13第十三讲 曲线积分与路径无关问题.docx

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1、13第十三讲 曲线积分与路径无关问题泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称 授课题目 高等数学研究 授课对象 课时数 4 第十三讲 曲线积分与路径无关问题 教学 目的 通过教学使学生掌握两类曲线积分的来源、定义、性质和计算方法，重点掌握格林公式及曲线积分与路径无关的条件 重 点 难 点 1重点两类曲线积分的计算方法； 2难点格林公式及曲线积分与路径无关的条件。 第十三讲 曲线积分与路径无关问题 教 学 提 纲 1. 第一型曲线积分 (1)对弧长的曲线积分的模型： (2)积分弧段的方向无关。 (3)对弧长的曲线积分的计算 2. 第二型曲线积分 (1) 第二型曲线积分的模型, 第

2、二型曲线积分方向无关 3. 格林公式及其应用 用“补面法”用格林公是求解。 4. 平面曲线积分与路径无关的条件 定理：以下条件等价 (1) 在区域D内曲线积分与路径无关的充分； (2) D内沿任一闭曲线的积分为零； (3) 设开区域D是一个单连通域，函数P(x,y)以及Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数且PQ=在D内恒成立； yxPdx+Qdy为全微分 1 教学过程与内容 教学 后记 第十三讲 曲线积分与路径无关问题 一、第一型曲线积分 1. 第一型曲线积分的模型 设给定一条平面曲线弧L：AB,其线密度为r(x,y)求弧AB的质量m。 m=f(x,y)ds, L若L1=AB,L2=BA，则L

3、1f(x,y)ds=f(x,y)ds，即对弧长的曲线积分与积L2分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。 2. 第一型曲线积分的计算 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为x=j(t) ，(atb), y=y(t)Lf(x,y)ds=fj(t),y(t)j2(t)+y2(t)dt (ab) ab特别,当f(x,y)=1时, Lf(x,y)ds表示曲线弧L的弧长。 当曲线弧L的方程为y=g(x) (axb)，g(x)在a,b上有连续的导数，则 Lf(x,y)ds=fx,g(x)1+g2(x)dx； ad例1：计算第一型曲线积分 L(x+y)dl，其中L:y=x2从到一段。(x2+y3

4、)dl，其中L:x2+y2=a2圆周。pa3 1(55-1)； 12L二、第二型曲线积分 1.第二型曲线积分的模型 设有一平面力场F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，其中P(x,y),Q(x,y)为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A沿光滑曲线L运动到点B，求力场的力所作的功W。 W=P(x,y)dx+Q(x,y)dy， L设L为有向曲线弧，-L为与L方向相反的有向曲线弧，则 2 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-L-LP(x,y)dx+Q(x,y)dy 即第二型曲线积分方向无关 2. 第二型曲线积分的计算 设xoy平面上的有向曲线L的参数方程为x=j(t) ，当参数t单调

5、地由a变到b时, y=y(t)LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=Pj(t),y(t)j(t)+Qj(t),y(t)y(t)dt ab这里的a是曲线L的起点A所对应的参数值，b是曲线L的终点B所对应的参数值，并不要求ab。 若曲线L的方程为y=f(x),x=a对应于L的起点，x=b应于L的终点，则 LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=Px,f(x)+Qx,f(x)f(x)dx； ab若曲线L的方程为x=g(y),y=c对应于L的起点，y=d应于L的终点，则 LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=Pg(y),yg(y)+Qg(y),ydy。 cd同样，以上并不要求ab，c0内的任意分段光滑简

6、单闭曲线C，有j(y)dx+2xydy2x+y24C =0；求函数j(y)的表达式. 证明的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而中求j(y)的表达式，显然应用 6 积分与路径无关即可. Y l1 l2 C o X l3 如图，将C分解为：C=l1+l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，则 j(y)dx+2xydy2x2+y4C=j(y)dx+2xydy2x2+y4l1+l3-j(y)dx+2xydy2x2+y4l2+l3=0. 设P=j(y)2x2+y,Q=42xy，P,Q在单连通区域x0内具有一阶连续偏导数，242x

7、+y在该区域内与路径无关，故当x0时，总有由知，曲线积分j(y)dx+2xydy2x2+y4LQP=. xyQ2y(2x2+y4)-4xg2xy-4x2y+2y5=, 242242x(2x+y)(2x+y)Pj(y)(2x2+y4)-4j(y)y32x2j(y)+j(y)y4-4j(y)y3=. 242242y(2x+y)(2x+y)比较、两式的右端，得 j(y)=-2y, 435 j(y)y-4j(y)y=2y. 由得j(y)=-y2+c，将j(y)代入得 2y5-4cy3=2y5, 所以c=0，从而j(y)=-y2. 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形. .

8、二元函数的全微分求法 定义：若函数u(x,y)使du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则称函数u(x,y)是表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一个原函数。 判别法： 设开区域D是一个单连通域，函数P(x,y)以及Q(x,y)在D内具有一阶连续 7 偏导数,则在D内P(x,y)dx+Q(x,y)dy存在原函数的充分必要条件是等式内恒成立。 求法：u(x,y)=PQ在D=yxxx0xP(x,y0)dx+Q(x,y)dy y0yy0yu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x0,y)dy x0一般取(x0,y0)=(0,0). 例：验证在整个xoy在平面内(x+2y)dx+(2x+y)dy是存在原函数,并求出一个原函数。 这里P(x,y)=x+2y,Q(x,y)=2x+y, 且QP=2=在整个xoy在平面内恒成立,因此在整个xoy在平面内xy(x+2y)dx+(2x+y)dy存在原函数. u(x,y)=(x,y)(0,0)x(x+2y)dx+(2x+y)dy y122(x+y)+2xy. =(x+2y)dx+(20+y)dy002对于常微分方程(x+2y)dx+(2x+y)dy=0,由上面可知这个微分方程的通解 为 12(x+y2)+2xy=C(C为任意常数). 2 8