西南大学《数学物理方法》复习思考题及答案.docx

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1、西南大学数学物理方法复习思考题及答案数学物理方法复习思考题 一、单项选择题 1、函数f(z)以b为中心的罗朗展开的系数公式为 f(k)(b)1f(z)A.Ck=g(z-b)k+1dz B.Ck=k! 2piC.Ck=1f(z)k!f(z) dzD.C=kgz-bg(z-b)k+1dz 2pi2pi2、本征值问题X(x)+lX(x)=0,X(0)=0,X(l)=0的本征函数是 npxnpx(2n-1)px(2n-1)pxsinsincos B C D ll2l2l3、点z=是函数cot z的 cosAA. 解析点 B. 孤立奇点 C. 非孤立奇点 D. 以上都不对 4、可以用分离变量法求解定解问

2、题的必要条件是 A. 泛定方程和初始条件为齐次 B. 泛定方程和边界条件为齐次 C. 初始条件和边界条件为齐次 D. 泛定方程、初始条件和边界条件为齐次 5、设函数f(z)在单连通区域D内解析，C为D内的分段光滑曲线，端点为A和B，则积分Cf(z)dz A. 与积分路径及端点坐标有关 B. 与积分路径有关，但与端点坐标无关 C. 与积分路径及端点坐标无关 D. 与积分路径无关，但与端点坐标有关 6、 条件z1所确定的是一个 A单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 7、条件0z-12内展成z+1的级数为 1-z12n(z+1)nnA- B C D zn+1n+

3、1n+12n=0zn=0n=0(z+1)n=0110、点z=0是函数f(z)=sin的 z-1A. 解析点 B. 孤立奇点 C. 非孤立奇点 D. 以上都不对 二、填空 1、 复数1-i3的三角形式为2，其指数形式为. 2、 复数sin+icospp55的三角形式为，其指数形式为. 3、 复数1+i3的实部u=2，幅角q=，虚部v=. ，模r=4、 复数-2+i2的实部u= ，虚部v= ，模r= ，幅角 q= . 5、 6、 7、 8、 9、 z4+1=0的解为z4+a4=0 (a0) 的解为. . . . . z4-1-i=0的解为ez=1+i的解为ii=dz=10、 积分z=1cosz11

4、、 积分12、 积分. . . dzz=1z2+2z+2=z=1z3coszdz=. 13、 积分14、 积分bazcosz2dz=zcosz2dz=z=1. 15、 积分zsinzdz=01. 16、 幂级数2n=11n的收敛半径为zn. (z-1)n17、 幂级数的收敛半径为nn=1. 18、 z=0 为f(z)=19、 z=0 为f(z)=20、 1-cosz的3zsinz的3z. . 1+2i2-i+= . 3-4i5i21、 (2-i)-i(1-i2)= . 22、 i(1+3i)(3+i)= . 23、 积分dzz=1z2-z-6=. 24、 幂级数1n2z的收敛半径为nn=1.

5、25、 z-1=0的解为4. 26、 积分dzz=1z2+z-6=. 27、 积分p20zsinz2dz=. 28、 幂级数1nz的收敛半径为nn=13. 29、 幂级数1nz的收敛半径为 . n=1n1在|z+1|2上展成(z+1)的泰勒级数为 . 1-z30、 函数f(z)=三、已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部u(x,y)或虚部v(x,y)，求此解析函数。 1、u(x,y)=3xy2-x3 2、v(x,y)=eycosx 3、u(x,y)=2(x-1)y 4、v(x,y)=exsiny 5、u(x,y)=x2-y2+xy 6、v(x,y)=x3-3xy2 四、设f(

6、z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)解析函数，试确定l、m、n的值。 五、证明下列函数在复平面上解析，并求其导数。 1、f(z)=excosy+iexsiny 2、f(z)=exsiny-iexcosy 六、证明函数f(z)=zRez在复平面上不解析。 七、求下列积分 2z2-z+1dz，1、计算。 Cz-1sinp4zdz，C分别为：2、计算、z+i=Cz2+13、计算1、2，z-i=12， 1z=1zsinzdz 。 idz4、算I=，、沿路径C1：z=1的左半圆周，、沿路径C2：z=1的右半-iz圆周。 5、计算Cezdz，C分别为：、z-2=3，、z+2=3 。 z-2ez6、

7、计算5dz， C为： z=1 Czezdz,(1)c2:|z+1|=1,(2)c1:|z-1|=1,(3)c:|z|=2 7、计算222cz-1eizdz,8、计算2cz+1c:|z-2i|=3 29、计算2icz2+1dz,c:|z-1|=6 eiz10、计算dz,cz(z-1)2八、将f(z)=c:|z|=2 z按z-1的幂级数展开，并指明收敛范围。 z+21九、将f(z)=在指定范围内展开成罗朗级数。 (z-1)(z-2)1、0z-11； 2、0z-21 十、把f(z)=1展为下列级数 (z-2)(z-3)1、 将f(z)展为z的泰勒级数，并给出收敛半径。 2、 将f(z)在2z3展为罗

8、朗级数。 3、 将f(z)在3z展为罗朗级数。 十一、把f(z)=1展为下列级数 (z-1)(z-2)1、将f(z)展为z的泰勒级数，并给出收敛半径。 2、将f(z)在1z2展为罗朗级数。 3、将f(z)在2z展为罗朗级数。 十二、试用分离变数法求解定解问题 utt-a2uxx=0,uux=0t=0=0,u=x,utx=lt=0=0,=0.(0xl,t0) 十三、求解定解问题 ut-a2uxx=0数学物理方法复习思考题答案 一、单项选择题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 二、填空 1、 cosp3-isinp3,e-ip3i3p3p2、 cos+isin,e10

9、10103p3、 u=p13， r=1,q=+2kp,v=322v=2， r=2,q=(k=0,1,2,L) 4、 u=-2,i3p+2kp4(k=0,1,2,L) p+2kp45、 z=e,(k=0,1,2,3) 46、 zk=aeip+2kp,(k=0,1,2,3) 4p87、 zk=2ei4+2kp,(k=0,1,2,3) 8、 z=ln2+i(p4+2kp),(k=0,1,2,L) 9、z=e-(p2+2kp),(k=0,1,2,L) 10、 0 11、 0 12、 0 13、 1(sinb2-sina2) 214、 0 15、 sin1-cos1 16、 2 17、 1 18、 一阶

10、极点 19、 二阶极点 20、 -2 521、 -2i 22、 -4 23、 0 24、 1 25、 z=e26、 0 27、 i2kp4,(k=0,1,2,3) 1 228、 3 29、 1 30、 2n=01n (z+1)n+1三、已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部u(x,y)或虚部v(x,y)，求此解析函数。 1、f(z)=3xy2-x3+i(y3-3x2y+c)； 2、f(z)=eysinx+ieycosx+c； 3、f(z)=2(x-1)y+i(y2+2x-x2+c)； 4、f(z)=(excosy+c)+iexsiny； 5、f(z)=x-y+xy+i(221

11、212y-x+2xy+c)； 22 6、f(z)=y3-3x2y+c+i(x3-3xy2)。 四、设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)解析函数，试确定l、m、n的值。 l=n=-3,m=1 五、证明下列函数在复平面上解析，并求其导数。 1、f(z)=excosy+iexsiny 证明： u(x,y)=excosy，v(x,y)=exsiny u=excosy,xv=exsiny,xu=-exsiny， yv=excosy yuvuv=,=-xyyxuuvvQ,在z平面上连续 xyxyu(x,y),v(x,y)在z平面上可微f(z)在z平面上解析f(z)=uv+i=excosy+i

12、exsiny=f(z) xx2、f(z)=exsiny-iexcosy 证明： u(x,y)=exsiny， v(x,y)=-excosy u=exsiny,xv=-excosy,xu=excosy， yv=exsiny yuvuv=,=-xyyxuuvvQ,在z平面上连续 xyxyu(x,y),v(x,y)在z平面上可微f(z)在z平面上解析f(z)=uv+i=exsiny-iexcosy=-iex(isiny+cosy)=-iez xx六、证明函数f(z)=zRez在复平面上不解析。 证明： f(z)=zRez=x(x+iy)=x2+ixy u(x,y)=x2， u=2x,xv(x,y)=

13、xy v=x yuv=0， =y,yx 由于当x0,y0，四个偏导数不满足哥西黎曼条件，所以函数在在复平面上处处不解析。 七、求下列积分 1、4pi 2、22p，p 223、 0 4、-pi ，pi 5、2pie ，0 26、1pi 127、-pie-1；pie； pie-pie-1=pi(e-e-1) 8、p 9、0 10、2pi 1e八、将f(z)=z按 z-1 的幂级数展开，并指明收敛范围。 z+212f(z)=+n+1(-1)n(z-1)n,3n=03z-13 九、将f(z)=1在指定范围内展开成罗朗级数。 (z-1)(z-2)-11、在 0z-11内， f(z)=-(z-1)n z-

14、1n=012、在0z-21内， f(z)=-(-1)n(z-2)n z-2n=0十、把f(z)=1展为下列级数 (z-2)(z-3)111、f(z)=n+1-n+1zn,|z|23n=02nz2n2、f(z)=-n+1-n+1,2|z|3n=03n=0z 3、f(z)=n=03n2n-,3|z|zn+1n=0zn+1十一、把f(z)=1展为下列级数 (z-1)(z-2)11、f(z)=1-n+1zn,|z|12n=0zn12、f(z)=-n+1-n+1,1|z|2 n=02n=0z3、f(z)=n=02n1-,2|z| zn+1n=0zn+1十二、试用分离变数法求解定解问题 u(x,t)=(-

15、1)n-1n=1npatnpx2l cossinnpll十三、求解定解问题 u(x,t)=1p+sinm-mcos(mx)e-m2a2tdm 十四、试用分离变数法求解定解问题 u(x,t)=(-1)n-1n=12lenp-n2p2a2tl2sinnpx l十五、求解定解问题 u02unpatnpxu(x,t)=x+(-1)n0cossinlnpll n=1十六、求解定解问题22Q+sinhmu(x,t)= cos(mx)e-matdm p-hm十七、求解定解问题 u(x,t)=u02ux+(-1)n0elnpn=1-n2p2a2tl2sinnpx l十八、求解定解问题 patlpatpx u(x,t)=cos+sinsinlpall十九、求解定解问题 u(x,t)=e-patlsinpxl二十、试用分离变数法求解定解问题 (2k-1)pat(2k-1)pxl4lu(x,t)=-coscos2k=1(2k-1)2p2ll 二十一、试用分离变数法求解定解问题 u(x,t)=l4l-e222k=1(2k-1)p-(2k-1)2a2tl2cos(2k-1)px l