高等数学习指导.docx
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1、高等数学习指导高等数学习指导 武汉大学数学与统计学院 胡新启、湛少锋编著 第1章 函数与极限 函数、极限、连续等基本概念及运算,是学习高等数学的基础。也是从初等数学过渡到高等数学的一座桥梁,函数、极限、连续等基本概念及其运算掌握的好坏,直接影响着整个高等数课程的学习,因为极限理论是整个微积分理论的基础及基本工具,贯穿于整个课程之中。因此必须把这部分的概念理解清楚,基本运算牢牢掌握。 1 学习要求与内容提要 1 学习要求 1. 理解函数的概念,了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念,了解反函数、复合函数的概念,会分析复合函数的复合结构,会建立简单实际问题的函数模型。 2. 了解极限的描述性定
2、义;掌握极限的四则运算法则;会用两个重要极限公式求极限 3. 了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质,会利用等价无穷小求极极限 4. 理解函数在一点连续的概念,知道间断点的分类会用函数的连续性求极限 5. 了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质 重点 极限的求法,两个重要极限,函数在一点连续的概念;函数的概念、复合函数和初等函数的概念,会求函数的定义域. 难点 分段函数的概念,建立简单实际问题的函数模型;间断点的分类,分段函数在分段点的连续性 2 内容提要 1 函数的概念与主要结论 设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每个数xD,变量y按照一定法则总有惟一确定的数值与其
3、对应,则称y是x的函数,记作y=f(x).数集D称为该函数的定义域,x称为自变量,y称为因变量. 当自变量x取数值x0时,因变量y按照法则f所取定的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值,记作f(x0).当自变量x遍取定义域D的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W=yy=f(x),xD称为函数的值域. 函数y=f(x)的定义域D是自变量x的取值范围,而函数值y又是由对应规则f来确定的,所以函数实质上是由其定义域D和对应规则f所确定的,因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说,只要两个函数的定义域相同,对应规则也相同,就称这两个函数为相同的函数,与变量用什么符号表示无
4、关,如y=x与z=v,就是相同的函数. 1 2函数的三种表示方法 图像法;表格法;公式法 在用公式法表示函数时经常遇到几种情况:分段函数,用参数方程确定的函数,隐函数。 基本初等函数 六种基本初等函数为:常函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数 反函数、复合函数和初等函数 复合函数:如果y是u的函数y=f(u),uD(f),而u又是x的函数u=j(x),xD(j),且j(D)D(f),则称y是x的复合函数,记为:y=f(j(x),xD(j)其中x称为自变量,y称为因变量,u称为中间变量。 反函数:对于函数y=f(x),如果每一个yf(D),都可以通过y=f(x)惟一确定一个xD
5、(f)这样得到的以y为自变量,x为因变量的函数关系记作:x=f数记为:y=f-1-1(y),习惯上用x表示自变量,y表示因变量,即反函(x),且ff-1(x)=x,函数y=f(x)与其反函数的图象关于直线y=x对称。 基本初等函数:通常把幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数、双曲函数、反双曲函数等函数称为基本初等函数。 初等函数:由基本初等函数和常数经过有限次四则运算与有限此次复合,且能用一个分析式表示的函数,称为初等函数。 函数的四种特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性 函数的主要结论 单调性:两个单调增加函数之和是单调增加函数。两个正的单调增加函数之积是单调增加函数。单调增加函
6、数y=f(x)的反函数y=f-1。 (x)亦为单调增加函数奇偶性:两个偶函数之代数和是偶函数。两个偶函数之积是偶函数。偶函数与奇函数之积是奇函数。 周期性:如果f(x)是一周期为w的周期函数,则f(ax+b)是一周期为2极限的概念与主要结论 数列极限的定义 设xn为一数列,A是一常数,若e0,$N0,当nN时,恒有xn-A0,总$自然数N,使得nN时恒有xnM,即limxn=+; nM0,总$自然数N,使得nN时恒有xn0,$X0,当xX时,恒有f(x)-A0,$X0,当xxX时,恒有f(x)-A0,总$实数X0,使得xX时恒有f(x)M,即limf(x)=+xx+M0,使得xX时恒有f(x)
7、0,$d0,使得当0x-x0d时,恒有f(x)-A0,$d0,当x0-dxx0时,恒有xx0-+f(x)-A0,总$d0,使得x-x0M,即limf(x)A。 xx0xx0-xx0+M0,总$d0,使得x-x0M,即limf(x)=。 xx0xx0-xx0+M0,总$d0,使得x-x0M,即xx0。 limf(x)=+xx0xx0M0,使得x-x0d时恒有f(x)N时,xn与A同号。 n若limxn=A,limyn=B,且存在正整数N,当nN时,恒有xnyn,则AB。 nn若limxn=A,limyn=B,则 nnlim(xnyn)=limxnlimyn=AB; nnnlimxnyn= lim
8、xnlimyn=AB; nnn若B0,limxnynn=limxnnlimynn=AB。 数列收敛的几个判别法 柯西准则 数列xn收敛的充要条件是:e0,总存在自然数N,对一切n,mN,恒有不等式xn-xm0);limnnn=1; 函数极限的性质 函数极限同样有:惟一性、有界性、保号性、保序性以及极限的有理运算。这里略去。 mil函数极限存在的判别法: 函数极限存在的充要条件是其左右极限存在且相等。 归并原理:limf(x)=A$xnx0,limxn=x0,且limf(xn)=A。 xx0nn两边夹法则 若g(x)f(x)h(x)且limg(x)=A,limh(x)=A,则limf(x)=A。
9、 极限与无穷小量的关系定理: xx0limf(x)=A$a,lima=0,且f(x)=A+a。 xx04 无穷大与无穷小量的关系定理: limf(x)=0lim1f(x)=。 单侧极限与极限的关系定理: l limf(x)=A的充分必要条件是limf(x)=limf(x)=A xx+x-l limf(x)=A的充分必要条件是limf(x)=limf(x)=A xx0xx0-xx0+有关无穷小的定理: l l l l l 有限个无穷小量之和是无穷小量。 有界量与无穷小量之积是无穷小量。 常数与无穷小两之积是无穷小量。 有限个无穷小量之积是无穷小量。 无穷小的替换定理:设当xx时,a1(x)0a2
10、(x),b1(x)b2(x),limb2(x)a2(x)存在,则xx0xx0limb1(x)a1(x)=b2(x)a2(x)极限的四则运算法则 设limf(x)=A及limg(x)=B都存在,则 l l l l limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB; xx0limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB, xx0xx0limCf(x)=Climf(x)=CA (C为任意常数); limf(x)g(x)=limf(x)g(x)=AB (limg(x)=B0) x重要极限 limsinxxx01=1;lim1+=e。 xxx2a tanxx (1+x)-1ax 常
11、用的等价无穷小: sinxx cosx1-ax21:xlna arcsinxx arctanxx 3函数的连续性与主要结论 函数在一点连续的两个等价的定义 设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若当自变量的增量Dx=x-x0趋于零时,对应的函数增量也趋于零,即 Dx0limDy=limDx0f(x0+Dx)-f(x0)=0, 则称函数f(x)在点x0处连续。 若函数y=f(x)在点x0的某一点邻域内有定义,e0,$d0,当x-x0d时,恒有f(x)-f(x0)e,则称函数f(x)在点x0处连续。即当limf(x)=f(x0)时,则称函数f(x)在x0点处连续。xx0并称x0为f(x)的连续
12、点。 5 左右连续的概念 若xlimx在点x0处右连续 -0f(x)=f(x0),则称函数f(x)在点x0处左连续;若xlimx+0f(x)=f(x0),则称函数f(x)由此可知,函数f(x)在点x处连续,必须同时满足以下三个条件: 0 函数f(x)在点x的某邻域内有定义, 0 limf(x)存在, xx0 这个极限等于函数值f(x) 0函数不连续的点称为间断点。间断点有以下情形: limf(x)存在,但此极限值不等于f(x0)或f(x)在x0处没定义。则称x0是f(x)的可去间断点; xx0limf(x)、limf(x)都存在,但不相等,则称x0为f(x)的跳跃间断点; xx0-xx0+、统
13、称为第一类间断点。 limxx0(xx0)(xx0)+-f(x)=(+,-),则称x0为f(x)的无穷间断点。 limf(x)不存在,且在x0的邻域内,f(x)能无数次取A、B两个数之间的一切值,则称x0为f(x)的振xx0荡间断点。 、统称为第二类间断点。 函数在区间上连续的概念 在区间上每一点都连续的函数,称为在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,该区间也称为函数的连续区间如果连续区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续 函数连续的主要结论 函数在一点连续的充分必要条件:函数f(x)在点x处连续的充分必要条件是f(x)在点x 处既左连续又00右连续 如
14、果f(x),g(x)在x0点连续,则f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x)(g(x0)0)在x0点连续。 如果f(x)在x0点连续,g(u)在u0=f(x0)处连续,则复合函数gf(x)在x=x0处连续。 若在a,b上f(x)严格单调且连续,则其反函数y=f闭区间上连续函数的性质: l l l l 闭区间a,b上连续的函数必有最大最小值。 闭区间a,b上连续的函数必有界。 若f(x)在闭区间a,b上连续,且有f(a)f(b),对于f(a)cf(b)的任意实数,必存在xa,b使得f(x)=c。 若f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b)0,则必有的函数必有xa,b使得f(x
15、)=0。 -1 (x)在f(a),f(b)上连续。初等函数的连续性定理:基本初等函数在其定义域内是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的 3 方法与疑难解析 1 方法解析 1、求函数定义域的方法:函数由解析式给出时,其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则: (I) 在式子中分母不能为零; 6 (II)在偶次根式内非负; (III)在对数中真数大于零; (IV)反三角函数 arcsinx,arccosx,要满足x1; (V)两函数和的定义域,应是两函数定义域的公共部分; (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集. (VII)求复杂函数的定义域,是将复杂函
16、数分解为若干个基本初等函数,并分别讨论它们的定义域与值域,列出不等式组,求出它们之交,就得其定义域。值得注意的是,分段函数的定义域是各段函数定义域之并。 2、将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法: 复合函数的复合过程是由里到外,函数套函数而成的.分解复合函数,是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算. 基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 3、建立实际问题的函数模型的方法:运用数学工具解决实际问题时,通常要先找出变量间的函数关系,用数学式子表示出来,然后再进行分析和计算. 建立函数模型的具体步骤可为 : (1) 分析问题中哪些是变
17、量,哪些是常量,分别用字母表示. (2) 根据所给条件,运用数学、物理、经济及其他知识,确定等量关系. (3) 具体写出解析式y=f(x),并指明其定义域. 4、求极限的基本方法: 利用函数的连续性求极限; 利用四则运算法则求极限; 利用两个重要极限求极限; 利用无穷小替换定理求极限; 利用分子、分母消去共同的非零公因子求00形式的极限; 利用分子,分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限; 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限; 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限 用极限的定义证明极限 利用无穷小与无穷大的互倒关系求极限 利用单调有界准则求递归定义数列的极限 利用
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