高三数学 二项式定理.docx
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1、高三数学 二项式定理二项式定理 1 知识精讲: 0n1n-1rn-rrnn二项式定理:(a+b)=Cna+Cnab+L+Cnab+L+Cnb n*rn-rr其通项是Tr+1=Cnab ,知4求1,如:T6=T5+1=Cnan-5b5 5rnr亦可写成:Tr+1=Cna barnnn1n-1rn-rr(a-b)n=Cn0an-Cnab+L+(-1)Cnab+L+(-1)Cnb 0n1rn-rnn特别地:(1+x)=Cnx+Cnx+L+Cnx+L+Cnx n*其中,Cn二项式系数。而系数是字母前的常数。 12n例1Cn等于 +3Cn+9Cn+L+3n-1Cn3r4n4n-1-1 D.A4 B。34
2、 C。 33nn12n解:设Sn=Cn,于是: +3Cn+9Cn+L+3n-1Cn12n12n=Cn+3Cn3Sn=3Cn+32Cn+33Cn+L+3nCn+32Cn+33Cn+L+3nCn-1 3033故选D 例2求(1+2x)的展开式的第四项的系数; 求(x-)的展开式中x的系数及二项式系数 71x933337解:(1+2x)的展开式的第四项是T3+1=C7(2x)=280x, (1+2x)的展开式的第四项的系数是280 (x-)的展开式的通项是Tr+1=C9x719x9-2r=3,r=3, r9-r1(-)r=(-1)rC9rx9-2r, x33333x的系数(-1)C9=-84,x的二
3、项式系数C9=84 二项展开式系数的性质:对称性,在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的0n1n-12n-2kn-k二项式系数相等,即Cn=Cn,Cn=Cn,Cn=Cn,LCn=Cn,L 增减性与最大值:在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即n偶数:Cn()rmax=Cn=Tn;2+1n2如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大,即(Crn-1n+1n)max=Cn2=Cn2=Tn-1+1=Tn+1。 22+1所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于2n即C0C1nnn+n+L+Cn=2; 奇数项的
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