变量名 l pi 圆周率 l i，j 虚数单位 l eps 无穷小 l inf ，Inf 无穷大 l realmax 最大正实数 l re

6、almin 最小正实数 清除变量的值 l clear l clear 变量名1 变量名2 显示驻留内存的变量名 l who l whos 2 第 2 节 Matlab编程 一、矩阵的输入 1、直接输入 直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号分隔。所有元素处于一方括号内；多维矩阵用多重方括弧。可建立复数矩阵 如： Null_M = %生成一个空矩阵 可建立复数矩阵 R=1,2,3;4,5,6 I=7,8,9;10,11,12 Z=R+I*j 2. 由M文件方式建立，今后使用键入M文件名即可建立相应矩阵 2、利用函数输入 “：”表达式，产生

7、等差行向量 start：step：end 或start：end如：t1：20 产生等距输入： linspace 将a,b区间分成n1个等距小区间 产生随机排列： randperm(n) 产生1n之间整数的随机排列 3、特殊矩阵输入 zeros(n) 生成nn全零阵， zeros 元素全为0的ab维矩阵， 以下各函数同理具有该类型。 zeros(size(A) 生成与矩阵A相同大小的全零阵， ones 元素全为1的ab维矩阵 eye 对角线上的元素为1的ab维矩阵 rand 产生ab维均匀分布的随机矩阵，其元素在内 rand 无变量输入时只产生一个随机数 randn产生ab维正态分布的随机矩阵

8、4.矩阵的转置和逆矩阵 n X的转置：X ( 图像顺时针旋转90，并水平镜像) 如：a=imread(D:2-1.bmp); b=a; subplot(1,2,1),subimage(a),subplot(1,2,2),subimage(b) n X的逆矩阵 inv(X) 二、矩阵元素的访问及其大小的确定 访问第n个元素： X 访问多个元素： X (n1，n2，n3) 或 X 确定元素的个数： numel(X) 确定矩阵的大小： m,n,l=size(X) 三、矩阵的算数运算 l 数与矩阵的运算：m等价于m. mA : m与A中各元素相加 3 mA : m与A中各元素相减 mA : m与A中各

9、元素相乘 m. /A : m除以A中各元素 m A : A中各元素除以m l 矩阵与矩阵的运算 AB: A、B对应元素相加 AB: A、B对应元素相减 AB: A、B矩阵按线性代数中矩阵乘法运算进行相乘 A.*B: A、B对应元素相乘 A / B: A除以B矩阵 A./B: A除以B中各元素 A B: B除以A矩阵 A.B: B除以A中各元素 Am： 相当于矩阵A矩阵A矩阵A. A.m：矩阵A中各元素的m次方 A.B：矩阵A中各元素的进行B中对应元素次方 四、关系运算 、=、= =、 = 六种关系运算符。关系成立结果为1，否则为0。 五、逻辑运算 设矩阵A和B都是mn矩阵或其中之一为标量，在M

10、ATLAB中定义了如下的逻辑运算：&、|、xor 矩阵的与运算 格式 A&B或and(A, B) 说明 A与B对应元素进行与运算，若两个数均非0，则结果元素的值为1，否则为0。 或运算 格式 A|B或or(A, B) 说明 A与B对应元素进行或运算，若两个数均为0，则结果元素的值为0，否则为1。 非运算 格式 A或not (A) 说明 若A的元素为0，则结果元素为1，否则为0。 异或运算 格式 xor (A,B) 说明 A与B对应元素进行异或运算，若相应的两个数中一个为0，一个非0，则结果为0，否则为1。 六、集合运算 1两个集合的交集 intersect 2检测集合中的元素 ismember

11、 3两集合的差 setdiff 4两个集合交集的非函数 setxor 5两集合的并集 union 4 6取集合的单值元素 unique 七、MatLab的控制流 由各种语句构成 语句后面加“；”号，不显示运算结果 开头表示是注释语句 赋值语句 变量表达式 表达式 演示 for循环结构 一个简单的for循环示例。 for i=1:10; x(i)=i; end; x x = %i依次取1,2,10,. %对每个i值，重复执行由该指令构成的循环体， %要求显示运行后数组x的值。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 while循环结构 Fibonacci数组的元素满足Fibonacci 规则：

12、ak+2=ak+ak+1 ，(k=1,2,L)；且a1=a2=1。现要求计算出该数组中第一个大于10000的元素。 a(1)=1;a(2)=1;i=2; while a(i)8 sums=number*0.95*cost; end,sums sums = 114.0000 用for循环指令来寻求Fibonacc数组中第一个大于10000的元素。 n=100;a=ones(1,n); 5 for i=3:n a(i)=a(i-1)+a(i-2); if a(i)=10000 a(i), break; %跳出所在的一级循环。 end; end,i ans = 10946 i = 21 switch

13、-case结构 学生的成绩管理，演示switch结构的应用。 clear; %划分区域：满分(100)，优秀(90-99)，良好(80-89)，及格(60-79)，不及格( diff( cos(x) ) % differentiate cos(x) with respect to x ans= -sin(x) M=sym( a，b；c，d ) % create a symbolic matrix M M= a，b c，d 注意：1.建立符号数组时，最好用上函数sym 2.许多符号函数可以自动将字符转变为符号表达式。例如diff cos(x) 也可以， diff x2+3*x+5 % the a

14、rgument is equivalent to x2+3*x+5 l 符号变量是符号表达式中的变量，如：x+3*y+z中的x,y,z。 l 独立变量是当符号表达式中含有多于一个的变量时，只有一个变量是独立变量。缺省的独立变量是x，如果没有x，则选择最靠近x的作为独立变量。如表达式 1/(5+cos(x) 中8 是 x ；在 3*y+z 中是 y ；在 a+sin(t) 是 t ，而表达式 sin(pi/4)-cos(3/5) 是一个符号常数无符号变量。可利用函数symvar询问MATLAB在符号表达式中哪一个变量它认为是独立变量(系统找不到一个独立变量，便假定无独立变量并返回x)。 symv

15、ar( a*x+y*) % find the default symbolic variable ans= x symvar( a*t+s/(u+3) ) % u is the closest to x ans= u symvar( sin(omega) ) % omega is not a singlee character。 ans= x symvar( 3*i+4*j ) % i and j are equel to sqrt(-1) ans= x 指定独立变量： diff( xn ) % differentiate with respect to the default variabl

16、e x ans= xn*n/x diff( xn ， n ) % differentiate xn with respect to n ans= xn*log(x) diff( sin(omega) ) % differentiate using the default variables (x) ans= 0 diff( sin(omega) ， omega ) % specify the independent variable ans= cos(omega) 第 2 节 符号表达式运算 标准代数运算： symadd、symsub、symlnul、symdiv：分别为加、减、乘、除两个表达

17、式 sympow：将一个表达式上升为另一个表达式的幂次 例如：给定两个函数 f=2x2+3x-5g=x2-x+7 f= 2*x2+3*x-5 % define the symbolic expression f= 2*x2+3*x-5 g= x2-x+7 g= x2-x+7 9 symadd(f，g) % find an expression for f+g ans= 3*x2+2*x+2 symsub(f，g) % find an expression for f-g ans= x2+4*x-12 symmul(f，g) % find an expression for f*g ans= (

18、2*x2+3*x-5)*(x2-x+7) symdiv(f，g) % find an expression for f/g ans= (2*x2+3*x-5)/(x2-x+7) 3* sympow(f,3*x) % find an expression for f ans = (2*x2+3*x-5)(3*x) 联接运算： symop：取由逗号隔开的、多至16个参量。各个参量可为符号表达式、数值或算子( + 、 - 、*、 / 、 、 ( 或 ) )，然后symop可将参量联接起来，返回最后所得的表达式. f= cos(x) % create an expression f= cos(x) g

19、= sin(2*x) % create another expression g= sin(2*x) symop(f，/ ，g，+，3) % combine them ans= cos(x)/sin(2*x)+3 高级运算： compose:把f(x)和g(x)复合成f(g(x)； finverse: 求函数的逆函数； symsum：求表达式的序列和。 l compose 给定表达式 f=11+x2g=sin(x)h=11+u2k=sin(v) 10 syms x y u v f = 1/(1 + x2); g = sin(y); h = 1/(1+u2); k= sin(v); % crea

20、te the four expression compose(f，g) % find an expression for f(g(x) ans= 1/(1+sin(y)2) compose(g，f) % find an expression for g(f(x) ans= sin(1/(1+x2) 用于含有不同独立变量的函数表达式: compose(h，k，u，v) % given h(u)，k(v)，find(k(v) compose(h，k) % 结果一样 ans= 1/(1+sin(v)2) l finverse 表达式譬如f(x)的函数逆g(x)，满足g(f(x)=x。例如，ex的函数

21、逆是ln(x)，因为ln(ex)=x。sin(x)的函数逆是arcsin(x)，函数11的函数逆是arcsin。函数finverse返回表达式的tan(x)x函数逆。如果解不是唯一就给出警告。 syms x a b c d z finverse(1/x) % the inverse of 1/x is 1/x since 1/如： 12 f= a*x2+b*x+c % create a function f(x) f= a*x2+b*x+c subs(f,x,s) % substitute s for x in the expression f ans= a*s2+b*s+c subs(f,a

22、,alpha) % substitute alpha for a in f ans= alpha*x2+b*x+c 求符号表达式的函数值 为了得到数字，需要使用函数eval 来转换字符串。 syms x f=symsum(x2) x=2 eval 第 3 节 微积分函数 微分和积分广泛地用在许多工程学科，这部分的主要函数有： diff：Differentiate. Int：Integrate Jacobian：Jacobian matrix Limit：Limit of an expression. Symsum：Summation of series Taylor：Taylor series

23、 expansion 微分和差分:diff f= a*x3+x2-b*x-c % define a symbolic expression f= a*x3+x2-b*x-c diff(f) % differentiate with respect to the default variable x ans= 3*a*x2+2*x-b diff(f，a ) % differentiate with respect to a ans= x3 13 diff(f，2) % differentiate twice with respect to x ans= 6*a*x+2 diff(f， a ，2)

24、 % differentiate twice with respect to a ans= 0 m=(1： 8).2) % create a vector M= 1 4 9 16 25 36 49 64 diff(M) % find the differences between elements ans= 3 5 7 9 11 13 15 如果diff的表达式或可变参量是数值，MATLAB就非常巧妙地计算其数值差分；如果参量是符号字符串或变量，MATLAB就对其表达式进行微分。 积分int： 格式：int(f)，其中f是一符号表达式，它力图求出另一符号表达式F使diff(F)=f。 注意：积

25、分或逆求导不一定是以封闭形式存在，或存在但软件也许找不到，或者软件可明显地求解，但超过内存或时间限制。当MATLAB不能找到逆导数时，它将返回未经计算的命令。 int( log(x)/exp(x2) ) % attempt to integrate ans= log(x)/exp(x2) 积分函数的多种形式： int(f)：相对于缺省的独立变量x求逆导数 int(f， s )：相对于符号变量s积分 int(f，a，b)和int(f， s ，a，b)：a，b是数值，求解符号表达式从a到b的定积分 int(f， m ， n )和形式int(f， s ， m ， n )：其中m，n是符号变量，求解符

26、号表达式从m到n的定积分。 f= sin(s+2*x) % crate a symbolic function f= sin(s+2*x) int(f) % integrate with respect to x ans= -1/2*cos(s+2*x) 14 int(f， s ) % integrate with respect to s ans= -cos(s+2*x) int(f，pi/2，pi) % integrate with respect to x from p/2 top ans= -cos(s) int(f， s ，pi/2，pi) % integrate with resp

27、ect to s from p/2 to p ans= 2*cos(x)2-1-2*sin(x)*cos(x) int(f， m ， n ) % integrate with respect to x from m to n ans= -1/2*cos(s+2*n)+1/2*cos(s+2*m) diff 和 int 均可以对符号数组的每一个元素进行运算。 F=sym( a*x,b*x2;c*x3,d*s ) % create a symbolic array F = a*x, b*x2 c*x3, d*s int(F) % ubtegrate the array elements with

28、respect to x ans= 1/2*a*x2，1/3*b*x3 1/4*c*x4， d*s*x 第 4 节 数字信号处理常用Matlab函数简介 一、典型离散信号表示方法 1.单位冲击序列(n) (n)可以用zero函数来实现： x=zeros(1,N); x(1)=1; 2.单位阶跃序列u(n) 可以用ones函数来实现 X=ones(1,N); 3.正弦序列 n=0:N-1; x=A*sin(2*pi*f*n*Ts); 4.指数序列 N=1:N; 15 X=a.*n; 5.复指数序列 n=0:N-1; x=exp(j*w*n); 6.随机序列 Rand(1,N) :产生0，1上的均

29、匀分布的随机序列； Rand(1,N) :产生均值为0，方差为1的高斯随机序列，即白噪声序列。 二、滤波器分析与实现 滤波器分析与实现常用函数 abs angle conv conv2 deconv f1 filt filter filter2 filtfilt filtic freqs freqspace freqz freqzplot gGrpdelay latcfilt impz medfilt1 sosfilt zplane upfirdn unwrap 求绝对值 求相角 求卷积 求二维卷积 翻卷积 重叠相加法fft滤波器实现 直接滤波器实现 二位数字滤波器 零相位数字滤波器 Filt

30、er初始条件选择 模拟滤波器频率响应 画出频率响应曲线 数字滤波器频率响应 画出频率响应曲线 平均滤波延迟 格型滤波实现 数字滤波器中的单位冲击响应 一维中值滤波 二次分式滤波器实现 离散系统零、极点图 上抽样 去除相位 1. abs y=abs(x) 计算x的绝对值，当x为复数时，其算其模值。当x为字符串时，计算各个字符的ASCII码。 2. angle = angle(h) 计算复矢量或者复矩阵的相角，相角介于-之间。 conv c=conv(a,b) 对序列a,b进行卷积运算。 filter y=filter(b,a,x) 计算输入信号x的滤波器输出，向量a,b分别是所采用的滤波器的分子

31、系数向量和滤波器的分母向量。 y,zf=filter(b,a,x,zi) 参数zi指定滤波器的初始条件，其大小为 zi=max(length(a),length(b)-1 y=filter(b,a,x,zi,dim) dim指定滤波器的维数。zi或表示空集。 5. impz 16 h，t=impz(b,a) 返回参数h是冲击相应的数值；返回t是冲击相应的抽样时间间隔。 h，t=impz(b,a，N) N用来制定冲激信号长度。如果N是一个整数向量，只返回N元素所对应时刻的抽样数值的冲击结果。N为，表示不制定冲激信号的长度，其长度与滤波器结构保持一致。 h，t=impz(b,a,N,fs) Fs用

32、来指定冲击信号的抽样频率，默认值是。 三、信号变换 常用变换函数 czt dct dftmtx fft fft2 fftshift Hilbert idct ifft ifft2 Chirp z变换 离散余弦变换 离散傅里叶变换 一维快速傅里叶变换 二维快速傅里叶变换 重新排列fft输出 Hilbert变换 离散余弦反变换 一维快速傅里叶反变换 二维快速傅里叶反变换 fft Y=fft(X) 若X是向量，则采用傅里叶变换求解X离散傅里叶变换；若X是矩阵，则计算该矩阵每一列的离散傅里叶变换。 Y=fft(X,N) N是进行离散傅里叶变换的X的数据长度，可以通过对X进行补或截取来实现。 Y=fft

33、(X,dim) 在参数dim指定的维上进行傅里叶变换。X是矩阵时，dim用来指变换的实施方向：dim，表明变换按列进行；dim，表明变换按行进行。 第 5 节 方程求解 一、求解单个变量的代数方程：利用 solve函数 1.没有号的表达式，用solve将其置成等于0。 solve( a*x2+b*x+c ) % solve for the roots of the quadratic eqution ans= 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)1/2) 注：方程有2个解。 2.对其他非缺省变量求解，在 solve 中指定出该变量。 sol

34、ve( a*x2+b*x+c ， b ) % solve for b ans= -(a*x2+c)/x 17 3.对带有等号的方程求解。 f=solve( cos(x)=sin(x) ) % solve for x f= 1/4*pi t=solve( tan(2*x)=sin(x) ) t = 0 pi atan(1/2*(-2*3(1/2)(1/2),1/2+1/2*3(1/2) atan(-1/2*(-2*3(1/2)(1/2),1/2+1/2*3(1/2) atan(1/2*2(1/2)*3(1/4)/(1/2-1/2*3(1/2)+pi -atan(1/2*2(1/2)*3(1/4)

35、/(1/2-1/2*3(1/2)-pi 二、单个常微分方程求解：利用 dsovle函数 dsovle 函数的句法：用字母D来表示求微分，D2，D3等等表示二阶、三阶微分，并以此来设定方程。任何D后所跟的字母为因变量。方程d2y/dx2=0用符号表达式D2y=0来表示。独立变量可以指定或由symvar规则选定为缺省。 例1，求一阶方程dy/dx=1+y2的解，其通解为： dsolve( Dy=1+y2 ) % find the general solution ans= tan(t+C1) C1是积分常数 给定初值y(0)=1的方程的解： dsolve(Dy=1+y2 , y(0)=1 ) %

36、add an initial condition y= tan(t+1/4*pi) 指定独立变量： dsolve( Dy=1+y2 , y(0)=1 , v ) % find solution to dy/dv ans= tan(v+1/4*pi) 例2：求二阶微分方程的解，方程有两个初始条件： dyd2y =cos(2x)-y (0)=0 y(0)=1 2dxdx y=dsolve(D2y=cos(2*x)-y , Dy(0)=0 , y(0)=1 ,x) y= (1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x)*cos(x)+(1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x)*sin(x)+4/3*cos(x) y=simple(y) % y looks like it can be simplified 18 y= -1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x) 例3：求解下列形式的微分方程 d2ydy-y=0 2dxdx通解为： y=dsolve( D2y-2*Dy-3*y=0 ,x) y = C1*exp(-x)+C2*exp(3*x) 加上初始条件：y(0)=0和y(1)=1可得到： y=dsolve( D2y-2*Dy-3*y=0 ,y(0)=0,y(1)=1,x