沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数教学ppt课件.ppt

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1、,21.1 二次函数,第21章 二次函数与反比例函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（HK）教学课件,1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）,雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？,导入新课,情境引入,导入新课,视频引入,思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?,1.什么叫函数?,一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.,3.一元二次

2、方程的一般形式是什么？,一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.,2.什么是一次函数？正比例函数？,ax2+bx+c=0(a0),问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为.,y=6x2,此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.,讲授新课,探究归纳,问题2 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？,设围成的矩形水面的一边长为x m

3、,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有,此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.,问题3 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？,设增加x 人，这时，则共有 个装配工,每人每天可少装配10 x 个玩具，因此，每人每天只装配 个玩具.所以，增加人数后，每天装配玩具总数y可表示为y=_.,(15+x),(19010 x),整理为：,y=10 x2+40 x+2850,

4、(19010 x)(15+x),此式表示了每天装配玩具总数y与增加x人之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.,y=6x2,y=10 x2+40 x+2850,问题1-3中函数关系式有什么共同点?,想一想,函数都是用自变量的二次整式表示的,二次函数的定义：,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.,温馨提示：,（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.,归纳

5、总结,例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）y=ax2+bx+c s=3-2t y=x2 y=x+x+25 y=(x+3)-x,不一定是，缺少a0的条件.,不是，右边是分式.,不是，x的最高次数是3.,y=6x+9,典例精析,判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等.,方法归纳,想一想:二次函数的一般式y=ax2bxc（a0）与一元二次方程ax2bxc0（a0）有什么联系和区别？,联系：(1)等式一边都是ax2bxc且a 0；(2

6、)方程ax2bxc=0可以看成是函数y=ax2bxc中y=0时得到的.,区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.,例2（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？,解：,（1）由题可知,解得,（2）由题可知,解得,m=3.,第（2）问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.,1.已知:，k取什么值时，y是x的二次函数？,解：当=2且k+20，即k=-2时,y是x的二次函数.,变式训练,m3,【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.,例3：某工厂生产的某种

7、产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1x10)，求出y关于x的函数关系式；,解：第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，第x档次，提高了(x1)档，利润增加了2(x1)元y62(x1)955(x1)，即y10 x2180 x400(其中x是正整数，且1x10)；,(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次,解：由题意可得 10 x2180 x4001

8、120，整理得 x218x720，解得 x16，x212(舍去)所以，该产品的质量档次为第6档,【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型,思考：1.已知二次函数y10 x2180 x400,自变量x的取值范围是什么？,2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y10 x2180 x400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？,【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.,例4 一个二次函数.,（1）求k的值.（2）当x=0.5时，y的值是多少？,解得,此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为

9、2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.,归纳总结,当堂练习,2.函数 y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数的条件是()A.m,n是常数,且m0 B.m,n是常数,且n0C.m,n是常数,且mn D.m,n为任何实数,C,1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_,一次项系数为_，常数项为.,3下列函数是二次函数的是()Ay2x1 BCy3x21 D,C,-3x2,-16,12,4.已知函数 y=3x2m-15 当m=时，y是关于x的一次函数；当m=时，y是关于x的反比例函数；当m=时，y是关于x的二次函数.,1,0,5.若函

10、数 是二次函数，求：,（1）求a的值.(2)求函数关系式.（3）当x=-2时，y的值是多少？,（2）当a=-1时，函数关系式为.,（3）将x=-2代入函数关系式中，有,6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系,7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量 就减少

11、10kg,针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）,8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.,解：(1)y(8x)xx28x(0 x8)；,(2)当x3时，y328315 cm2.,课堂小结,二次函数,定 义,y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数）,一般形式,右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a 0.,特殊

12、形式,y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数）.,21.2 二次函数的图象和性质,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（HK）教学课件,1.二次函数y=ax的图象和性质,学习目标,1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）2.会用描点法画出二次函数y=ax的图象，概括出图象的特点.（难点）3.掌握形如y=ax的二次函数图象的性质，并会应用.（难点）,导入新课,情境引入,讲授新课,例1 画出二次函数y=x2的图象.,9,4,1,0,1,9,4,典例精析,1.列表：在y=x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：,2.描点：根据表中x,y的数值

13、在坐标平面中描点（x,y）,3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2 的图象,-3,3,o,3,6,9,当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：,x,y,二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.,这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.,练一练：画出函数y=-x2的图象.,根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.,x,o,y=x2,议一议,1.yx2是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点,y,说说二次函数y=

14、-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.,o,x,y,y=-x2,1.y-x2是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点,1.顶点都在原点;,3.当a0时，开口向上；当a0时，开口向下,二次函数y=ax2 的图象性质：,知识要点,2.图像关于y轴对称;,观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a0)的关系是什么？,二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.,x,y,O,y=ax2,y=-ax2,交流讨论,二次函数y=ax2的性质,问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？,对于抛物线 y=ax 2（a0）当x0时，y随x取值的增

15、大而增大；当x0时，y随x取值的增大而减小.,知识要点,问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？,对于抛物线 y=ax 2（a0）当x0时，y随x取值的增大而减小；当x0时，y随x取值的增大而增大.,知识要点,解：分别填表，再画出它们的图象，如图,8,4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,8,4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象,思考1：从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？,当a0时，a越大，开口越小.,练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象,-8,-4.5,-2,-0.5,0,-8,-4.5,-2,-0.5,-8,-

16、4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,当a0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.,思考2 从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？,对于抛物线 y=ax 2，a越大，抛物线的开口越小,位置开口方向,对称性,顶点最值,增减性,开口向上,在x轴上方,开口向下,在x轴下方,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称，对称轴是直线x0,顶点坐标是原点（0，0）,当x=0时，y最小值=0,当x=0时，y最大值=0,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减,知识要点,3.函数y=x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;顶点是抛物线的最 点,2.函数y=3x2的图象的开口

17、,对称轴是,顶点是 顶点是抛物线的最 点,1.函数y=4x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;,向上,向下,y轴,y轴,(0,0),(0,0),4.函数y=0.2x2的图象的开口,对称轴是_,顶点是;,向上,y轴,(0,0),向下,y轴,(0,0),高,低,练一练,例1已知 y=(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式,m2+m,解:依题意有:,m+10,m2+m=2,解得:m1=2,m2=1,由得:m1,m=1,此时,二次函数为:y=2x2.,典例精析,例2：已知二次函数y=x2（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关

18、于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=x2的图象上吗？,典例精析,（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？,解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；,（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；,（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；,（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=x2的图象上吗？,当x=2时，y

19、=x2=4，所以C点在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=x2=4，所以B点在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=x2=4，所以D点在二次函数y=x2的图象上,已知 是二次函数，且当x0时，y随x增大而增大，则k=.,分析：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，,解得 k=2,2,练一练,例3.已知二次函数y2x2.(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_ y2；(填“”“”或“”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二

20、次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和,(2)解：二次函数y2x2的图象经过点B，当x2时，y2228.抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它 们的对称轴，OAOB，在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，S阴影部分面积之和2816.,二次函数yax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解,方法总结,当堂练习,1.函数y=2x2的图象的开口,对称轴

21、,顶点是;在对称轴的左侧，y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而.,2.函数y=-3x2的图象的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而.,向上,向下,y轴,y轴,(0,0),(0,0),减小,减小,增大,增大,x,x,y,y,O,O,3.如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是.,k1,4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：,向上,向下,向下,向上,y轴,y轴,y轴,y轴,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,O,5.若抛物线y=ax2（a 0），过点（-1，2）.（1）则a的值是；（2）对称轴是，开口.（

22、3）顶点坐标是，顶点是抛物线上的最 值.抛物线在x轴的 方（除顶点外）.(4)若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1x20,则y1 y2.,2,y轴,向上,（0,0）,小,上,6.已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围,解：二次函数y=x2，当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，当xm时，y最小值=0，m0,7.已知：如图，直线y3x4与抛物线yx2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积,解：由题意得 解得所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(1，1)直线y3x4与y轴相交于点C(0，4)，即CO4.S

23、ACO CO48，SBOC 412，SABOSACOSBOC10.,课堂小结,二次函数y=ax2的图象及性质,画法,描点法,以对称轴为中心对称取点,图象,抛物线,轴对称图形,性质,重点关注4个方面,开口方向及大小,对称轴,顶点坐标,增减性,21.2 二次函数的图象和性质,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（HK）教学课件,2.二次函数y=ax+bx+c的图象和性质,第1课时 二次函数y=ax+k的图象和性质,1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点）3.理解y=ax与 y=ax+k之间的联系.（重点）,情境引入,x,y

24、,导入新课,做一做：画出二次函数 y=2x,y=2x2+1，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.,3.5,1,-0.5,1,-0.5,-1,3.5,5.5,1.5,3,1.5,1,3,5.5,讲授新课,y=2x2+1,y=2x2,y=2x2-1,观察上述图象，说说它有哪些特征.,探究归纳,解：先列表：,例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象,描点、连线，画出这两个函数的图象,观察与思考,抛物线，的开口方向、对称轴和顶点各是什么？,向上,向上,（0,0）,（0,1）,y轴,y轴,想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a0)

25、的性质是什么？,y,-2,-2,4,2,2,-4,x,0,做一做在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：,根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是.(2)三条抛物线的开口方向_;(3)对称轴都是_(4)从上而下顶点坐标分别是 _,抛物线,向下,直线x=0,(0,0),(0，2),(0,-2),(5)顶点都是最_点，函数都有最_值，从上而下最大值分别为_、_(6)函数的增减性都相同：_,高,大,y=0,y=-2,y=2,对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小,二次函数y=ax2+k（a 0）的性质,知识要点,例2：已知二次函数yax2+c,当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相

26、等，则当xx1+x2时，其函数值为_.,解析：由二次函数yax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x20.把x0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.,c,【方法总结】二次函数yax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数,解析式,y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1,+1,-1,点的坐标,函数对应值表,4.5,-1.5,3.5,5.5,-1,2,1,3,x,2x2,2x2-1,(x,),(x,),(x,),2x2-1,2x2,2x2+1,从数的角度探究,2x2+1,y=2x21,y=2x21,可以发现，把抛物线y=2x2

27、 向 平移1个单位长度，就得到抛物线；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.,下,y=2x2+1,上,从形的角度探究,二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：当k 0 时,向上平移k个单位长度得到.当k 0 时,向下平移-k个单位长度得到.,二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a 0）的图象的关系,上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.,知识要点,二次函数y3x21的图象是将()A抛物线y3x2向左平移3个单位得到 B抛物线y3x2向左平移1个单位得到 C抛物线y3x2向上平移1个单位得到 D抛物线y3x2向上平移1个单位得到,

28、解析：二次函数y3x21的图象是将抛物线y3x2向上平移1个单位得到的故选D.,练一练,D,想一想 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？,2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？,第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移k 单位.,第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.,a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.,例3：如图，抛物线yx24与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且SPAB4，求P点的坐标,解：抛物线yx24，令y0，得到x2或2，即A点的坐标为(2，0)，B点的坐标为(2

29、，0)，AB4.SPAB4，设P点纵坐标为b，4|b|4，|b|2，即b2或2.当b2时，x242，解得x，此时P点坐标为(，2)，(，2)；当b2时，x242，解得x，此时P点坐标为(，2)，(，2),当堂练习,1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线,2.填表：,y=2x2,向上,向上,向下,（0,0）,(0,1),(0,-5),y轴,y轴,y轴,有最低点,有最低点,有最高点,3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)_（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k_；若顶点位于x轴上方，则k_；若

30、顶点位于x轴下方，则k.,在,=2,2,2,5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：,（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.,（2）函数y=-x2+1，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是，其图象与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是.,（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.,向下平移1个单位.,0,=0,1,(0,1),(-1,0),(1,0),开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.,6.在同一直角坐标系中，一次函数yaxk和二次函数yax2k的图象大致为(),方法总结：熟记一次函

31、数ykxb在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键,D,能力提升7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x0时y随x的增大而增大，则m=_.8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=_.9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_.,2,-2,8,二次函数y=ax2+k（a0)的图象和性质,图象,性质,与y=ax2的关系,开口方向由a的符号决定；k决定顶点位置；对称轴是y轴.,增减性结合开口方向和对称轴才能确定.,平移规律：k正向上；

32、k负向下.,课堂小结,21.2 二次函数的图象和性质,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（HK）教学课件,2.二次函数y=ax+bx+c的图象和性质,第2课时 二次函数y=a(x+h)的图象和性质,情境引入,学习目标,1.会画二次函数y=a(x+h)2的图象.（重点）2.掌握二次函数y=a(x+h)2的性质.(难点）3.比较函数y=ax2 与 y=a(x+h)2的联系.,导入新课,复习引入,向上,向下,y轴（直线x=0）,y轴（直线x=0）,（0,c）,（0,c）,当x0时，y随x增大而增大.,当x0时，y随x增大而减小.,x=0时，y最小值=c,x=0时，y最大值=c,问题

33、1 说说二次函数y=ax2+c(a0)的图象的特征.,问题2 二次函数 y=ax2+k(a0)与 y=ax2(a 0)的图象有何关系？,答：二次函数y=ax2+k(a 0)的图象可以由y=ax2(a 0)的图象平移得到：当k 0 时，向上平移c个单位长度得到.当k 0 时，向下平移-c个单位长度得到.,问题3 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？,讲授新课,互动探究,引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象,解：先列表：,描点、连线，画出这两个函数的图象,向上,向上,y轴,x=2,(0,0),(2,0),根据所画图象，填写下表：,想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的

34、性质是什么？,试一试：画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点,2,4.5,2,0,0,2,2,4.5,0,x,y,8,向下,直线x=-1,(-1,0),直线x=0,直线x=1,向下,向下,(0,0),(1,0),二次函数 y=a(x+h)2(a 0)的性质,知识要点,若抛物线y3(x)2的图象上的三个点，A(3，y1)，B(1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为_,解析：抛物线y3(x)2的对称轴为x，a30，x 时，y随x的增大而减小；x 时，y随x的增大而增大点A的坐标为(3，y1)，点A在抛物线上的对称点A的坐标为(，y1)10，y2y3y1.故答案

35、为y2y3y1.,练一练,y2y3y1,向右平移1个单位,想一想 抛物线，与抛物线 有什么关系？,向左平移1个单位,知识要点,二次函数y=a（x+h)2的图象与y=ax2 的图象的关系,可以看作互相平移得到.,左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.,y=a(x-h)2,当向左平移 h 时,y=a(x+h)2,当向右平移 h 时,y=ax2,例1.抛物线yax2向右平移3个单位后经过点(1，4)，求a的值和平移后的函数关系式,解：二次函数yax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为ya(x3)2，把x1，y4代入，得4a(13)2，平移后二次函数关系式为y(x3)2.,方法总结：

36、根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”,将二次函数y2x2的图象平移后，可得到二次函数y2(x1)2的图象，平移的方法是()A向上平移1个单位B向下平移1个单位 C向左平移1个单位D向右平移1个单位,解析：抛物线y2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y2(x1)2的顶点坐标是(1，0)则由二次函数y2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y2(x1)2的图象故选C.,练一练,C,1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是.2.二次函数y=2(x-)2图象的对称轴是直

37、线_，顶点是_.3.若（-，y1）（-，y2）（，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_.,当堂练习,y=-(x+3)2或y=-(x-3)2,y1 y2 y3,4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.,向上,直线x=3,(3,0),直线x=2,直线x=1,向下,向上,(2,0),(1,0),5.在同一坐标系中，画出函数y2x2与y2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系,解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.,y=2x2,2,复习y=ax2+k,探索y=a(x+h)2的图象及性质,图象

38、的画法,图象的特征,描点法,平移法,开口方向,顶点坐标,对称轴,平移关系,直线x=h,（h,0）,a0,开口向上a0,开口向下,y=ax2,课堂小结,平移规律：括号内：左加右减；括号外不变.,21.2 二次函数的图象和性质,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（HK）教学课件,2.二次函数y=ax+bx+c的图象和性质,第3课时 二次函数y=a(x+h)+k的图象和性质,学习目标,1.会用描点法画出y=a(x+h)2+k(a 0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x+h)2+k(a 0)的图象的性质并会应用.(重点）3.理解二次函数y=a(x+h)2+k(a 0)与y=ax2(a

39、 0)之间的联系.（难点）,导入新课,复习引入,1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:,(1)y=ax2(2)y=ax2+k(3)y=a(x+h)2,2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？,3.把y=-2x2的图像,向上平移3个单位,y=-2x2+3,向左平移2个单位,y=-2(x+2)2,4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？,O,X,y,3,-2,O,y,3,-2,X,讲授新课,引例 画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.,探究归纳,解:先列表,再描点、连

40、线,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,直线x=1,开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1),试一试 画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.,开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2),二次函数 y=a(x+h)2+k（a 0）的性质,知识要点,顶点式,例1.已知二次函数ya(x1)2c的图象如图所示，则一次函数yaxc的大致图象可能是(),解析：根据二次函数开口向上则a0，根据c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c0，故一次函数yaxc的大致图象经过第一、二、三象限故选A.,典例精析,A,例2.已知

41、二次函数ya(x1)24的图象经过点(3，0)(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(mn，y2)(n0)是该函数图象上的两点，当y1y 2时，求m、n之间的数量关系,解：(1)将(3，0)代入ya(x1)24，得04a4，解得a1；,(2)方法一：根据题意，得y1(m1)24，y2(mn1)24，y1y2，(m1)24(mn1)24，即(m1)2(mn1)2.n0，m1(mn1)，化简，得2mn2；,方法二：函数y(x1)24的图象的对称轴是经过点(1，4)，且平行于y轴的直线，mn11m，化简，得 2mn2.,方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函

42、数解析式,例3 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?,C(3,0),B(1，3),A,解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.,因此可设这段抛物线对应的函数是,这段抛物线经过点(3,0)，,0=a(31)23.,解得:,因此抛物线的解析式为:,y=a(x1)23(0 x3).,当x=0时,y=2.25.,答:水管长应为2.25m.,向左平移1个单位,探究归纳,怎样移动抛物线 就可以得到抛物线？,平移方法1,向下平移1个单位,怎样移

43、动抛物线 就可以得到抛物线？,平移方法2,向左平移1个单位,向下平移1个单位,二次函数y=ax2 与y=a（x+h)2+k的关系,可以看作互相平移得到的.,y=ax2,y=ax2+k,y=a(x+h)2,y=a(x+h)2+k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,平移规律,简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.,要点归纳,1.请回答抛物线y=4(x3)27由抛物线y=4x2怎样平移得到?,由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.,2.如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.,练一练,当堂练习,向上,(

44、1,2),向下,向下,(3,7),(2,6),向上,直线x=3,直线x=1,直线x=3,直线x=2,(3,5),y=3(x1)22,y=4(x3)27,y=5(2x)26,1.完成下列表格:,2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是_.,4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2.,3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为_,5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.,y=a(x-h)2+k,课堂小结,一般地，抛物

45、线 y=a(x+h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.,二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质,图象特点,当a0,开口向上；当a0,开口向下.对称轴是x=h,顶点坐标是（h,k).,平移规律,左右平移：括号内左加右减；上下平移：括号外上加下减.,21.2 二次函数的图象和性质,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（HK）教学课件,2.二次函数y=ax+bx+c的图象和性质,第4课时 二次函数y=ax+bx+c的图象和性质,情境引入,1.会用配方法或公式法将一般式yax2bxc化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式yax2bxc的顶点坐标、

46、对称轴.（重点）,导入新课,复习引入,向上,向下,(h,k),(h,k),x=h,x=h,当xh时，y随着x的增大而增大.,当xh时，y随着x的增大而减小.,x=h时,y最小=k,x=h时,y最大=k,抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.,(0,0),y轴,0,(0,-5),y轴,-5,(-2,0),直线x=-2,0,(-2,-4),直线x=-2,-4,(4,3),直线x=4,3,?,?,?,?,?,?,讲授新课,探究归纳,我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？,问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式

47、？,配方可得,配方,你知道是怎样配方的吗？,(1)“提”：提出二次项系数；,(2)“配”：括号内配成完全平方；,(3)“化”：化成顶点式.,提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.,问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？,答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.,问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？,答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.,问题4 如何画二次函数 的图象？,先利用图形的对称性列表,7.5,5,3.5,3,3.5,5,7.5,然后描点画图，得到图象如右图.,O,问题5 结合二

48、次函数 的图象，说出其性质.,x=6,当x6时，y随x的增大而增大.,O,例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.,-6.5,-4,-2.5,-2,-2.5,-4,-6.5,解:函数 通过配方可得，先列表：,典例精析,然后描点、连线，得到图象如下图.,由图象可知，这个函数具有如下性质：当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.,求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.,因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).,解：,练一练,我们如何用配方法将一般式y=

49、ax2+bx+c（a0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？,y=ax+bx+c,归纳总结,二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,(1),(2),如果a0,当x 时，y随x的增大而增大.,如果a 时，y随x的增大而减小.,例2 已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）Ab1 Bb1 Cb1 Db1,解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴，即b1，故选择D.,D,填一填,(1

50、,3),x=1,最大值1,(0,-1),y轴,最大值-1,最小值-6,(,-6),直线x=,合作探究,问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：,问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：,x=0时，y=c.,x=0时，y=c.,二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系,向上,向下,y,左,右,正,负,例3 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列结论：abc0；2ab0；4a2bc0；(ac)2b2.其中正确的个数是()A1B2C3D4,D,由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；,由图象上x1的点