经济数学基础.docx

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1、经济数学基础经济数学基础12期末复习 一、单项选择题 1下列函数中为偶函数的是 (A) y=xsinx (B) y=x2+x (C) y=2x-2-x (D) y=xcosx 正确答案：A 2下列函数中为奇函数的是 (A) y=xsinx (B) y=lnx-1x+1 (C) y=ex+e-x (D) y=x2-x 正确答案：B 3下列各函数对中，中的两个函数相等 A.f(x)=(x)2,g(x)=x B. f(x)=x2-1x-1,g(x)=x+1 C. f(x)=lnx2,g(x)=2lnx D. f(x)=sin2x+cos2x,g(x)=1 正确答案：D 4下列结论中正确的是 (A)

2、周期函数都是有界函数 (B) 基本初等函数都是单调函数 (C) 奇函数的图形关于坐标原点对称 (D) 偶函数的图形关于坐标原点对称 正确答案：C 5下列极限存在的是 Alimx21xx2-1 Blimx02x-1 1Climsinx Dlimxxx0e 正确答案：A 6已知f(x)=xsinx-1，当时，f(x)为无穷小量 A. x0 B. x1 C. x- D. x+ 正确答案：A 7当x+时，下列变量为无穷小量的是1Aln(1+x) Bx2 Ce-x2sinxx+1 Dx 正确答案： D 1-1+2x8函数f(x)=,x0 在x = 0处连xk,x=0续，则k = ( ) A-2 B-1

3、C1 D2 正确答案：B 9.曲线y=sinx在点(,0)处的切线斜率是 (A) 1 (B) 2 (C) 12 (D) -1 正确答案：D 10曲线y=1x+1在点处的切线斜率为。 A12 B-12 C1 D12(x+1)3-2(x+1)3 正确答案：B 11若f(x)=cos2x，则f(p2)= A0 B1 C 4 D-4 正确答案：C 12下列函数在区间(-,+)上单调减少的是 (A) cosx (B) 2-x (C) 2x (D) x2 正确答案：B 13下列结论正确的是 (A) 若f(x0)=0，则x0必是f(x)的极值点 (B) 使f(x)不存在的点x0，一定是f(x)的极值点 (C

4、) x0是f(x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x0)=0 (D) x0是f(x)的极值点，则x0必是f(x)的驻点 正确答案：C 14设某商品的需求函数为q(p)=10e-p2，则当p=6时，需求弹性为 A-5e-3 B3 C3 D-12 正确答案：B 15若函数f(x)=1-xx，g(x)=1+x,则 fg(-2)=( ) A-2 B-1 C-1.5 D1.5 正确答案：A 16函数y=1ln(x-1)的连续区间是 A B1，2） C D1，+） 正确答案：A 17设f(x)dx=lnxx+c，则f(x)= Alnlnx Blnx C1-lnx Dln2xx2x 正确答案：C 18

5、下列积分值为0的是 Ap1-pxsinxdx Bex+e-x-12dx C1ex-e-x-12dx Dp-p(cosx+x)dx 正确答案：C 19若F(x)是f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是( ) Axaf(x)dx=F(x) Bxaf(x)dx=F(x)-F(a) CbaF(x)dx=f(b)-f(a) Dbaf(x)dx=F(b)-F(a) 正确答案：B 20.设A=(12)，B=(-13)，I是单位矩阵，则ATB-I A-23-25 B-1-236 C-13-26 D-2-235正确答案：A 21.设A,B为同阶方阵，则下列命题正确的是. A.若AB=O，则必有A=O或B=O

6、B.若ABO，则必有AO,BO C.若秩(A)O,秩(B)O，则秩(AB)O D. (AB)-1=A-1B-1正确答案：B 22当条件成立时，n元线性方程组AX=b有解 A. r(A)nB. r(A)=n C. r(A)=n D. b=O 正确答案：D 23.设线性方程组AX=b有惟一解，则相应的齐次方程组AX=O A无解 B只有0解 C有非0解 D解不能确定 正确答案：B 24. 设线性方程组AX=b的增广矩阵为 132140-112-601-1-26，则此线性方程组的一般解中自02-2-412由未知量的个数为 A1 B2 C3 D4 正确答案：B 25. 若线性方程组的增广矩阵为A=1l-

7、1260，则当l时线性方程组无解 (A) 3 (B) -3 (C) 1 (D) -1 正确答案：A 26. 设A=045123，则r(A)= 006(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 正确答案：D 27.设线性方程组AmnX=b有无穷多解的充分必要条件是 Ar(A)=r(A)m Br(A)=r(A)n Cmn Dr(A)n 正确答案：B 28设线性方程组AX=b有唯一解，则相应的齐次方程组AX=O A只有零解 B有非零解 C无解 D解不能确定 正确答案：A 29.设A为32矩阵，B为23矩阵，则下列运算中可以进行 AAB BABT CA+B DBAT 正确答案：A 30. 设A是可

8、逆矩阵，且A+AB=I，则A-1=. AB B1+B CI+B D(I-AB)-1 正确答案：C 31.设需求量q对价格p的函数为q(p)=3-2p ,则需求弹性为Ep=( )。 Ap B. 3-2p3-2p p C. -3-2ppp D. -3-2p 正确答案：D 32.在无穷积分中收敛的是 A. +?0exdx B. +?113xdx C. +?11x2dx D. +?0sinxdx 正确答案：C 33. 设A为34矩阵,B为52矩阵,且乘积矩阵ACTBT有意义,则C为( )矩阵. A.42 B. 24 C. 35 D. 53 正确答案：B 34. 线性方程组x1+2x2=1x的解的情况是

9、 1+2x2=3 A.无解 B.只有0解 C.有唯一解 D.有无穷多解正确答案：A 二、填空题 函数y=4-x21ln(x+1)的定义域是 正确答案：(-1,2 2函数y=4-x2+1x+1的定义域是 . 正确答案：-2,-1)U(-1,2 3若函数f(x-1)=x2-2x+6，则f(x)= 正确答案：x2+5 4设f(x)=10x+10-x2，则函数的图形关于 对称 正确答案：y轴 5已知需求函数为q=203-23p，则收入函数R(q)= . 正确答案：10q-32q2 6limx+sinxxx= 正确答案：1 x2-17已知f(x)=x0，若f(x)在x-1ax=0(-,+)内连续，则a=

10、 正确答案：2 8曲线f(x)=x2+1在(1,2)处的切线斜率是 正确答案：12 9过曲线y=e-2x上的一点的切线方程为 . 正确答案：y=-2x+1 10函数y=(x-2)3的驻点是 正确答案：x=2 11设A=1-23-251，当a= 时，3a0A是对称矩阵 正确答案：1 12已知f(x)=1-tanxx，当 时，f(x)为无穷小量 正确答案：x0 13齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是 正确答案：r(A)=n 14若f(x)dx=F(x)+c，则 e-xf(e-x)dx= . 正确答案：-F(e-x)+c 1503x-edx= 正确答案：13 16设线性方程组AX=b，且

11、 1116A0-132，则t_时，方程组有唯一解 00t+10正确答案：-1 17设齐次线性方程组AmnXn1=Om1，且r(A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 正确答案：n r 18线性方程组AX=b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为 12010A042-11 0000d+1则当d= 时，方程组AX=b有无穷多解. 正确答案：-1 19. 已知齐次线性方程组AX=O中A为35矩阵，则r(A) 正确答案：3 20.函数f(x)=11-ex的间断点是 正确答案：x=0 21.若f(x)dx=2x+2x2+C，则 f(x)= 正确答案：2xln2+4x 三、微积分计算题 1已知=2x

12、sinx2，求y 解：由导数运算法则和复合函数求导法则得 y=(2xsinx2)=(2x)sinx2+2x(sinx2) =2xln2sxi2n+x2xc2oxs2 ()=2xln2sinx2+2x2xcosx2 2设y=cos2x-sinx2，求y 解；y=-sin2x2xln2-2xcosx23设y=ln2x+e-3x，求y 解：由导数运算法则和复合函数求导法则得 y=(ln2x)+(e-3x)=2lnx-3e-3xx 4设y=esinx+tanx，求dy 解：由导数运算法则和复合函数求导法则得 dy=d(esinx+tanx) =d(seixn+)d(txa n) =esixnd(six

13、n+c)1o2sxx d =esixncoxsxd+1co2sxxd =(esinxcosx+1cos2x)dx 25e10x1+lnxdx 2解：e11x1+lnxdx=e2111+lnxd(1+lnx) 2 =21+lnxe1=2(3-1) sin16计算xx2dx sin1解 x2dx=-sin1d(1)=cos1xxxx+c 7计算2xdxxx解 2dxx=22xd(x=)2xln22+c 8计算xsinxdx 解 xsinxdx=-xcosx+coxsx=d-xco+xss+x 9计算(x+1)lnxdx 11(x+1)2解 (x+1)lnxdx=22(x+1)lnx-2xdx in

14、c =122x2(x+2x)lnx-4-x+c 1x 10计算 2e1x2dx 1ex2 解 211x2dx=-21exd(111x)=-ex=e-e2 111e211x1+lnxdx 2解 e11x1+lnxdx=e2111+lnxd(1+lnx) =21+lnxe21=2(3-1) 1220xcos2xdx pp解：20xcos2xdx=12xsin2x2-1p0220sin2xdxp=1214cos2x=- 02 13e-10ln(x+1)dx e-1e-1x0ln(x+1)dx=xln(x+1)0-e-10x+1dx =e-1-e-10(1-1x+1)dx =e-1-x-ln(x+1)

15、e-10lne=1 四、代数计算题 1-1011设矩阵A=-121,B=2，求A-1B 2235解：因为 1-1010 0-1210101-101000111110 22300043-2011-1010001111000-1-6-411-10100010-5-3100164-1100-4-31010-5-31 00164-1-4-31即 A-1=-5-31 64-1所以 A-1B=-4-31-5-3112-5=-6 -164590-1-32设矩阵A=-2-2-7，I是3阶单位矩阵，求3-4-8-(I-A)-1 解：由矩阵减法运算得 100I-A=0100-1-3113-2-2-7=237 00

16、1-3-4-8349利用初等行变换得 113100113100237010011349001-210 010-301113100110-2-3011-2103010-3010-1-1-11000111-11001-32010-301 00111-11-3即 (I-A-)1=-302 111-1 3. 设矩阵 A =10-21-20，B =6312，计算(AB)-1 4110解 因为AB =-2631-2012=-21 414-1 (AB I ) =-2110-21104-10101211-20-1-1101211022 012111所以 (AB)-1= 22 214.解矩阵方程-2-3-134

17、X=2。 解：由-2-334X=-1，得2X=-1-2-3-1342 -2-3101111340134011111043 01-31101-3-3所以， -1X=-2-3-143-12342=-3-22=-1x1+2x3-x4=05求线性方程组-x1+x2-3x3+2x4=0的一般解 2x1-x2+5x3-3x4=0 解：因为系数矩阵 102-1102-1A=-11-3201-11-15-30-11-12102-101-11 0000所以一般解为x1=-2x3+x4x2=x 3-x46当l取何值时，线性方程组 x1+x2+x3=12x1+x2-4x3=l 有解？并求一般解 -x1+5x3=1解

18、 因为增广矩阵 1111A=21-4l11110-1-6l-21051-016210-5-10162 000l所以，当l=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： x1=5x3-1x 2=-6x3+2(x3是自由未知量 五、应用题 1 投产某产品的固定成本为36，且边际成本为C(x)=2x+40。试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量多少时，可使平均成本达到最低？ 解: 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 DC(x)=64(2x+40)dx=(x2+40x)64=100 又xC(x)=0C(x)dx+c0=x2+40x+36xx=x+40+36x令C(x)=1-36x2=0，

19、解得x=6。 2已知某产品的边际成本C(q)=4q-3，q为产量，固定成本为18，求最低平均成本 解：总得成本函数为 C=C(q)dq=(4q-3)dq=2q2-3q+18 平均成本函数为 C=C(q)18=2q-3+ qq5.设生产某产品的总成本函数为 C(x)=3+x (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为R(x)=15-2x，求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为C(x)=1，边际利润 C=2-1818，令 C=2-=0，解得x=322qq因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，

20、当产量为300台时，可使平均成本达到最低。 18=9 最低平均成本为 C(3)=23-3+33生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元/百台)，L(x)=R(x)-C(x)=14-2x 令L(x)=0，得x=7 边际收入为R(x)=100-2x，其中x为产量，问(1) 产量为多少时，利润最大？(2) 从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 解 边际利润函数为 L(x)=R(x)-C(x)=(100-2x)-8x=100-10x 令L(x)=0 得 x=10 又x=10是L(x)的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L(x)存在最大值，故x=10是L(x)的最大值点，即当产量为10时，利

21、润最大 利润函数 L=12L(x)dx=121010(100-10x)dx=(100x-5x2)1210=-20 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元 4已知某产品的边际成本C=2，固定成本为0，边际收益R(x)=12-0.02x。问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 解：因为边际利润 L(x)=R(x)-C(x)=12-0.02x-2=10-0.02x 令L(x)=0，得x=500。x=500是唯一驻点，而该问题确实存在最大值。所以，当产量为500件时，利润最大。 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 DL=550500

22、(10-0.02x)dx=(10x-0.01x2)550500 =500-525=-25即利润将减少25元。 由该题实际意义可知，x=7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 DL=8(14-2x)d287x=(14x-x)7=112-64-98+49=-1 即当产量由7百吨增加至8百吨时，利润将减少1万元。 6设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)=100+x2+6x,求：当x=10时的总成本和平均成本； 当产量x为多少时，平均成本最小？ 解：因为总成本、平均成本和边际成本分别为： C(x)=

23、100+x2+6x C(x)=100x+x+6， 所以，C(10)=100+1102+610=260 C(10)=10010+110+6=26， C(x)=-100x2+1 令 C(x)=0，得x=10，可以验证x=10是C(x)的最小值点，所以当x=10时，平均成本最小。 7.某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C(q)=0.5q2+36q+9800.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 解：因为 C(q)=C(q)q=0.5q+36+9800q C(q)=(0.5q+36+9800)=0.5-9800qq2 9800 令C(q)=0，即0.5-=0，得q1=1

24、40，q2= -140q2。 且该问题q1=140是C(q)在其定义域内的唯一驻点，确实存在最小值。 所以q1=140是平均成本函数C(q)的最小值点，即为所以，C(10)=100+1102+610=260； C(10)=100+110+6=26， 10100C(x)=-2+1 x令 C(x)=0，得x=10，可以验证x=10是C(x)的最小值点，所以当x=10时，平均成使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 C(140)=0.5140+36+9800140=176 8已知某产品的销售价格p是销量q的函数p=400-q2，而总成本为C(q)=100q+1500，假设生产的产品

25、全部售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：由已知条件可得收入函数 R(q)=pq=400q-q22 利润函数 q)-C(q)=400q-q2L(q)=R(2-(100q+1500) =300q-q22-1500 求导得 L(q)=30-0q 令L(q)=0得q=300，它是唯一的极大值点，因此是最大值点 此时最大利润为 L(300)=300300-30022-1500=43500 即产量为300件时利润最大最大利润是43500元 9. 设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)=100+x2+6x,求：当x=10时的总成本和平均成本；当产量x为多少时，平均成本最小？ 解：因

26、为总成本、平均成本和边际成本分别为： C(x)=100+x2+6x； C(x)=100x+x+6， 本最小 10.设生产某产品的总成本函数为 C(x)=5+x(万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为R(x)=11-2x，求：利润最大时的产量；在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨， 利润会发生什么变化？ 解：因为边际成本为 C(x)=1，边际利润 L(x)=R(x)-C(x)=10-2x 令L(x)=0，得x=5可以验证x=5为利润函数L(x)的最大值点. 因此，当产量为5百吨时利润最大. 当产量由5百吨增加至6百吨时，利润改变量为 DL=6(10-2x)dx=(10x-x2

27、)655 =-1 即利润将减少1万元. 11.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为 C(q)=20+4q+0.01q2(元)，单位销售价格为p=14-0.01q(元/件)，问产量为多少时可使利润最大？最大利润是多少？ 解：设产量为q，则收入函数为 R(q)=pq=(14-0.01q)q=-0.01q2+14q L(q)=R(q)-C(q) =-0.01q2+14q-0.01q2-4q-20=-0.02q2+10q-20因为边际利润L(q)=0时，利润最大。 则L(q)=-0.04q+10=0，得q=250 产量为250时可使利润最大 Lmax=-0.022502+10250-20=1230 最大利润为1230元