高一数学衔接班第8课与平面几何有关的定理与.docx

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1、高一数学衔接班第8课与平面几何有关的定理与高一数学衔接班第8课 与平面几何有关的定理与圆有关的定理. 一、学习目标： 1、了解三角形中的相关定理：如平行线分线段成比例定理、三角形内角与外角平分线性质定理、直角三角形射影定理，并能用它们处理一些简单的数学问题 2、了解与圆有关的定理，如垂径定理、相交弦定理、切割线定理，同时掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法 二、学习重点： 熟悉与三角形及圆有关的常用定理，为进一步学习做准备 三、新课讲解： 知识点一：与比例线段有关的定理 平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题。在数学学习与研究中，我们发现平行线常

2、能产生一些重要的长度比。 在一张方格纸上，我们作平行线l1,l2,l3l,l,l，直线a交123于点A,B,C，ABAB2=AB=2,BC=3，另作直线b交l1,l2,l3于点A,B,C，不难发现BCBC3。 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 例1、如图，l1/l2/l3，且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF的长度。 思路导航：利用平行线分线段成比例定理和比例的性质可求 解：Ql1l2l3,ABDE2=,BCEF3 DE=28312DF=,EF=DF=2+352+35。 点津：平行线分线段成比例定理往往要与比例的性质相结

3、合 例2、如图，在DABC中，若DEABFG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2，若DABC的面积为32，DCDE的面积为2，则DCFG的面积S等于_ 思路导航：由DEABFG知，这三个三角形相似，要求DCFG的面积S只需求出它们的相似比 解：QDEABFG DCDEDCFGDABC SDCDE21CD=,CD=1AC,AD=3AC32444CASDCAB FD1=又FG到DE、AB的距离之比为1：2，FA2 FD11131=,FD=AD=AC=AC3344AD3 CD1SCDECD11FD=DC,=,=CF2SCFGCF24 DCFG的面积S等于8 点津：相似三角形面积比等于对应边之比的平

4、方 知识点二：三角形内角与外角平分线性质定理 1、三角形内角平分线性质定理三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。 22ABBD=DC。AD为BAC的平分线，例3、如图，在ABC中，点D在线段BC上，求证：AC 思路导航：考虑作AD的平行线，从而运用平行线分线段成比例定理 证明：过C作CEAD，交BA延长线于E， QADCE,BABD=AEDC。 又AD平分BAC,BAD=DAC, 由AD/CE知BAD=E,DAC=ACE, E=ACE,即AE=AC ABBD=ACDC。 点津：利用平行线分线段成比例定理，可以将一条直线上的比例线段“移”到另一条直线上，这是解决有关比例

5、线段问题的常用方法 2、三角形外角平分线性质定理三角形的外角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例 知识点三：直角三角形射影定理 例4、如图，在直角三角形ABC中，BAC为直角，ADBC于D。 22求证：AB=BDBC，AC=CDCB； 2AD=BDCD 证明：在RtBAC与RtBDA中，B=B， BACBDA， BABC=,即AB2=BDBCBDBA。 2同理可证得AC=CDCB。 o在RtABD与RtCAD中，C=90-CAD=BAD， RtABDRtCAD，ADDC=,即AD2=BDDCBDAD。 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用。 例5、在A

6、BC中，ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F， 求证：AEAB=AFAC。 证明：QADBC， ADB为直角三角形，又DEAB， 2由射影定理，知AD=AEAB。 2同理可得AD=AFAC。 AEAB=AFAC。 知识点四：与圆有关的定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：经过圆心；垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：平分弦，平分弦所对的劣弧，平分弦所对的优弧。 推论1： 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直

7、平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 如图，若ABCD，则AC=BD 注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。 例6、已知ABC内接于O，且ABAC，O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。 思路导航：因为不知道ABC是锐角三角形还是钝角三角形，因此圆心有可能在三角形内部，也有可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论： 假若ABC是锐角三角形，如图甲，由ABAC，可知， 甲 点A是弧BAC的中点，连结AO并延长且交BC于D， 由垂径定理推论 可得ADBC，且BDCD， 这样OD2cm，再连结OB， 由在Rt

8、OBD中，OB6cm，可求出BD的长， 则AD长可求出， 则在RtABD中可求出AB的长。 若ABC是钝角三角形，如图乙，连结AO交BC于D， 乙 先证ODBC，OD平分BC，再连结OB， 由OB6cm，OD2cm，求出BD的长，然后求出AD的长， 从而在RtADB中求出AB的长。 略解：连结AO并延长交BC于D，连结OB， ABAC， ，ADBC且BDCD， OD2cm，OB6cm， 在RtOBD中，由勾股定理得：BDOB-OD6-242， 在RtADB中，ADOAOD8， 由勾股定理可得：AB2222AD2+BD282+42()246 同，添加辅助线求出BD42， 在RtADB中，ADAO

9、OD624， 由勾股定理可得：ABBD2+AD2=(42)2+42=43， AB46cm或43cm。 点津：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，每条弦上被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理：P是圆外任意一点，过P点任作圆的两割线PAB，PCD反切线PT，2则PAPB=PCPD=PT 例7、两圆交于A、B，AC、AD切两圆于A，交两圆于C、D，连CB，延长交AD于E，交圆于F，若BC9，AE6，DE2，求AC的长。 思路导航：对图形分析可得ACDF，从而转化为对应线段成比例，需要连接AB、DF，

10、 解：连接AB，DF 1F AD与O相切 1C CF ACDF ，设BE，EF，则 由、解得： ，由相交弦定理得由切割线定理得： AC12 点津：若从圆中求线段长，要有意识地寻找线段之间的数量关系，注意应用相交弦定理及切割线定理 知识点五 ：直线与圆的位置关系 思考：设有直线l和圆心为O且半径为r的圆，怎样判断直线l和圆O的位置关系？ 当圆心到直线的距离dr时，直线和圆相离 当圆心到直线的距离d=r时，直线和圆相切 当圆心到直线的距离dr时，直线和圆相交 常用结论： 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B。若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，连结圆心O和弦AB的中点M的线段OM垂

11、直于这条弦AB。且在RtOMA中，OA为圆的半径r，OM为圆心到直线的距离d，MA为弦长AB的一半，根据勾股定理，有 r2d2=(AB2)2。 当直线与圆相切时，PA,PB为圆O的切线，可得PA=PB，OAPA，且在Rt222POA中，PO=PA+OA。 PT为圆O的切线，PAB为圆O的割线，我们可以证得PATPTB，因而PT2=PAPB。 例8、如图，已知O的半径OB5cm，弦AB6cm，D是AB的中点，求弦BD的长度。 思路导航：涉及到圆内的弦时，应注意构造直角三角形 解：连结OD，交AB于点E。 QBD=AD， O是圆心， ODAB,BE=AE=1AB=3cm2。 在RtBOE中，OB5

12、cm，BE3cm， OE=OB2-BE2=4cm。 QOD=5cm,DE=1cm。 在RtBDE中，BE3cm，DE1cm， BD=10cm。 点津：在圆当中求弦长，常常借助勾股定理、相似三角形等相关内容，解题时应注意运用有关结论。 知识点六：圆和圆的位置关系 设圆O1与圆O2的半径分别为R,r(Rr)，它们可能有哪几种位置关系？ 当O1O2=R-r时，两圆内切 当O1O2=R+r时，两圆外切 当O1O2R-r时，两圆内含 12R+r时，两圆相交 当R-rR+r时，两圆外离 例9、设圆O1与圆O2的半径分别为3和2，O1O2=4，A,B为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB的长。 思路导航：按照求

13、弦长问题的一般思路进行。 解：连接AB交O1O2于C， 12AB，且C为AB的中点， 则OO22OC=9-x,OC=4-x, AC=x12设，则O1O2=9-x+4-x=4，解得22x=3158。 故公共弦AB的长为点津：本质上还是解直角三角形的问题 四、目标期望： 在高中的向量、解析几何与立体几何的学习中经常会用到三角形和圆中的平面几何的上述定理，所以我们对这些知识进行了归纳与整理，通过本节课的学习，希望同学们能够了解定理内容，并学会简单应用，更好地把握这节课的授课意图，但无需一步到位。 一、选择题 1、如图，DFAC，DEBC，下列各式中正确的是 2x=3154。 A. B. C. D.

14、2、如果D、E分别在ABC的两边AB、AC上，由下列哪一组条件可以推出DEBC A. ， B. ， C. ， D. ， 3、半径为4cm，120的圆心角所对的弦长为 A. 5cm B. 43cm C. 6cm D. 33cm； 164、在O中，弦AB所对的劣弧为圆的，有以下结论：AB为60；AOB60；ABAOB60；AOB是等边三角形；弦AB的长等于这个圆的半径。其中正确的结论是 A. B. C. D. 5、在O中，圆心角AOB90，点O到弦AB的距离为4，则O的直径的长为 A. 42 B. 82 C. 24 D. 16 二、填空题 1、判断正误： 1）直径是圆的对称轴。 2）三点确定一个圆

15、 3）平分弦的直径垂直弦 4）在同圆中，等弦对等弧 5）圆心角相等，它们所对的弧相等 6）在同圆中，等弧对等弦 7）线段AB是O的直径，点C在直线AB上，如果ACAB，则点C一定在O的内部 8）正方形ABCD，根据不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，它可以确定四个圆。 9）在O中，那么它们所对弦的关系是AB2CD。 10）O的半径为5cm，点P到圆O的最小距离与最大距离之比为2：3，则OP长为1cm。 2、在半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于 ； 3、已知O的半径为5cm，AB的度数为120，则弦AB的长是 ； 4、已知O的半径为R，弦AB的长也为R，则AOB ，弦心距是 ； 15、已知

16、：O的半径为2cm，弦AB所对的劣弧为圆的3，则弦AB的长为 cm，AB的弦心距为 cm。 三、解答题 1、如图，大O的半径为6cm，弦AB6cm，OCAB于C，以O为圆心、OC长为半径作圆，交OA、OB于点D、E。 求小O的半径OC的长 求证：ABDE 2、已知在ABC中，D在AC上，AD:DC=2:1，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上。 一、选择题 1、D 2、B 3、B 4、D 5、B 二、填空题 1、1. 2） 3）的直径垂直弦） 4）弧相等，因为一条弦对两条弧） 5） 6） 7） 8） 9） 10） 2、3R 3、53cm 13R24、60， 5、23，1 三、解答题 1、解：OAOBAB6cm AOB为等边三角形 底边AB上的高OC也是底边上的中线 OC6-3=33(cm) 证明：AOB是等边三角形 AAOB60 在ODE中，ODOE，DOE60 ODE为等边三角形 ODE60 ODEA DEAB 2、解：假设能找到，如图，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作EG/AC交BD于G。 22QEG/AC,EF=FC， EGFCDF，且EG=DC， 1BEEG1EG/AD,BEG=,2BAAD2 BAD，且E为AB的中点。 可见，当E为AB的中点时，EC的中点在BD上。