《垂径定理》课件.ppt

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1、,垂径定理,？,1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？,圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴,2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？,圆是中心对称图形，圆心是对称中心,一、温故知新,问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段

2、和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,活 动 一,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2）线段：AE=BE,几何语言表达,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,不是,深化：,O,A,B,C,D,E,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的几个基本图形：,CD过圆心,CDAB于E,AE=BE,思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？,如图:,AB是O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM,垂径定理的推论,连接OA，OB，则OA=OB.,在OAM和OBM中，,OA=OB，OM=OM，AM=BM,OAMOBM.,AMO=BMO.,CDAB,O

3、关于直径CD对称，,当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.,（1）（4）（5）,（2）（3）,（1）（5）,（2）（3）（4）,讨论,（1）（3）,（2）（4）（5）,（1）（4）,（2）（3）（5）,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对的劣弧,（3）（5）,（3）（4）,（1）（2）（5）,（2）（4）,（1）（3）（5）,（2）（5）,（1）（3）（4）,（1）（2）（4）,（4）（5）,（1）（2）（3）,每条推论如何用语言表示？,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两

4、条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（4）（5）（6）（7）（8）（9）,九条推论,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,结论,一、判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦

5、，必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分,3半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是.,8cm,1半径为4cm的O中，弦AB=4cm，那么圆心O到弦AB的距离是.,2 O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是.,二、填空：,4、O的半径为10cm，弦ABCD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是_.,2cm,或14cm,E,E,F,E,D,油的最大深度ED=ODOE=200(mm),或者油的最大深度ED=OD+OE=450(mm).,(1),在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=60

6、0mm，求油的最大深度.,OE=125(mm),解：,如图，ABC的三个顶点在O上，OEAB于E，OF AC于F.求证：EFBC，EF=,练习,OEAB E为AB的中点OF AC F为AC的中点 EF为三角形ABC的中位线,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,再来！你行吗？,2：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证：ACBD.,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE.AECEBEDE.所以，ACBD,E,只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.,3、已知：O

7、中弦ABCD.求证：ACBD,夹在两条平行弦间的弧相等.,你能用一句话概括这个结论吗？,小结:,解决有关弦的问题，经常需要过圆心作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.,C,问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,解得：R279（m）,解决求赵州桥拱半径的问题,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径

8、约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,实践应用,7.2,18.7,体会.分享,说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！,圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理:,在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题.,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,六、知识盘点,垂径定理与推论的应用,如图，O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一个动

9、点，求OP的取值范围.,O,A,B,P,练习,3OP5,例1 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径.,解：连结OA.过O作OEAB，垂足为E，则OE3厘米，AEBE.AB8厘米 AE4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA5厘米 O的半径为5厘米.,讲解,例、图示，在圆中，弦的长为厘米，圆心到的距离为厘米，求圆的半径.,例题图 变式题图 变式题图,变式：若以为圆心，再画一个圆交与、两点，则与之间存在怎样的大小关系？变式：若以为圆心，在变式题图的基础上再画一个圆，则与，与之间存在怎样的大小关系？,变式：在变式题图的基础上，连结、，将大圆隐去，得到下图，设

10、，试证明.变式：在变式题图的基础上，将小圆隐去，得到下图，设CD，试证明.,变式题图 变式题图,学生练习,已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：ECDF,如图，A、B、C在圆上，且AB=AC=5厘米，BC=8厘米，求圆的半径.,D,2.已知，O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6厘米，EB=2厘米，BED=30，求CD的长.,说明：解决有关圆的问题，常常需要添加辅助线，针对各种具体情况，辅助线的添加有一定的规律，本例和上例中作“垂直于弦的直径”就是一个很好的例证.,练习,F,如图，弓形ABC中，弦AC的长为8厘米，弦的中点到劣弧中点间的长度是2厘米，求圆的半径.,练习,A,B

11、,C,D,O,x,4,2,x-2,练习,如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米，半径为1.3米，现有一辆高2.5米，宽2.3米的送家具的卡车，问这辆卡车能否通过通道，请说明理由.,2,1.3,高2.5米，宽2.3米,解：如图，用半圆O表示通道上面的半圆，AB为直径，弦CD平行AB，过O作于E，连结OD，据垂径定理知：,练习,挖掘潜力,某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为.2 m，过O 作OC AB 于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？,C,N,M,A,E,H,F,B,D,O,船能过拱桥吗,解:如图，用 表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.由题设得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R=3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,