袁晖坪线性代数教材习题答案提示.docx

《袁晖坪线性代数教材习题答案提示.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《袁晖坪线性代数教材习题答案提示.docx（39页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、袁晖坪线性代数教材习题答案提示第一章 行列式与Cramer法则 第一章知识清单 1.行列式定义： a11a21a12a21a1na2nann12=(-1)i,jDt(i1i2in)+t(j1j2jn)ai1j1ai2j2ainjnan1an2说明1）t(iiin=)t(k)=t(ii=kk=1nnk), t(ik)：在ik左边比ik打的数的个数. 说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成 2.计算方法 D基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：aikAjk=k=10ni=jij常用方法： 利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。 特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。 3.行

2、列式性质 行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。 4.克莱姆法则 1 / 14 a11x1+a12x2+La1nxn=b1ax+ax+Lax=b2112222n22 LLLLLLLan1x1+an2x2+Lannxn=bnDD即：Anx=b. 解：x=1,2,DD,Dn，D=An. DT推论：Anx=o有非零解An=0. 基本作业建议 A组：1，4，6，7，8, 10(1)； B组：一 ，；二， 一4：列标：54243，表明第四列有两元素：否; (2): 一5：(-1)t(24531)+t(45213). (-1)t(2341)a12a2(3)a3

3、4a4(1),(-1)a2b22b+1c22c+1t(2143)a12a2(1)a34a4(3). r3-2r2r4-3r2d22d+1a226b226c226d226=0 一6(5)：Di=2,3,4ri-r12a+14a+44b+44c+44d+46a+96b+96c+96d+9=2a+12b+12c+12d+1一7(1)，(2)：同6，见课件例1.151.18。四种方法： ciri-r1i=1方法一：D=D1=上三角式； 提公因式ri-r1ni=2,3,n方法二：D=箭形行列式 i=2,3,n100方法三：D=0加边-a1a1-ba1a1a1-a2a2-a3a3-ananananan-b

4、 =ri+r1,i=2,3n11111-a1-b000-a20-b00-a300-b0-an000-ba2-ba3a2a3-ba2a30a1a2a3a1a2-ca3拆解a2a3-c方法四：D=a1a1 2 / 14 anananan-cca2a30a2-ca3a2a3-c-00a2a3anananan-c(略). a2a3一7同类型，见课件与课本例题1.9：。 ：cic1i=1方法一：D=D1=下三角式cj+cj-1n，方法二：Dn=b1Dn-1+下三角式(递推式)，c1方法三：Dn=下三角式 j=2,3,ncj-：方法一：Dn=b1Dn-1+下三角式(递推式)，方法二：Dnc1=下三角式 j

5、=2,3,nbcbj-1j-1aj：方法一：Dn=A+对角式，A=对角式.方法二：Dn：课本例题1.12 一7：拆解。 一7：见课本例题1.15. 一10：系数行列式=0.要求：耐心，细致！ c1rn-1c1-acn=次下三角式 j=2,3,nciri-r1r2r3i=1一1：D=D1=D2=上三角式 i=2,3,44ci，r+r,r-ri=12131一1：D=D1=三角式 1cx1r4+r14一1，类一5： r1-2r4r2+r4r3-r4c1定义D=D1=D2=其中:(-1)t(132)+(-1)t(132)(x-2)(x-1)(-2x)+t(132)=+2x3+(x-2)(x-1)(-2

6、x)=(-1)a11a23a32. 一1同课本例题1.15： 一1类同 一A(10) 1i=jm=0,一2 特例法：取aijdij,即aij=0ij一2类一1，由定义：t(3241)(-1)t(3142)112(-2)+(-1)1221 一2：排除法。请记忆结论 一2，同一10 3 / 14 一3，参见课件例1.18。类一7，：方法一：D=箭形行列式； 各列提公因式ri-r1,i=2,3,n方法二：加边；方法三：拆解. 一3：Dn =An=Bn-1=Cn-1=对角式。 j=n,n-1,2,1i=2,3,ncj-cj-1c1ri-r1cn-1第二章 矩阵 第二章知识清单 1.矩阵的线性运算与矩阵

7、的乘法 注意：矩阵乘法无交换律与消去律. 2.矩阵的逆与线性方程组的矩阵解法 1）有关公式： 1*-1-1-1(kA)-1=1A-1AA=AEA=A；(AB)=BA; kA*-1AA=A-1mnm+n,(AmZ+m)nn=Amn(m,nZ)，由此得： kA=PLP,f(A)=k=-maAk,f(A)=Pf(L)P-1. k,ln),kZ L=diag(l1,l2,ln)Lk=diag(l1k,l2k,f(A)=Pf(L)P-1=diag(f(l1),f(l2),f(ln). 2）有关方法： 求逆矩阵：直接用定义；伴随阵法；初等变换法。 4 / 14 解矩阵方程： -1逆矩阵法:AnX=BX=A

8、B. r(E,A-1B),X=A-1B.B=EX=A-1. 初等变换法：1）AnX=B(An,B)r2）AX=B(A,B)行最简形选择自由未知量，给出方程的解,. 3.转置阵的性质 基本作业建议 A组：4， 6，9，10，14，15，17，18，19，24，28，29，；B组：一 ，；二 Da0ab二7：B=,AB=BAB=,a,c可任取. cdcaD二10 ：方法一，归纳；方法二，二项式定理. 130010例：10002kkn100030=010+000002000nDn=(A+B)=B2=O二16 ：a-b=(a-b)a(k-1+ak-2b+ak-3b2+abk-2+bk-1) -E=Ak

9、-E=(A-E)(Ak-1+Ak-2+A+E) 二17：问：A？=EA(A+2E)E=4E. 二18：AA=AEA*()*-1=1A A二19：A11-111-1*A-3A=AA-1-3AA* (5A)-3A*=AAA5A5311-2A=A3-28=E-3AE=5E=5E=-. 5A5525二20：AB=2A+B(A-E)B=2A=2(A-E)+2E(A-E)(B-2E)=2E(略）. 5 / 14 二23(1): 原式=3A. (2): 原式=-2A113c12c3+c1c2c3c1c23c1+c22c1c2c1. (3):原式3c1-c2-c322c51=A1,A2-3A3,2A3-A1=

10、A3c2+c32. -1二26:AX=A+2XX(A-2E)=A,X=(A-2E)-1rE,(A-2E)A. A,(A-2E,A)(-1)B=6A-E二28:ABA=6A+BAA-EBA=6Ar(E,(A-2E)(A-2E,A)-1(-1)A,A-1-E可逆(-1)-1, A. 3)二30:由一7:A=(k-3)(k-1)，检验知：k=3M140，合题意. -23k-23k11r3-r2r2+r1A02k-23k-302k-23k-3二31:类30：r3-kr1. 02k-23-3k2003-3k2-3k+31-233-3k2-3k+3=-3k2+k-2=-3(k+2)(k-1)k=1A000

11、r(A)=1;000()r1-2-6k=-2A0-6-9r(A)=2;000r-23k1k1且k-2A02k-23k-3r(A)=3. 2003-3k-3k+3r二1：二1：abB-1=BT-1； n()2=ababT=a(bTa)bT=a3bT=3(abT) (abT)=3n-1(abT). T二1：分块对角阵。 二1：B(A-E)=2E. 6 / 14 -3二1：A可逆,003a12-20=0-101=0. -1010-11二1：B可逆，于是：r(BA)=r(A). 二1：AA*=AEA*()()*2-1=1A A1A A二1：AA=AEA二1：方法一，归纳； *-1=方法二：，A=E+E

12、(1,3)A=E-2EE(1,3)+E(1,3)2()2=2(E+E(1,3)=2A 即A=2A，A=22nn-1A，An-2An-1=An-2A2-2A=An-2O=O。 ()二1：类二： A=(aa2T)2=2(abT)=2AAn=2n-1A ，a-2n-10aE-An=0a2n-12n-10=a3-a2n. 0a-2n-1T二1：设a=(a,b,c)a2abac1-11aaT=bab2bc=-11-1，aTa=a2+b2+c2=3 cacbc21-11二2：排除法 二2：方法与答案同上 二2：利用对称阵的定义与性质 二2：排除法 二2：A=(BC). -1二2: (A+B)-1=A-1+

13、B-1? *二2: r(A)=3$Aij0又r(A)=3AA=AE=0 r(A)+rA()4,综上得：r(A)=1, *二2: A*(A)*=A*E=An-1*=An-1A. EAAA()二2: 初等变换不改变矩阵的秩A=0B=0. 二2: E=AE=(AE)(矩阵多项式)EA不可逆. 33 7 / 14 二2: C=DOA1*-1*-1C=CC=CC. CBOC=(-1)行,列交换各n次2nAOOB=AB,C-1O=-1AO-1B=1*OAA1*BB. OOC*=AB1*AA二2: 二3(1): 二3(2): 1*BBO=*BAOAB*. OP=E(1,2(1),P-1=E(1,2(-1)C

14、=E(1,2(1)AE(1,2(-1)=PAP-1. ()(abT)=6(abT)2-1(A2-E2)B=A+E(检验知：A+E可逆)(A-E)B=E,B=A-ED. 二3:(略) 二3(4)，第一小题:A=(aT1,a,T2,aTn)T=(b1,b2,bn) A2=AAT=aibj=aiaT=OaiaiT=0ai0A=O. j二3(4)，第二小题: (A2n-1)=-A2n-1A2n-1=(A2n-1)=-A2n-1=(-1)二3(4)，第三小题: A-1TT2n-1()()A2n-1A2n-1=0. )=(A)TT-1=A-1. X-1二3(5)：A=BOX-1O=(待定系数法). -1-

15、1-1CC-CBX-1-1-1二3(6)：(E-A)B=E,C(E-A)=AB=(E-A),C=A(E-A) B-C=(E-A)-1(E-A)=E. -1二3(7)：2AB*=111A2A*B-1=A2A*B-1=2AB-1AAAn-1(2A)=ABn. 另解：2AB*-1=2nA*B-1=2A1. B 8 / 14 二3(8)：A-1-EXA=2AX=2A-1-E. 二3(9)：A(A-E)(A+2E)=EA=?(E-A)-1-1()()=-(A-E)=? -1二3(10)：第一小题:(A-E)(E-B)=-E. 二3(10)：，第二小题 A(E-B)=-BA=B(B-E). 二3(11)：

16、AA-1+B-1B=A+BA-1+B-1-1()()-1=(A-1(A+B)B-1)=B(A+B)A. -1-1111二3(12)：E=AB=E-aaTE+aaT=E+-1aaT-aaTaaa()()211-1-aaTaaT=0a=-1.。 aa二3(13)：CT=2E-A-1B31c1-c2+c322()-1A-1=A(2E-A-1B)()-1=(2A-B). -1二3(14)：原式=777a1,-a1+a2,a2+2a3=a1,a2,2a3=2A. 2227c2-c12c3-c2二3(15)：更正：P=ET*-aAO. AA证：PQ=Ta(AE-AA*) Ab-aTA*a. T-1A(b-

17、aAa)aA=TaOA*=TAAb-aaOAaaP可逆，于是:Q可逆PQ可逆A(b-aTA-1a)0baTA-1a. 二3(16)：B0r(A)=r(AB)=2A=0a=2. 9 / 14 第三章 向量与线性方程组 基本作业建议 A组： 5，7，8，12，14，17，21，22；B组：一 ，9；二，其中题以去掉“不”。 110110111101111r3+r2 r2-r1,r3-3r1三2(2)：B=12331012210122132a4b0-1a-31b00a-13b+10111110-1-1-1r1-r2a=1B0122101221 0003b+10003b+1rb+1b-2b-2x=-1

18、+k+=+k13x1=-1+x3+x4331x=1-2x-2x2(b+1)1-2b1-2b341=+k2x2=1-2k-,x=+k,k可任取.3x3=x3331x3=kb+10x4=0b+1b+13x4=33 10 / 14 x1=-1+x3+x4110x2=1-2x3-2x411ra1时，B01221b+13x4 00a-13b+1x3=a-1-a-1x4=x4b+13k2-a+ba-4x=-1+1a-1-a-1+ka-1a-1b+13k-3+a-2b8-2a-2kx2=1-2 ,x=a-1+ka-1,k可任取.a-1a-1b+1-3b+13kx3=-a-1a-1a-1a-110x=k4三5

19、(1) 方法一： 11B=(a1,a2,a3,b)=12302130212-4r2-r1,r3-r10-22-6r4-2r10-31-5 01-313-70-53-1110r4-r2-r3r2-r3,r3+3r2003021r3,r2-r311-1104r1-r2004-8000000-110101-2 000r(B)=r(A,b)=3b=-a1+a2-2a3,表达式是唯一的。 方法二：设A=(a1,a2,a3),x=(k1,k2,k3),则k1a1+k2a2+k3a3=bAx=b， 11B=(A,b)=12302112-4001-3013-7000-1k1-1101x=k2=1，即有：，得唯

20、一解： 01-2k-13000Tb=-a1+a2-2a3,表达式唯一存在。 三5(2)： 1-1221-122r2+r1,r3-2r1B=(a1,a2,a3,b)=-12-3301-15r3+r2 2-35-10000 11 / 14 1017r1+r201-15,b=7a1+a2, r(B)=r(A,b)=23,表达式不唯一. 00001017证明如下：设k1a1+k2a2+k3a3=b,则k1+k2+k3=. 01-15k17-kk=5+k解得：2,b=(7-k)a1+(5+k)a2+ka3,k可任取. kk3三6： 三6： 三6： 三7: r(A)=R(A,b)=3, r(A)R(A,b

21、), r(A)=R(A,b)3, R(A)=n(向量的个数）? B=(a1+a2,a2-a3,a3-a4,a4-2a1)A=(a1,a2,a3,a4). C三8(1): r(B)=r(A)=4,B:a1+a2,a2-a3,a3-a4,a4-2a1线性无关. 三8(2): c1+c2+c3+c4B=(a1-a2,a2-a3,a3-a4,a4-a1)(o,a2-a3,a3-a4,a4-a1), r(B)4B:a1-a2,a2-a3,a3-a4,a4-a1线性相关. 三9：类同 三8(1)。 三10理解：A:a1,a2,as-1,as线性相关；B:a2,as,as+1线性无关。 ,as-1,as线性

22、相关；C:a2,as线性无关，由此得证。 三10：由已知，A:a1,a2,三10：rA=-1s=rB()，故不能. ()s,an线性无关r(A)=n. ,Ban)=n， 三11：A:a1,a2,C:Ba1,Ba2,Ban线性无关r(C)=r(Ba1,Ba2,()r(BA)=nr(B)=nB0. rA=n方法二：C 12 / 14 :Ba1,Ba2,Ban线性无关Cx=0只有零解，即BAx=0只有零解， 由已知Ax=0只有零解，y=Ax,则By=0只有零解，即r(B)=n,即B0. 三12：依据：初等行变换不改变列向量组的线性相关性. DA:a1,a2,anA=(a1,a2,an)行最简形，观察

23、立得结论. r1r0例如：A=(a1,a2,a3,a4,a5)0001012032,观察得结论: 001-10000r(A)=3,最大无关组：a1，a2，a4.a3=a1+2a2,a5=3a1+2a2-a3. 三13：化为行阶梯型。 三14：设向量组A与B所含向量个数相同，则：ABR(A)=R(B)=R(A,B). 操作如下：(A,B)行阶梯型，再观察之。 三15：At:a1,a2,r,at是A：a1,a2,as中的一个线性无关组，则A中任何一个向量均可由 ,at，b线性无关，这与At线性表出,at是A中的一个极大无关组. 另证：rAt=r(A)At与A等价，即：At是A的一个极大无关组. 三

24、16-19: 基本题型 .略。 三20: r(A)=3,Ax=0的解空间的维数=4-3=1, ()3(a1+a2)-2(a2+2a3)=3(a1-a3)+(a2-a3)=xAx=0,x即Ax=0的基础解系 所求x=kx+D(a2+2a3)-(a1+a2). 三21，22：典型习题，务必重视！ 三1：对应分量成比例。 三1：r(A)4,即A=0. 三1：r(A)=r(A,b). 三1：r(A)=r(A,b1)r(A,b2). 三1：r(A)=r(A,B)=r(B). 13 / 14 三1：r(AB)=r(A)=2 三1：r(A)+r(B)3,B0r(A)2A=0 三1：Ax=O有非零解A=0,A

25、x=b由无穷多个解r(A)=r(A,b)3. 三1： 类同三20. 三1：r(A)=3. 三1：设A:a1,a2,B0,an(A，b1,b2)(A,o,b2)r(A，b1,b2)=r(A,o,b2)=s+1. C三1：r(A)=3Mij0rA*=0. 三1：类同三7. A0，r(B)2B=0()*三1：r(A)=2rA*=1Ax=0解空间的维数为3-1=2. 由此推出： ()A*x=0(A11,A21,A31)x=0，解之即可。 三1：a2-a1o,r(A)2r(A)=2,基础解系只含有一个自由向量， 故通解为：x=k(a2-a1)+a1. AT(A+B)BT=BT+AT=(A+B)AT(A+B)BT=(A+B)TT四26：ATA+BBT=(A+B)AA+BB=A+B,-AA+B=A+B,1+A2T(2)A+B=0,A+B=0.证毕. 14 / 14