清华大学本校用理论力学课件8-1第二类拉格朗日方程.ppt

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1、2023年3月11日,第1节,第二类拉格朗日方程,广义坐标中的达伦伯-拉格朗日原理,理想完整约束系统：广义坐标为q1,q2,qN,质点i矢径：,质系动力学普遍方程：,广义惯性力,广义主动力和广义惯性力相互平衡！,拉格朗日关系式,第二类拉格朗日方程,如主动力都是有势力：,第二类拉格朗日方程,L=T V 拉格朗日函数，或动势,主动力为势力时的拉格朗日方程,主动力既有势力又有非势力,第二类拉格朗日方程,拉格朗日方程的方程数等于质系自由度数，是最少量方程不需要考虑理想约束的约束反力只需要分析速度，不需分析加速度拉格朗日方程是标量方程,拉格朗日方程的特点,应用拉格朗日方程的解题步骤为,判断系统是否为完整

2、约束，主动力是否有势，以决定能否应用拉格朗日方程以及应用何种形式的拉格朗日方程。,确定系统的自由度数，选择合适的广义坐标。,按所选的广义坐标，写出系统动能、势能或广义力。,把动能、广义力或拉格朗日函数代入拉格朗日方程。,拉格朗日方程应用举例,行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m的均质曲柄AB带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时，用拉格朗日方程求曲柄的角加速度。,例1,取曲柄的转角为广义坐标。,例1 解,用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程,例2,例2 解,取x和为广义坐标,系

3、统的势能为,系统的动能为,系统的拉格朗日函数为,例2 解,用拉格朗日方程列写系统的运动微分方程。,例3,例3 解,取x和xr为广义坐标。,例3 解,半径为R的圆环在力偶矩为M的力偶作用下以角速度匀速转动，质量为m的小环可在圆环上自由滑动。已知圆环对y轴的转动惯量为J，忽略摩擦力。求为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩M。,例4,解除匀速转动约束，代之于约束反力。系统具有两个自由度，取 和为广义坐标。,例4 解,将约束条件 和 代入上式，即得为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩M为,例4 解,已知：m,M,k,a。求：系统运动微分方程。,例5,例5 解,选x,xr为广义坐标,T H E E N D,返回,