考研数学公式大全.docx

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1、考研数学公式大全高等数学复习公式 高等数学公式篇 平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() 积的关系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=cosco

2、s+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 三角和的三角函数： sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 辅助角公式： Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1

3、/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() 三倍角公式： sin(3)=3sin-4sin3() cos(3)=4cos3()-3cos 半角公式： sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos

4、)/sin 降幂公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 第 1 页 共 12 页 高等数学复习公式 积化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2

5、)cos(+)-cos(-) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=(sin/2+cos/2)2 其他： sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2

6、*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函数的角度换算 编辑本段 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sinsin coscos tantan cotcot 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sinsin coscos tantan cotcot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sinsin coscos tantan cotcot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-

7、与的三角函数值之间的关系： sinsin coscos tantan cotcot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sinsin coscos tantan cotcot 公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系： sincos cossin tancot cottan sincos cossin tancot cottan sincos cossin tancot cottan sincos cossin 第 2 页 共 12 页 高等数学复习公式 tancot cottan (以上kZ) 部分高等内容 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)

8、： sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y;y=y，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0 30 45 60 90 sina 0 1

9、/2 2/2 3/2 1 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 tana 0 3/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0 导数公式： 2(tgx)=secx2(ctgx)=-cscx(arcsinx)=(arccosx)=-(arctgx)=11+x11-x11-x222(secx)=secxtgx(cscx)=-cscxctgx(a)=alna(logtgxdxctgxdxcscaxa2xxax)=1xlna(arcctgx)=-dxcos211+x2=-lncosx+C=lnsinx+Cxx=seccsc2xdx=tgx+Cxdx=-ctgx+Csecxdx=ln

10、secx+tgx+Cxdx=lncscx-ctgx=1a12a12aarctglnlnxa+C+C+C+Csindx22seccscxxtgxdx=secx+Cxctgxdxaxdx+xdx22=-cscx+C+Cx-ax+aa+xa-xxaadx=lna-adx-xdx22shxdxchxdxp2=chx+C=shx+C=ln(x+x222a-x2=arcsin+Cdxx2a2a2)+Cp2In=02sinnxdx=cos0nxdx=2n-1naaa2In-2xxxa2xxa+a-a2dx=dx=x2x2x2xxa2+a-a-x+-+22ln(x+lnx+arcsin+a-a2)+C+C22

11、2222222-xdx=2222+C第 3 页 共 12 页 高等数学复习公式 基本积分表： 三角函数的有理式积分： sinx=2u1+u，cosx=21-u1+u2，u=tg2x2，dx=2du1+u2一些初等函数： 两个重要极限： e-e2e+e2shxchx2x-xx-x双曲正弦:shx=双曲余弦:chx=双曲正切:thx=arshx=ln(x+archx=ln(x+arthx=12ln1+x1-xlimsinxx1xx0=1)=e=2.7182818284xlim(1+x59045.=e-ee+exx-x-xx+1）x-1)2三角函数公式： 诱导公式： 函数 角A - 90- 90+

12、180- 180+ 270- 270+ 360- 360+ sin cos tg -tg ctg -ctg -sin cos cos cos sin ctg tg -sin -ctg -tg -ctg ctg tg -ctg ctg sin -cos -tg -sin -cos tg -cos -sin ctg -cos sin -sin cos sin cos -tg tg -ctg -tg 和差角公式： 和差化积公式： sin(ab)=sinacosbcosasinbcos(ab)=cosacosbmsinasinbtg(ab)=tgatgb1mtgatgbctgactgbm1ctgbct

13、gasina+sinb=2sinsina-sinb=2cosa+b2cossina-b2a+b2a-b2cosa+cosb=2coscosa-cosb=2sina+b2cossina-b2ctg(ab)=a+b2a-b2第 4 页 共 12 页 高等数学复习公式 倍角公式： sin2a=2sinacosacos2a=2cosa-1=1-2sinctg2a=tg2a=ctga-12ctga2tga1-tga2222a=cos2a-sin2asin3a=3sina-4sinacos3a=4cosa-3cosatg3a=3tga-tga1-3tga2333半角公式： sintga2=1-cosa21

14、-cosa1+cosa1-cosasinasina1+cosacosctga2=1+cosa21+cosa1-cosa=1+cosasina22=sina1-cosa2a2=a2=正弦定理： asinA=bsinB=csinC=2R 余弦定理：c=a+b-2abcosC 反三角函数性质：arcsinx=p2-arccosxarctgx=p2-arcctgx 高阶导数公式莱布尼兹公式： n(uv)=u(n)=Ck=0knu(n-k)v(k)2!u(n-2)(n)v+nu(n-1)v+n(n-1)v+L+n(n-1)L(n-k+1)k!u(n-k)v(k)+L+uv(n)中值定理与导数应用： 拉格

15、朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)-f(a)=f(x)(b-a)=f(x)F(x)拉格朗日中值定理。f(b)-f(a)F(b)-F(a)当F(x)=x时，柯西中值定理就是曲率： 弧微分公式：平均曲率：K=ds=DaDs21+ydx,其中y=tga.Da:从M点到M点，切线斜率的倾角变DaDsdadsy(1+y)23化量；Ds：MM弧长。.M点的曲率：直线：K=0;K=limDs0=半径为a的圆：K=1a.定积分的近似计算： b矩形法：f(x)abb-an(y0+y1+L+yn-1)梯形法：f(x)abb-a1(y0+yn)+y1+L+yn-1n2b-a3n(y0+yn)+2(y2+y4+L+

16、yn-2)+4(y1+y3+L+yn-1)抛物线法：f(x)a第 5 页 共 12 页 高等数学复习公式 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数 空间2点的距离：向量在轴上的投影：d=M1M2=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1)222PrjuAB=ABcosj,j是AB与u轴的夹角。vvvvPrju(a1+a2)=Prja1+Prja2vvvvab=abcosq=axbx+ayby+azbz,是一个数量两向量之间的夹角：cosq=k,axbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz222222ivvvc=ab=axjaybyvvvaz,c=absinq.例：线速度

17、：bzaybycyazczvvvv=wr.功：W=Fs水压力：F=pA引力：F=km1m2r2bxaxvvvvvv向量的混合积：abc=(ab)c=bxvvvbz=abccosa,a为锐角时，,k为引力系数代表平行六面体的体积。cx函数的平均值：y=1b1b-abaf(x)dx均方根：b-aaf(t)dt2平面的方程：1、点法式：vA(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)Ax+By+Cz+D=0xa+yb+zc=1d=Ax0+By0+Cz0+DA+B+C空间直线的方程：x-x0m=y-y0n=z-z0p2222、一般方程：3、截距世方程：

18、平面外任意一点到该平面的距离：x=x0+mtv=t,其中s=m,n,p;参数方程：y=y0+ntz=z+pt0二次曲面：1、椭球面：2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：xaxa2222xa222+yb22+2zc22=1xy2p2q=z+-ybyb2222-+zczc2222=1=1多元函数微分法及应用 FF(x,y,u,v)=0(F,G)隐函数方程组：J=uGG(x,y,u,v)=0(u,v)uuxuy=-=-1(F,G)v1(F,G)=-J(x,v)xJ(u,x)1(F,G)v1(F,G)=-J(y,v)yJ(u,y)Fv=FuGGuvFvGv第 6 页 共 12 页 高等数学

19、复习公式 全微分：dz=zxdx+zydydu=uxdx+uydy+uzdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法Dzdz=fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy：dzzuzvz=fu(t),v(t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=+xuxvx当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=uxdx+uydydv=vxdx+vydy隐函数的求导公式：FFFdydydy隐函数F(x,y)=0，=-x，2=(-x)(-x)dxFyxFyyFydxdxFyFzz隐函数F(x,y,z)=0，=-x，=-xFzyFz2微分法在几何上的应用： x=j(t)x-x0y-y0z-z0

20、空间曲线y=y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：=j(t0)y(t0)w(t0)z=w(t)在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：j(t0)(x-x0)+y(t0)(y-y0)+w(t0)(z-z0)=0FzGzGz,FzFxGxGx,FxFyGyvFyF(x,y,z)=0,则切向量T=GyG(x,y,z)=0方向导数与梯度： 曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：v1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y

21、0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0x-x0Fx(x0,y0,z0)=y-y0Fy(x0,y0,z0)=z-z0Fz(x0,y0,z0)fl=fxcosj+fysinj函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中j为x轴到方向l的转角。l的方向导数为：fvfv函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i+jxy它与方向导数的关系是单位向量。fl是gradf(x,y)在l上的投影。vvfvv：=gradf(x,y)e，其中e=cosji+sinjj，为l方向上的l多元函数的极值及其求法： 设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，

22、令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：值AC-B0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：，Fy=f32Dr(x,y)xds(x+y+a)222Dr(x,y)yds(x+y+a)222，Fz=-fa32Dr(x,y)xds3(x+y+a)2222柱面坐标和球面坐标： x=rcosq柱面坐标：y=rsinq,f(x,y,z)dxdydz=Wz=z其中：F(r,q,z)=f(rcosq,rsinq,z)x=rsinjcosq2球面坐标：y=rsinjsinq，dv=rdjrsinjdqdr=rsinjdrdjdqz=

23、rcosj2pWF(r,q,z)rdrdqdz,pr(j,q)2Wf(x,y,z)dxdydz=1MWF(r,j,q)rsinjdrdjdq=1M2dqdjF(r,j,q)r000sinjdrM=x=22重心：x=转动惯量：Wxrdv,y=Wyrdv,z=1M2Wzrdv，其中WrdvIx=(yW2+z)rdv，Iy=2(xW2+z)rdv，Iz=(xW+y)rdv曲线积分： 第二类曲线积分：x=j(t)，则：y=y(t)bP(x,y)dxL+Q(x,y)dy=aPj(t),yL(t)j(t)+Qj(t),y(t)y(t)dt两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：系：Pdx+Qd

24、y=的方向角。)dxdy=(PcosaL+Qcosb)ds，其中a和b分别为D(Qx-PyPdxL+Qdy格林公式：D(Qx-Py)dxdy=12=PdxL+QdyQP当P=-y,Q=x，即：-=2时，得到xy平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；无关的条件：D的面积：A=DdxdyxdyL-ydx2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，二元函数的全微分求积在QxPy注意方向相反！：，且QxPy。注意奇点，如(0,0)，应时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)=P(x,y)dx(x0,y0)+Q(x,y)dy，通

25、常设x0=y0=0。第 8 页 共 12 页 高等数学复习公式 第一类曲线积分：x=j(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(atb),则：y=y(t)bLf(x,y)ds=ax=t22fj(t),y(t)j(t)+y(t)dt(ab)特殊情况：y=j(t)曲面积分： 对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：f(x,y,z)ds=Dxyfx,y,z(x,y)1+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy22P(x,y,z)dydzDxy+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：号；号；号。+Qcosb+Rcosg)dsR(x,y,z)dxdy=Rx,y,z(x,y)dxd

26、y，取曲面的上侧时取正=Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正DyzP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdx=Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosa高斯公式： 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系 (yR-Qz)dydz+(Pz-Rx)dzdx+(dzdxyQQx-Py)dxdy=cosaxPPdxG+Qdy+RdzcosgzR上式左端又可写成：dydzxPdxdyzRRy=cosbyQ(xWP+Qy+Rz)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosa+Qcosb+Rcosg

27、)ds高斯公式的物理意义通量与散度：vdivn0,则为消失.空间曲线积分与路径无ixPjyQ关的条件：kzRQPRQP，=，=zzxxyvPQR散度：divn=+,即：单位体积内所产生的流体质量，若xyzvv通量：Ands=Ands=(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds，v旋度：rotA=因此，高斯公式又可写v成：divAdv=WAndsv向量场A沿有向闭曲线G的环流量：Pdx+Qdy+Rdz=GGvvAtds第 9 页 共 12 页 高等数学复习公式 常数项级数： 级数审敛法 等比数列：1+q+q+L+q等差数列：1+2+3+L+n=调和级数：1+12+13+L+1n2n-1=1-qn

28、1、正项级数的审敛法根植审敛法：1-q设：r=limn(n+1)n2nr1时，级数发散r=1时，不确定2、比值审敛法：Un+1Unr1时，级数发散r=1时，不确定散。是发散的设：r=limn3、定义法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，则收敛；否则发n交错级数u1-u2+u3-u4+L(或-u1+u2-u3+L,un0)的审敛法莱布尼兹定理：如果交错级数满足unun+1limu=0，那么级数收敛且其和nnsu1,其余项rn的绝对值rnun+1。绝对收敛与条件收敛： (1)u1+u2+L+un+L，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收敛，则(1)肯定收敛

29、，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：级数：1nn发散，而收敛；时发散p1时收敛收敛级数；(1)为条件收敛级数。n(-1)n收敛；12p级数：1np幂级数： 1+x+x+x+L+x+L23nx1时，收敛于x1时，发散11-x对于级数(3)a0+a1x+a2x+L+anx+L，如果它不是仅在原点xR时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定r0时，R=求收敛半径的方法：设liman+1an=r，其中an，an+1是(3)的系数，则1rnr=0时，R=+r=+时，R=0函数展开成幂级数： 函数展开成泰勒级数：余项：Rn=f(n+1)f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)n+

30、1f(x0)2!(x-x0)+L+2f(n)(x0)n!(x-x0)+Ln(x)(n+1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f(0)2!2充要条件是：limRn=0nx0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f(0)x+x+L+f(n)(0)n!x+Ln第 10 页 共 12 页 高等数学复习公式 一些函数展开成幂级数： (1+x)m=1+mx+x3m(m-1)2!x+L+n-12m(m-1)L(m-n+1)n!x+L(-1x1) nsinx=x-3!+x55!-L+(-1)x2n-1(2n-1)!+L(-x+)欧拉公式： ix-ixe+ecosx=2=cosx+isinx或ix-ixsi

31、nx=e-e2eix三角级数： f(t)=A0+An=1nsin(nwt+jn)=a02+(an=1ncosnx+bnsinnx)在-p,p其中，a0=aA0，an=Ansinjn，bn=Ancosjn，wt=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xLsinnx,cosnxL任意两个不同项的乘积上的积分0。傅立叶级数： f(x)=a02+(an=1ncosnx+bnsinnx)，周期=2p1an=p其中1b=np1+122p-pf(x)cosnxdx(n=0,1,2L)ppp2-pf(x)sinnxdx(n=1,2,3L)13+2+142152+L=162p281+1222+

32、1332+-1442+L=+L=6+L=p2241-2p121212212正弦级数：an=0，bn=p20f(x)sinnxdxn=1,2,3Lf(x)=ba02nsinnx是奇函数p余弦级数：bn=0，an=p0f(x)cosnxdxn=0,1,2Lf(x)=+ancosnx是偶函数周期为2l的周期函数的傅立叶级数： f(x)=a02+(an=1ncosnpxl+bnsinnpxl)，周期=2ll1npxdx(n=0,1,2L)an=f(x)cosll-l其中l1npxbn=f(x)sindx(n=1,2,3L)ll-l微分方程的相关概念一阶微分方程：y=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(

33、x,y)dy=0：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法：可分离变量的微分方程g(y)dy=yxf(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。程可以写成dudx，u+dudxdydx=f(x,y)=j(x,y)，即写成dxx=duyx的函数，解法：yx代替u，齐次方程：一阶微分方设u=，则dydx=u+x=j(u)，j(u)-u分离变量，积分后将即得齐次方程通解。一阶线性微分方程： 第 11 页 共 12 页 高等数学复习公式 1、一阶线性微分方程：dydx+P(x)y=Q(x)y=CeP(x)dx-P(x)dxdx+C)e当Q(x)=0时,为齐次方程，-P(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，2、贝努力方程：dydxy=(Q(x)en+P(x)y=Q(x)y，(n0,1)全微分方程： 如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微u udu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，其中：=P(x,y)，=Q(x,y)xy通解。分方程，即：u(x,y)=C应该是该全微分方程的二阶微分方程： dydx22+P(x)