15春 微积分复习资料.docx

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1、15春 微积分复习资料微积分复习资料 一、填空题 1.设函数f(x)的原函数为y=2x+x2+cotx.则f(x)= 2若y=cos2x,则dy_ 3f(x)=x 3 函数在1,4上满足拉格朗日中值定理的x . 4利用微分近似计算31.02 . 2 5.曲线y=e的铅直渐近线是 6tanxdx= 1x7比较定积分的大小： 821x2dx_x3dx 12x-113cosxdx=_. h09若f(x)在x=a处可导，则limf(a+h)-f(a)=_. h10 函数f(x)=x3的拐点坐标是 11y=sinx在0，p上满足罗尔定理的x . 12.曲线y=e的铅直渐近线是 13 1x(x2+1)dx

2、= 14设f(x)的原函数为 2x+cscx，则f(x)= 15已知F(x)=x01-t2dt，求F/(x)=_. 二、单项选择题 1下列选项中错误的是 1111sinx=1 B limsinx=1 C limxsin=0 D limxsin=1 x0xxxx0xxx2x0时，与arcsin2x等价无穷小量的是( ). 1A.2x；B.x2；C.x；D.2x2. 2A lim1 3n2 3. lim= A 3 ； B -3 ； C 1； D n2-n22 4. 已知y=xlny，则dydx= A xyy； B lny； C lnyxy-x ； D lny+y 5在(a,b)内，f(x)0，则曲

3、线y=f(x)在(a,b)内( ). A.单增且凹；B.单增且凸；C.单减且凸；D.单减且凹. 6. 下列等式正确的是 A dbdxaf(x)dx=f(x) B ddxf(x)dx=f(x)+cC D dxf(t)dtf/(x)dx=f(x)dxa=f(x)7.下列广义积分收敛的是 A. +1+11xdx B. 11xdx C. +1xdx D. 1x2dx 8.下列选项中正确的是 A limsin2xx0x=1 B lim1xxsinx=1 C lim1x0xsinx=0limsin2x1x0x=2 9x0时，与sinx等价的无穷小量是( ). A.x；B.2x；C.12x；D.2x2. 1

4、0，.设x=1+t2y=1+t3，则在t=1时，dydx=( ). A.34；B.23；C.43；D.32. 11. 设函数y=f(e-x)，则y是 D 2 A f(e-x) B e-xf(e-x) C -e-xf(e-x) D -f(e-x) 12.函数y=xx在点x=0处的导数是 A 2x； B -2x； C 0 ； D 不存在 13在(a,b)内，f(x)0，f(x)0，则曲线y=f(x)在(a,b)内( ). A.单增且凹；B.单增且凸；C.单减且凹；D.单减且凸. 14. 设f(x)=e-x ，则f(lnx)xdx= A -1lnxx+c B x+c C 1x+c D -lnxx+c

5、 15.方程x3+2x2-x-2=0在(-3,2)区间上 A.有一个实根；B.有二个实根.；C.至少有一个实根；D.无实根. 三、计算题 1. 求limx-sinxlnxx0x3 2.已知y=x2arcsin3x，求y 3.求xdx 4.求xexdx 5.求5x-11xdx 6.求 lim3x3+4x2+2xx2-4x7x3+5x2-3x 7. 求limx2x-28.求由方程y-cos(x+y)=0所确定的隐函数y的导数。 9.求11+3cos2xdx 10.求411x+xdx 11. 若limx2+ax+bx11-x=5，求a,b的值 12. x2arctanxdx 四、解答题 3 1设函数

6、x x0 ，问在x=0处是否连续？是否可导？ f(x)=-xx02求函数y=x-322x3的极值与单调区间. 3计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围图形的面积. 4求函数f(x)=x3-x2-x+1的极值与单调区间. 5、求由曲线y=2x2与y=1+x2所围平面图形的面积. 五、讨论题 讨论函数f(x)=xsin1x, x0，在点x=0处的连续性与可导性。0,x=0参考答案 一填空题 12xln2+2x-csc2x 2.-2sin2xdx, 3.7， 4. 1.0067 ，6.tanx-x+C， 7. 0)，则x=t2,dx=2dt.当x从1变到4时。t从1变到2，于是，原式=22tt2+t

7、dt=2212311t+1dt=2ln(t+1)1=2ln2 11、解： x1时，1-x0，且limx2+ax+bx11-x=5，分子极限必须有 limx1(x2+ax+b)=a+b+1=0，得b=-a-1 代入原极限式有 limx2+ax+bx2+ax-a-1x11-x=limx11-x=-limx1(x+a+1)=-(a+2)=5， 得a=-7从而得b=6. 5 113x33dx) 12、 xarctanxdx=arctanxdx (xarctanx-2331+x2 xarctanx-(x- xarctanx-133x)dx 1+x213312112x+d(1+x) 2221+x121x+

8、ln(1+x2) 22x0x0+ xarctanx-133(-x)=0 limf(x)=lim-(x)=0 四1.解： 因 lim-f(x)=lim-+x0x0所以limf(x)=0=f(0)， 即f(x)在x=0处连续。 x0f-(0)=lim-f(x)-f(0)-x=lim=-1 x0x0-xx-0f(x)-f(0)xf+(0)=lim=lim=1 +x0+x0x-0x(0)f+(0)， 所以f(x)在x=0处不可导。 因f- 2、解：y=1-x -13=1-31x 令y=0得x=1，奇点x=0 x y y (-,0) + 0 不存在 (0,1) - 1 0 (1,+) + 增 极大值=0

9、 减 极小值=-1 2增 所以单调增区间为(-,0),(1,+)，单调减区间为(0,1) x=0时取极大值且极大值为0，x=1时取极小值且极小值为-1。 2y=x23解：解方程组2 得交点坐标 和 y=x6 所以，所围图形的面积为S=10(x-x2)dx 11231 =(x2-x3)= 03334解：f/(x)=3x2-2x-1，令f/(x)=0, 得驻点x1=-,x2=1 13x 11(-,-) - 33+ 0 1(-,1) 31 (1,+) 0 + f(x) - 13所以 x(-,-)U(1,+)单调增， x(-,1)单调减 13132x=-时，取极大值，x=1时，取极小值0. 327y=2x25解：联立方程组 求得两条曲线的交点为 (-1,2)及(1,2) 2y=1+x利用偶函数在对称区间的积分公式，所求面积为 41A=2(1+x2)-2x2dx=2x-x3= 030311五.讨论题 解：因 limf(x)=limxsinx0x01=0=f(0) 所以f(x)在点x=0处连续。 x又 f(0)=limx0f(x)-f(0)=limx0x-0xsin1x=limsin1 此极限不存在，所以f(x)在点x0xxx=0处不可导。 7