08微积分复习小结.docx

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1、08微积分复习小结微积分总结 第七章 无穷级数 一、内容提要： 常数项级数的概念 271 级数的定义 级数 通项 部分和 余项 级数收敛的定义 常数项级数基本性质 274 条 和 k倍 加减有限项 加括号 收敛的必有条件 几个重要的数项级数 1 等比级数 aqn=1n-1，当q1时收敛；当q1时发散； 2 调和级数 1n 发散； n=1,当01时收敛。 3 p-级数 n1n=1np正项级数审敛法 设u与vn=1nn=1均为正项级数， un=1n收敛 充要条件 sn有界。279 定理7.6 比较审敛法 279 若un=1n收敛且vnun(unvn)，则vn=1n收敛。 比较法的极限形式：282推

2、论 un若lim=l(0l+) ,则un与vn同时收敛或同时发散； nvnn=1n=1当l=0时，可由vn=1n收敛推出un=1n也收敛 当l=+可由vn=1n发散推出un=1n也发散。 比值审敛法 283 若limun+1=l， nun当l1时，则un=1n发散；当l=1时，待定。 交错级数审敛法(莱布尼兹审敛法) 286 若交错级数(-1)n=1n-1un,(un0)满足limun=0，且unun+1(nN)，则n(-1)n=1n-1un收敛；且Su1 。 任意项级数审敛法 若limun0，则nun=1n发散； 若un=1n收敛，则un=1n绝对收敛； 若un=1n发散，但un=1n收敛，

3、则un=1n条件收敛。 任意项级数满足lim幂级数 1 幂级数 形如 un+1=l，则当l1级数发散。 nunan=0n(x-x0)n=a0+a1(x-x1)+a2(x-x0)2+L+an(x-x0)n+L 的无穷和式，叫幂级数。 当x0=0时，则为an=0nxn=a0+a1x+a2x2+L+anxn+L 2 幂级数an=0nxn的收敛域是一个以原点为中心从-R到R的区间，这个区间叫做幂级1称为幂级数的收敛半径。当0R+时要对区间端点l数的收敛区间，其中R=x=R的收敛情况专门讨论。 3 求收敛区间的步骤及定理 P292 4 运算性质 P295 代数运算 设an=0nx与bnxn的收敛半径分别

4、为R与R则在nn=0xmin(R,R)内有 an=0nxbnx=(anbn)xn； nnn=0n=0 分析运算 设 在内s(x)=an=0nxn，则在内： 对幂级数可以逐项微分，即 s(x)=(anx)=(anx)=nanxn-1； nnn=0n=0n=0对幂级数可以逐项积分，即 x0ann+1s(x)=(anx)dx=(ax)=n+1x n00n=0n=0n=0xnxn此处积分上限x为(-R,R)内的任一点。 注意一 在收敛区间(-R,R)内对幂级数逐项微分逐项积分后所得幂级数的收敛半径与原级数相同，但是级数在收敛区间两端点处的敛散性可能改变。 8将函数展开为幂级数 间接法 P303 利用下

5、列几个函数的展开式： e=xn=0xn n!x2n+1x2n-1n-1或(-) (-)(2n+1)!n=1(2n-1)!sinx=n=0nx2n-2x2nn-1或(-) cosx=(-)(2n)!(2n-2)!n=0n=1nln(1+x)=(-)n=1n-1n+1xnnx 或(-) nn+1n=01=1+x+x2+L+xn+L1-x(-1,1) 二、主要题型 判断级数的收敛性 判断级数的敛散性 ； 判断级数的敛散性若收敛是绝对收敛还是条件收敛 ； 求幂级数的收敛域 不缺项时：先求相邻两系数之比的绝对值的极限 liman+11=l，则收敛半径R=； naln再验两端点，则收敛域=(-R,R)U收

6、敛的端点。 缺项时或(x-x0)型：先求相邻两项之比的绝对值的极限， limun+1(x)=l(x)解不等式l(x)1，可得x所属的区间x1x1； xy+9-3lim=102.x； xyy063设z=ln(x2+2y)，则zx=2x2；=； zy22x+2yx+2y4已知z=esinxcosy，则dz=esinx(cosxcosydx-sinydy)； 5.0dx1xdy=； un= 4 ； 6若级数(un-4)收敛，则limnn=112127、幂级数3nxn的收敛半径R=； n=013二、单选题 1点在曲面上 A x2+y2-2z=0 B x2-y2=z C x2+y2=3z D z=ln(

7、x2+y2) 2下列级数中，绝对收敛的级数为 A.(-1)n=1n-112 nn B.(-1)n-1n=1n n+1C.(-1)3 D.(-1)n-1n-1n=1n=11n3.设f(x,y)=x，则fy(1,-2)= y2121314A. 1 B. C. D. 4变换积分次序0dx0f(x,y)dy= A.0dy0f(x,y)dx B.0dy0f(x,y)dx C.0dy0f(x,y)dx D.0dy0f(x,y)dx 5函数y=ex+c是微分方程y+y=2ex的. A 通解 B 特解 C不是解 D 解 三、求下列函数的偏导数 z=u2lnv,而u=,v=3x-2y,求xyzz, xy1111

8、-y1-x111-x11-x解： zzuzv2x3x2=+=2ln(3x-2y)+2xuxvxyy(3x-2y)zzuzv2x2x=+=-3ln(3x-2y)-2yuyvyyy(3x-2y)22zz求由方程z2-2xyz=1所确定的隐函数z=f(x,y)的导数， xy 解：令F(x,y,z)=z2-2xyz-1 则 FFF=-2yz,=-2xz,=2z-2xy xyzFzyz, 所以=-x=Fz-xyxzDFzxzy=-= Fz-xyyz四、求(x+6y)ds,其中D是由y=x,y=5x,x=1所围成的区域 解： (x+6y)ds=0dxx(x+6y)dy=D15x76 322-y五交换累次积

9、分次序：0dy0f(x,y)dx+1dy0解： 0dy0f(x,y)dx+1dy0 六求函数z=y3-x2+6x-12y+5的极值 解： 由zz,(3,-2) =-2x+6=0,=3y2-12=0，得驻点xy1y22-y1yf(x,y)dx 2-xxf(x,y)dx =dx01f(x,y)dy 再由zxx=-2,zxy=0,zyy=6y，得P(x,y)=12y 因为P(3,2)=240 ，所以(3,2)不是极值点 因为P(3,-2)=-240 , zxx(3,-2) =-20 所以在点(3,-2)处函数有极大值z(3,-2)=30 n2七、判断级数(-1)是否收敛，若收敛是绝对收敛，还是21n

10、=1(1+)nnn条件收敛 n2令un=,考虑正项级数un,因为1n2n=1(1+)n解： nlimnun=limnnnn1=lim=112n1(1+)n(1+)nenn22n (1) dy2y-=(x+1)3 dxx+1dy2y=0的通解为y=c(x+1)2 解：-dxx+1 由常数变易可设原方程的通解为y=u(x)(x+1)2，代入原方程得 121 所以原方程的通解为 y=(x+1)2+c(x+1)2 21 =(x+1)4+c(x+1)2 (c为任意常数) 2 u(x)=x+1，则 u(x)=(x+1)2+c (2)yy-(y)2=0 解: 设y=p(y),则y=pdp dydp-p2=0 dy 代入原方程有: yp 即 dp=dy 从而p=c1y,即11p1ydy=c1y dx则y=c2ecx (c1,c2为任意常数)