14高等数学同济大学第六本.docx

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1、14高等数学同济大学第六本习题1-4 1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定. 例如, 当x0时, a(x)=2x, b(x)=3x都是无穷小, 但lima(x)2a(x)=, 不是无穷x0b(x)3b(x)小. 2. 根据定义证明: 2x (1)y=-9当x3时为无穷小; x+3 (2)y=xsin1当x0时为无穷小. x2x-9=|x-3|. 因为e0, $d=e , 当0|x-3|d时, 有 证明 (1)当x3时|y|=x+32x-9=|x-3|0, $d=e , 当0|x-0|d时, 有 x|y|=|x|sin1|x-0|104？ 1 证明 分析|y|=1+2x

2、=2+11-2, 要使|y|M, 只须-2M, 即xx|x|x|x|1. M+21, 使当0|x-0|M, xM+2所以当x0时, 函数y=1+2x是无穷大. x1. 当0|x-0|104. 取M=104, 则d=410+2104+2 证明 因为M0, $d= 4. 求下列极限并说明理由: (1)lim2x+1; xx21-xlim (2). x01-x 解 (1)因为2x+1=2+1, 而当x 时1是无穷小, 所以lim2x+1=2. xxxxx221-x1-x=1+x(x1), 而当x0时x为无穷小, 所以lim=1. (2)因为x01-x1-x 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表

3、: xx0 f(x)A e0, $d0, 使 当0|x-x0|d时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当|x|X时, 有恒|f(x)|M. x+ x- 解 xx0 f(x)A e0, $d0, 使当0|x-x0|d时, 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使当0x-x0d时, 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使当0x0-xd时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当|x|X时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当xX时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使f(x) M0, $d0, 使当0|x-x0|M. M0, $d0, 使当0x-x0M. M0, $d0, 使当0x

4、0-xM. e0, $X0, 使当|x|X时, 有恒|f(x)|M. e0, $X0, 使当xX时, 有恒|f(x)|M. e0, $X0, 使f(x)+ M0, $d0, 使当0|x-x0|M. M0, $d0, 使当0x-x0M. M0, $d0, 使当0x0-xM. e0, $X0, 使当|x|X时, 有恒f(x)M. e0, $X0, 使当xX时, 有恒f(x)M. e0, $X0, 使f(x)- M0, $d0, 使当0|x-x0|d时, 有恒f(x)0, $d0, 使当0x-x0d时, 有恒f(x)0, $d0, 使当0x0-xd时, 有恒f(x)0, $X0, 使当|x|X时,

5、有恒f(x)0, $X0, 使当xX时, 有恒f(x)0, $X0, 使xx0+ xx0- x x+ x- 当x-X时, 有恒|f(x)-A|e. 当x-X时, 有恒当x-X时, 有恒当xM. f(x)M. f(x)0, 在(-, +)内总能找到这样的x, 使得|y(x)|M. 例如 y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 当k充分大时, 就有| y(2kp)|M. 当x+ 时, 函数y=xcos x不是无穷大. 这是因为M0, 找不到这样一个时刻N, 使对一切大于N的x, 都有|y(x)|M. 例如 y(2kp+p)=(2kp+p)cos(2kp+p)=0(k=0, 1, 2, ), 222对任何大的N, 当k充分大时, 总有x=2kp+pN, 但|y(x)|=00, 在(0, 1中总可以找到点xk, 使y(xk)M. 例如当 x=1(k=0, 1, 2, ) k2kp+p2时, 有 y(xk)=2kp+p, 2当k充分大时, y(xk)M. 当x0+ 时, 函数y=1sin1不是无穷大. 这是因为 xx M0, 对所有的d0, 总可以找到这样的点xk, 使0xkd, 但y(xk)M. 例如可取 xk=1(k=0, 1, 2, ), 2kp当k充分大时, xkd, 但y(xk)=2kpsin2kp=0M.