线性代数公式大全最全最完美.docx

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1、线性代数公式大全 最全最完美线性代数公式大全最新修订 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： 、Aij和aij的大小无关； 、某行的元素乘以其它行元素的代数余子式为0； 、某行的元素乘以该行元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mi+jij=(-1)AijAi+jij=(-1)Mij4. 设n行列式D： n(n-1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D21，则D1=(-1)D； n(n-1)将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为D2，则D2=(-1)2D； 将D主对角线翻转后，所得行列式为D3，则D3=

2、D； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4=D； 5. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； n(n-1)、副对角行列式：副对角元素的乘积 (-1)2； 、上、下三角行列式：主对角元素的乘积； n(n-1)、 和 ：副对角元素的乘积 (-1)2； 、拉普拉斯展开式：AOACCB=OB=AB、CABO=OABC=(-1)mgnAB、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 、特征值； n6. 对于n阶行列式A，恒有：lE-A=ln+(-1)kSn-kkl，其中Sk为k阶主子式；k=17. 证明A=0的方法： 、A=-A； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零

3、解； 、利用秩，证明r(A)n； 、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵： A0； r(A)=n A的行向量组线性无关； 齐次方程组Ax=0有非零解； bRn，Ax=b总有唯一解； A与E等价； A可表示成若干个初等矩阵的乘积； 1 A的特征值全不为0； 的行向量组是Rn的一组基； 是Rn中某两组基的过渡矩阵； *-1TATA是正定矩阵； AA2. 对于n阶矩阵A：AA*=A*A=AE 无条件恒成立； 3. (A)=(A)TT-1*(A)-1T*=(A)*T-1(A)*T=(A)-1T*-1(AB)=BA(AB)=BA(AB)=B-1A4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；

4、行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆： 若A1A=A2OAs，则： 、A=A1A2LAs； A1-1=OBAOCBOB-1、A-1A2-1O-1As； A、OO、BA、OA、CA-1=OO=-1AA-1=OO； -1BB； O-1-1-1-1-1-ACBB-1； -1-1A=-1-1-BCAO-1B； 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F=ErOO； Omn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)=r(B) A

5、gB； 2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用： r、 若(A , E) g (E , X)，则A可逆，且X=A-1； c、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-1B，即：(A,B) (E,A-1B)； r、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A,b)g(E,x)，则A可逆，且x=Ab-1； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 2 l1、L=l2O，左乘矩阵Aln，li乘

6、A的各行元素；右乘，li乘A的各列元素； 、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)-1=E(i,j)，例如：111-1=1-111； 、倍乘某行或某列，符号E(i(k)，且E(i(k)-111=E(i)，例如：kk11=1k(k0)1； 、倍加某行或某列，符号E(ij(k),且E(ij(k)-15. 矩阵秩的基本性质： 、0r(Amn)min(m,n)； 、r(AT)=r(A)； 1=E(ij(-k)，如：1k1-11=1-k(k0)1； 、若AgB，则r(A)=r(B)； 、若P、Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)； 、max(r(A),r(B)r(A,B)r

7、(A)+r(B)； 、r(A+B)r(A)+r(B)； 、r(AB)min(r(A),r(B)； 、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB 、B的列向量全部是齐次方程组AX、r(A)+r(B)n =0=0，则： 解； 、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)+r(B)-n； 6. 三种特殊矩阵的方幂： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵行矩阵的形式，再采用结合律； 1、型如00a10cb1的矩阵：利用二项展开式； n二项展开式：(a+b)n=Ca+Ca0nn1nn-1b+L+Ca1mnn-mbm+L+Cn-1nab1n-1+Cb=nnnCm=0mnabmn-m； 注：、(a+b)n展开后

8、有n+1项； =n(n-1)LL(n-m+1)1g2g3gLgmmn、Cnm=n!m!(n-m)!Cmn+1Cn=Cn=1 n0n、组合的性质：C=Cn-mn=Cmn+Cm-1nCr=0rn=2nrCn=nCn-1rr-1； 、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： n、伴随矩阵的秩：r(A*)=10r(A)=n r(A)=n-1r(A)n-1； 3 、伴随矩阵的特征值：、A*=AA-1、A*=AAl (AX=lX,A=AA AX=*-1*AlX)； n-18. 关于A矩阵秩的描述： 、r(A)=n，A中有n阶子式不为0，n+1阶子式全部为0； 、r(A)n，A中有n阶子式全部为0； 、r

9、(A)n，A中有n阶子式不为0； 9. 线性方程组：Ax=b，其中A为mn矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程； 10. 线性方程组Ax=b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程： a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1 ax+ax+L+a2nxn=b2 、211222LLLLLLLLLLLax+ax+L+ax=bm22nmnnm11a11a、21Mam1a12a22Mam2LLOLa1n

10、a2nMamn； x1b1x2b2=Ax=bMMxmbm、(a1a2Lan)x1x2=bMxnb1b； 、a1x1+a2x2+L+anxn=b 、有解的充要条件：r(A)=r(A,b)n 4、向量组的线性相关性 1. m个n维列向量所组成的向量组A：a1,a2,L,am构成nm矩阵A=(a1,a2,L,am)； b1TTb2TTTm个n维行向量所组成的向量组B：b1,b2,L,bm构成mn矩阵B=MTbm； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. 、向量组的线性相关、无关 Ax=0有、无非零解； Ax=b是否有解； 、向量的线性表出 AX=B是否有解； 、向量组的相互线性表示 3.

11、矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；(P101例14) 4. 5. r(AA)=r(A)T；(P101例15) n维向量线性相关的几何意义： a=0； 、a线性相关 、a,b线性相关 a,b坐标成比例或共线； 4 、a,b,g线性相关 a,b,g共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若a1,a2,L,as线性相关，则a1,a2,L,as,as+1必线性相关； 若a1,a2,L,as线性无关，则a1,a2,L,as-1必线性无关； 若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量，构成n维向量组B： 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A

12、也线性相关； 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组A能由向量组B线性表示，且A线性无关，则r向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)； 向量组A能由向量组B线性表示 AX=B有解； r(A)=r(A,B) s(二版P74定理7)； 向量组A能由向量组B等价 r(A)=r(B)=r(A,B) 8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,L,Pl，使A=P1P2LPl； 、矩阵行等价：rABPA=BcAx=0与Bx=0同解 、矩阵列等价：ABAQ=B； 、矩阵等价：ABPAQ=B； 9. 对于矩阵Amn与Bln： 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等

13、价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若AmsBsn=Cmn，则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵； 11. 齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx=0 只有零解 Bx=0只有零解； 、Bx=0 有非零解 ABx=0一定存在非零解； 12. 设向量组Bnr:b1,b2,L,br可由向量组Ans:a1,a2,L,as线性表示为： 其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)=r； (b1,b2,L,br)=(a1,a2,L,as)K 注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用； 13. 、对矩阵Amn，存在Qnm，AQ=Em r(A)=m、Q的列向量线性无关； 、对矩阵Amn，存在Pnm，PA=En 14. a1,a2,L,as线性相关 (a1,a2,L,as)r(A)=n、P的行向量线性无关； 存在一组不全为0的数k1,k2,L,ks，使得k1a1+k2a2+L+ksas=0成立； x1x2=0有非零解，即Ax=0Mxs有非零解； r(a1,a2,L,as)0,A0；(必要条件) 6