第五章特征值和特征向量08.docx

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1、第五章特征值和特征向量08第五章 特征值和特征向量 大纲要求 考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵 考试要求 1 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。 2 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。 3 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。 一问题的提出 在解决工程技术问题中经常需要计算方阵的幂A.当m很大时，直接计算A的计算量很大，为了简化计算，可找一个可逆矩阵P使 mmP=P

2、1,P2,LPn则AP=Pl即 AP1,P2,LPn l1l2 =P1,P2,LPnOln于是 AP1,AP2,LAPn=l1P1,l2P2,LlnPn 则APi=liPi,i=1,2,L,n 我们称li为方阵A的特征值，Pi称为A的属于li的特征向量.如果能找到可逆矩阵P使P-1AP=，则称方阵A可对角化.所以A的可对角化问题就转化为是否可以找到n个线性无关的特征向量的问题. 二特征值和特征向量定义，求法和性质 1.定义 若非零向量X满足AX=lX，则称X是属于特征值l的特征向量. 2.求法 $X0满足AX=lX l1l2 P-1AP=Oln则A=PP -1齐次组(lE-A)X=0有非零解

3、lE-A=0 (1) 解lE-A=0,求A的特征值 l1,l2,L,ln (2) 解齐次组(liE-A)X=0，求其全部非零解. 3.特征多项式 Am=(PP-1)(PP-1)L(PP-1) =P(P-1P)L(P-1P)P-1=PmP-1 l1mm而=l2m Olnm76 为了找到上述的矩阵P，令 l-a11-a12L-a1n-a21l-a22L-a2nlE-A=LLLL-aLl-ann-an1kn2n-knnn=l-aiiln-1+L+(-1)Skl+L+(-1)A i=1=(l-l1)(l-l2)L(l-ln) 证 用反证法，若aX1+bX2是A 的特征向量，它所对应的特征值m，则 A(

4、aX1+bX2)=m(由题设， nn-1n=l-lil+L+(-1)l1l2Lln i=1na1X+b)2 XSk是A的全部k阶主子式之和. (1) A的迹tr(A)=(2) A=l1l2Lln (3) 当r(A)=1时S2=S3=L=Sn=0， ai=1nii=li i=1nA(aX1+bX2)=aAX1+bAX2=al1X1+bl2X2以上两式相减得 a(m-l1)X1+b(m-l2)X2=0，由于X1与X2线性无关，故有 nn-1于是 lE-A=l-aiil， i=1A的特征值为 nm=l1=l2，这与假设l1l2矛盾！ 三相似矩阵及其性质 定义 若存在可逆矩阵P使B=PAP 则称方阵A

5、与B相似，记作AB 定理 相似关系具有反身性，对称性，传递性. 性质 如果AB，则有 (1)AB (2)A-1B-1 (3)AB (4)f(A)f(B) (5)lE-A=lE-B，从而A、B有相同的特征值.对角化） (6)A=B 从而A、B同时可逆或同时不可逆. (7)tr(A)=tr(B) 四、矩阵可相似对角化的充要条件 定理1 n阶方阵ALA有n个线性无关的特征向量. 定理2 方阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关. 77 mm-1 l1=4.性质 ai=1nii，l2=l3=L=ln=0 (1) 若X是A的属于l的特征向量，则X 也是kA，A,aA+bE，f(A)，A,A m-1*TT

6、A1属于kl，l，al+b，f(l)， ll的特征向量，其中f(l)是l的多项式. m(2) 若X1和X2都是A的属于l的特征向量，则当aX1+bX20时，aX1+bX2也是A的属于l的特征向量. (3) 若A=0，则l=0为A的一个特征值，且Ax=0的基础解系即为属于l=0的线性无关的特征向量. (4) 若A=0，则A的全部特征值为零. (5) A和A具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量. (6) 设X1,X2分别属于l1,l2的特征向量.若Tl1l2则aX1+bX2(ab0)不是A的特征向量. 推论 若n阶方阵A有n个互不相等的特征值，则AL. 定理3 设n阶方阵A有m个互不相等的特

7、征值l1,l2,L,lm，A的属于li的线性无关特征向量为 Xi1,Xi2,L,Xisi, i=1,2,L,m则 故结论成立. 定理4 若li是方阵A的m重特征值，则A的属于li的线性无关的特征向量的个数rm.或者说li的几何重数rli的代数重数m. 定理5 AA的每个特征值li的线性无关的特征向量的个数等于特征值li的重数. 或AA的每个特征li的几 X11,X12,L,X1S1,X21,X22,L,X2S2,L,Xm1,Xm2,L,XmSm线性无关. 证 设 kj=1s11jX1j+k2jX2j+L+kmjXmj=0 j=1j=1s2sm 何重数=li的代数重数. 注意 任意的方阵A不一定

8、都可相似对角化， 令xi=kj=1siijXij，i=1,2,L,m,则 x1+x2+L+xm=0 若某个xi0，则由上式至少有一个 xj0(ij). 不妨设上式非零向量为 x1,x2,L,xk(2ks)， 则它们分别是l1,l2,L,lk对应的特征向量，于是有 x1+x2+L+xk=0. 这说明x1,x2,L,xk线性相关，与 210例 判断矩阵A=230是否可相 -104似对角化. l-2解 由lE-A=-2-100l-301l-4 =(l-1)(l-4) 对特征值l，解齐次组(lE-A)X=0求特征向量. 对l1=1，系数矩阵 2l1,l2,L,lk各不相等矛盾！故所有的 2,m), x

9、j=0,(i=1,L即lE-A=E-A kj=1siijXij=0，由Xi1,Xi2,LXisi线性 无关，知 -1-10110013 =-2-200-31000故r(E-A)=2，l1=1对应的线性无关的78 2,m,j,= kij=0,i=1,LL1,2, is特征向量个数为n-r=3-2=1. 对l2=l3=4，系数矩阵 Q使Q-1AQ=QTAQ=L. 2.对实对称阵A，求正交矩阵Q使 lE-A=2E-A 0-10100010 =-210001000故r(2E-A)=2，l2=l3=4对应的线性无关的特征向量的个数n-r=3-2=1. l2=l3=4是2重特征根，却只有一个线性无关的特征

10、向量，故A不可能相似对角化，或者说A是3阶方阵，却只有2个线性无关的特征向量，故A不可能相似对角化. 五矩阵相似对角化的步骤 设方阵A可相似对角化，即$可逆矩阵P使QTAQ=L的步骤 (1)解lE-A=0得特征值l1,l2,L,ln； (2) 解齐次组(lE-A)X=0得相应的线性无关的特征向量X1,X2,L,Xn； (3) 对特征值重根对应的特征向量进行正交规范化.对特征值单根对应的特征向量进行规范化，得h1,h2,L,hn； (4) 得正交阵Q=(h1,h2,L,hn)和对角阵 l1l2 L=Oln典型题 P-1AP=L. (1) 解lE-A=0得特征值l1,l2,L,ln. (2) 解齐

11、次组(lE-A)X=0得相应的线性无关的特征向量X1,X2,L,Xn (3) 得P=(X1,X2,L,Xn)和对角阵 一判定矩阵是否可以对角化 5.1 设A是n阶实对阶矩阵，P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量a是A的属于特 -1征值l的特征向量，则矩阵PAP()T属 l1l2 L= Oln六实对称矩阵A的相似对角化 1.性质 设A为实对称矩阵A=A，则 (1)A的特征值为实数. (2)A的不同特征值对应的特征向量必正交. (3)A的每个特征值的重数和这个特征值对应的线性无关的特征向量的个数相同. (4)A必能相似对角化，且存在正交矩阵 79 于特征值l的特征向量是 .(023) (A) Pa (

12、B) Pa -1 (C) Pa (D) P-1T()TTa 解 由Aa=la知 (T)(P-1AP)T(PTa)=PTAT(P-1)PTa T =PAa=lPa 可见应选(B). 5.2 设A为三阶方阵，a1,a2,a3为三维线性无关列向量组，且有Aa1=a2+a3，(T)Aa2=a3+a1，Aa3=a1+a2 . (1)求A的全部特征值 (2)问A是否可对角化？ 解 (1)由已知得， 1=(l-2)1-103l-4-a0-11=(l-2)1l-5032(a1+a2+a A(a1+a2+a)，3=3 A(a2-a1)=-(a2-a)1， A(a3-a1)=-(a3-a)1， 又a2-a1，a3

13、-a1线性无关，所以-1是矩阵A的二重特征值，即A的全部特征值为l-3-1-a-1l-5=(l-2)(l2-8l+18+3a) 若l=2特征方程的二重根，则有-1,2 . (1) 又a2-a1，a3-a1a1+a2+a3线性无关，事实上 初等列变换 a1,a2,a322-16+18+3a=0，解得a=-2 当a=-2时，A的特征值为2，2，6， a1,a2-a1,a3-a13a1,a2-a1,a3-a1 a1+a2+a3,a2-a1,a3-a1 由a1,a2,a3线性无关，知a2-a1，1-23矩阵2E-A=1-23的秩为1， -12-3故l=2对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角

14、化. 若l=2不是特征方程的二重根.则a3-a1a1+a2+a3线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，故矩阵A可对角化. 关键： 1.找Aa=l2-8l+18+3a为完全平方.从而18+a3=当a=-，解得a=-12时，A的特征值为2，4，4， 32. 3la 3-234E-A=103矩阵的秩为2， 2-1-132.找n个线性无关的特征向量就可以对角化 12-35.3 设矩阵A=-14-3的特征方 1a5程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否相似对角化.(041) 解 A的特征多项式为 l-1-23l-22-l01l-43=1l-43 -1-al-5-1-al-580 故l=4对应的线性

15、无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化. 1-11， 4y5.4 设矩阵A=x-3-35已知A有三个线性无关的特征向量，l=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使(2E-A)x=0，有 11-111-1 lE-A=-2-22000 00033-3对应的特征向量为 a1=(1,-1,)0，a2=(1,0,1) 对于特征值为l3=6，解线性方程组 (6E-A)x=0，有 TTP-1AP为对角矩阵.(004) 解 因为A有三个线性无关的特征向量，l=2是A的特征值，所以A的对应于l=2的线性无关的特征向量有两个，故秩(2E-A)=1. 经过行的初等变换 51-11-222l3E-A=03310

16、010T-12 3012E-A=-x3-1-2-y 3-31对应的特征向量为a3=(1,-2,3) 令 1-11 0x-2-x-y 000于是解得 x=2，y=-2 111200，则P-1AP=020 P=-10-20130062205.5 若矩阵A=82a相似于对角 006矩阵L，试确定常数a的值；并求可逆矩阵1-11 4-2 矩阵A=2-3-35其特征多项式 P使P-1AP=L.(032) 解 矩阵A的特征多项式为 l-2 lE-A=-8-20-a l-61-1l-1 lE-A=-2l-423l-53 =(l-2)(l-6) 由此得特征值l1=l2=2，l3=6 对于特征值为l1=l2=2

17、，解线性方程组81 2l-2002 =(l-6)(l-2)-16=(l-6)2(l+2)，故A的特征值l1=l2=6，l3=-2. 由于A相似于对角矩阵L，故对应于 (2) 求可逆矩阵P，使P-1BP为对角阵，并写出该对角阵. 解 (1) B=144AAgAALgAA424443 k个kTTTl1=l2=6应有两个线性无关的特征向量，因此矩阵6E-A的秩应为1.从而有 -104-201200a6E-A=-84-a 000000知a=0.于是对应于l1=l2=6的两个 线性无关的特征向量可取为 =AAAA)L(AA)A(1444)(A4244443TTTT(k-1)个01 x1=0，x2=2.

18、10 当l3=-2时 n2TTT令t=(AA)(AA)L(AA)=ai14444244443i=1(k-1)个k-1于是B=AtA=tAA=tB kTT1-4-201200001 lE-A=-8400-8000a12a1a22a2a1a2 (2) 因B=LLaaaan1n2La1anLa2an LL2Lanaa2Lna1a10L0 LLL0L0n1得对应于l3=-2的特征向量x3=-2. 0011-1令P=02-2，则P可逆，并有PAP=L. 100T5.6 设B=AA，其中A=(a1,a2,L,an) Ta1a1La1a2Lan1a2Lan0LLLLa2Lan0故R(B)=1，则B的特征多项

19、式为 f(l)=l-llnn-1，其中l=ai=12i， 于是 B的特征根为l1=l,l2=0. ）因l=AA，且 TlA=Al=A(ATA)=(AAT)A=BA 故B的属于l1=l的特征向量为 且ai(i=1,2,L,n)为非零实数，A为A的T转置矩阵. (1) 证明B=tB，并求数t 82 kA=(a1,a2,L,an) ）对应于l2=0方程组(l2E-B)X=0 T即为BX=0， 由-AX=0得A的属于0的特征向量 a12aaB=21Lana1a1a2La1ana1a22La2ana1LLLL2ana2Lana1a2Lana2Lan LLLa2Lana1=(1,2,0)T，a2=(1,0

20、,-2)T 由(6E-A)X=0得A的属于6的特征向量 a3=(2,-1,1)T (2)将a1，a2正交化，令b1=a1， ana21La1a100L0对应于l2=0的 LLLL00L0b2=a2-(a2,b1)1Tb1=(4,-2,-10) 5(b1,b1)单位化e1=1(1,2,0)T， 51(2,-1,-5)T，e3=1(2,-1,1)T， e2=306得正交阵 n-1个线性无关的特征向量为 (-ana1,0,L0,1)， T(0,-ana2,L,0,1) TL，(0,L,0,-anan-1,1).从而得可逆阵 0a1-ana1a0-ana22P=MMM00an-111an5.7 设a=

21、(2,-1,1)求 (1)aa的特征值与特征向量 (2)一正交矩阵Q，使得QaaQ为对角矩阵. TTT61Q=(e1,e2,e3)=2630025-1-5， -552LL0MM L-anan-1L1000 TTT使QaaQ=QAQ=65.8设a是整数，若矩阵 1-22的伴随矩阵A*的特征A=-2a424-2值是4，-14,-14. 试求正交矩阵Q，使TQTAQ为对角形。 分析 因为Q是正交矩阵，有Q=Q，故QAQ=L，即QAQ=L。为此应当求矩阵A的特征向量。 解 由于A的特征值是4，-14,-14，故83 *T-124-22T解令A=aa=-1(2-11)=-21-1 2-111(1)由lE

22、-A=l(l-6)得A的特征值为2T-10,0,6。 行列式A=4(-14)(-14).又因 *A*=An-1，于是由 2-22(X,b)+41=14b2=X2-21b1=055(b1,b1)105再将b1,b2单位化得 1A=-22-2a224=-6a-40, -22得 4(=4(-6a-40),解出 -14-)(1a=-2与-34 3-2b1g1=1=1b150,那么，由A的特征多项式 当a=-2时 g2=-2-4=b2b2l-1221=4 355lE-A=l-1202-2l+2-4对于l=-7由(-7E-A)x=0即 l+22-2l+2-4=(l-2)2(l+7) l-2l-2-82-2

23、2-5-42-5-4011 -2-4-5000,2)的特征向量X3=(1,2-，单位化得T得到矩阵的特征值是l1=l2=2,l3=-7 对于l=2由(2E-A)x=0，即1-200 00g3=(1,2,-2)T 那么，令 132-2124-4-2-4400得到线性无关的特征向量X1=(-2,1,0)T,X2=(2,0,1)T.用Schmidt正交化方法，先正交化，有2-51Q=(g1,g2,g3)T=50235435535132即32-3-2b1=X1=10,2 T-12有QAQ=QAQ=-784 二求矩阵的特征值、特征向量 5.9 设方阵A满足条件ATA=E，其中AT是A的转置矩阵，E为单位

24、矩阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于同特征值的矩阵是 (A)A-1 (B) A2 (C)AT (D) A* 解 因 lE-A=(lE-A)=lE-A， TT故(C)入选. 5.12 设n阶矩阵A与B的特征多项式相同，则 (A)A、B同时可逆或不可逆. (B)A和B有相同特征值与特征向量. (C)A、B与同一对角阵相似. (D)矩阵lE-A与lE-B相等. 解 由lE-A=lE-B知，l=0，有1.(904) 证 设X是A的实特征向量，其所对应的特征值为l，则 AX=lX， XA=lX 由此得XAAX=lXX，即 XX=lXX， 于是 l-1XX=0 因为X为实特征向量，故XX0

25、，所以TT2TTT2TTTT(2)Tl2-1=0，即l=1 . -3-a5.10 已知A=13-1=0，则矩阵 12-A=-B，即A=B. 故选(A). 2120B=例 A=， 显然 02022lE-A=lE-B=(l-2) 但r(2E-A)=1，A只有1个线性无关的特征向量，r(2E-B)=0，B有2个线性无关的特征向量，故(B)不成立.A不能相似对角化，故(C)不成立. 显然lE-AlE-B，故(D)也不成立. 5.13设l为n阶矩阵A的一个特征值, 求kA,A(m为正整数), aA+bE的特征值; 当A可逆时,求A,A,aA-1*-1-1-b5a-3B=-101有一个特征值l= . 1b

26、1解 矩阵A和B除主对角元素之外，其余元素均差一负号，故A和B有关系 m-3-a3l005a-312-1=0l0-101 -1-b100l1b1+bA*的其中l=2，且A=0，从而 特征值. 解1 用定义 设x0为A的属于特征值l的特征向量,即 A=2E-B=0，故B有特征值l=2. 5.11 已知A是n阶可逆矩阵，则与A必有相85 Ax=lx,x0,于是 kAx=k(Ax)=k(lx)=(kl)x, 由定义知, kl为kA的一个特征值.类似地 aA+bA=-1*(+ab)A-1A一特征值有Ax=Amm-1(Ax)=lAm-1x=L=lx, m为a+bAl. 5.14设l=2是非奇异矩阵A的一

27、个特征值,(aA+bE)x=aAx+bx=alx+bx=(al+b)x知l,al+b分别是矩阵Am和aA+bE的一个特征值. 解2用特征方程计算. 因为l是A的特征值,故有, m12则矩阵A有一个特征值等于( ) 3-1lE-A=0.于是,由 43 (B) 3411(C) (D) 24(A) 解 由Aa=la,a0,有 121Aa=l2a -1lmE-Am=(lE-A)(lm-1E+lm-2A+L+Am-1)=lE-Alm-1E+lm-2A3+L+Am3=0,12 即若l是矩阵A的特征值,则A的特 3411n+ba-E)A=la征值为-E0=Al2, 因此, A2有特征值.从(al+b)E-(

28、aA)E=(l333A2a=lAa=l2a,故 知, (lk)E-kA=k(lE-A)=knlE-A=0lk,lm,al+b分别是矩阵kA,Am, aA+bE的特征值. 当A可逆时, l0,由Ax=lx,两边左乘以312而, A 有特征值.故应选(B). 43-1-1A-1112-12 或者, Aa=3(A)a,由得 3x=lA-1x,A-1x=-1l1x=l-x, l=2是A的特征值,知是A-1的特征1-12A值,于是是()的特征值.亦知应选4-112 故l是A的特征值. 又因为AA=AE,A=AA, 利用的结果知A有一特征值. *-1(B). 5.15(199801) 设A为n阶矩阵, A

29、0, A*为A的伴随矩阵, E为n阶单位矩阵,A1Ag=, ll若A有特征值l,则A值( ) ()*2+E必有特征 86 l-9解：A=AA，A的特征值为*-1*004Al，lE-(B+2E)=222l-72l-5所以，A+E的特征值为*A2l2+1 =(l-9)(l-3)， 故B+2E的特征值为9,9,3. 当l1=l2=9时，对应的线性无关特 3220105.16 设矩阵A=232，P=101， 223001-1-2征向量可取为h1=1,h2=0， 01所以对应于特征值9的全部特征向量为 B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.(031)

30、方法一：求B得结果 方法二：由B与A*的关系 由A的特征值得 由A*的特征值再求 由B的特征值得 解1 经计算可得 -1 k1h1+kh2=2k11+k0-220， 1其中k1,k2是不全为零的任意常数. 当l3=3时，对应的一个特征向量为 0 h3=1， 101-15-2-2A*=-25-2，P-1=100， 001-2-25007B=P-1A*P=-25-4 -2-23009从而B+2E=-27-4 -2-2587 所以对应于特征值3的全部特征向 0量为k3h3=k31，其中k3是不为零的 1任意常数. 解2 设A的特征值为l，对应的特征向量为h，即Ah=lh.由于A=70，所以l0. *

31、又因AA=AE，故有Ah=*Alh 于是有 B(P-1h)=P-1A*P(P-1h)=(Ph) l-1A1-10P-1h1=-1,P-1h2=-1,P-1h3=1 011 因此，B+2E的三个特征值分别为(B+2E)P-1h=AA+2P-1h. l9,9,3.对应于特征值9的全部特征向量为 1-1k1P-1h1+k2P-1h2=k1-1+k2-1， 00其中k1,k2是不全为零的任意常数； 对应于特征值3的全部特征向量为 l+2为B+2E的特征值，对应的特征 -1向量为Ph.由于 l-3lE-A=-2-2 =(l-1)当l1=l量可取为 2-2-2-2 l-3l-3-2(l-7)， 故A的特征

32、值为l1=l2=1,l3=7. 20k3P-1h3=k31，其中k3是不为零的任 1意常数. 5.17 设 =1时，对应的线性无关特征向-1-1 h1=1,h2=0. 01当l3=7时，对应的一个特征向量为 a=(a1,a2,L,an),b=(b1,b2,L,bn)都是非零向量，且满足条件ab=0，记n阶矩阵TTTA=abT，求 (1) A2； (2) 矩阵A的特征值和特征向量.(983) 解 (1) 由A=ab和ab=0，有 TT1 h3=1. 1A2=AA=(abT)(abT)=a(bTa)bT TT=(bTa)ab=(ab0 )baT=即A2是n阶零矩阵. (2) 设l为A的任一特征值，

33、A的属于特征值l的特征向量为X(X0)，则 AX=lX于是A2X=lAX=l2X 01-1-1由P=100，得 001因为A=0，所以lX=0.因为X0 ，故l=0，即矩阵A的特征值全为零. 不妨设向量a,b中分量a10,b10，对齐次线性方程组(0E-A)X=0的系数矩阵施以初等行变换： 88 22-a1b1-a1b2-ab-ab22-A=21LL-anb1-anb2b1b200LL00L-a1bnL-a2bn LLL-anbn关，矛盾！故X1=0，从而X2=0即k1x1+k2x2=0，k3h1+k4h2=0. 因x1，x2线性无关，h1，h2线性无关.故 k1=k2=k3=k4=0 (2)

34、用反证法，假设 bb2LnLbn1b1b1L000L0 LLLLLLL000L0因此可得该方程组的基础解系为： A(x1+x2+h1+h2)=m(x1+x2+h1+h2) hi=l2hi，i=1,2， 因Axi=l1xi，A故得 l1(x1+x2)+l2(h1+h2)=m(x1+x2)+m(h1+h2) 于是 bba1=-2,1,0,L,0， a2=-3,0,1,L,0， b1b1TTmh1+)h20= (l1-m)(x1+x2)+(l2-)(因l1l2，故l1-m，l2-m不能同时为零，可知x1+x2，这和x1，h1+h2线性相关，b L，an-1=-n,0,0,L,1 b1于是，A的属于特

35、征值l=0的全部特征向Tx2，h1，h2线性无关矛盾，故2+L+cn-1n-1 量为 c11+c2 5.19 设A是n阶方阵，l1，l2是A的两个不同的特征值，x1，x2是A的对应于l1的线性无关特征向量，h1，h2是A的对应于l2的线性无关特征向量.证明 (1)x1，x2，h1，h2线性无关； (2)x1+x2+h1+h2不是A的特征向量. 证(1)设k1x1+k2x2+k3h1+k4h2=0， (*) x1+x2+h1+h2不是A的特征向量. 115.20已知a=3,b=-1,若矩阵A与22abT相似，那么(2A+E)*的特征值是 1解 记B=abT，由于B=321-12=3-36，所以B

36、的特征方程为 2-24令X1=k1x1+k2x2，X2=k3h1+k4h2，则 X1+X2=0 若X10，则X1是A的属于l1的特征向量，必有X20，于是X2是A的属于l2的特征向量.l1l2，故X1与X2线性无关。 而X1+X2=0表明X1与X2线性相89 lE-B=l3-2l2=0，即B的特征值是2，0，0。那么A的特征值是2，0，0，从而(2A+E)的特征值是5，1，1.因此2A+E=511=5，所以(2A+E)*的特征值是1，5，5 评注：本题涉及的知识点有： 如果r(A)=1，则 r(A=)rD(从而，0。 注：讨论特征根时，必须注明重数，不能只说2与0. 5.23 3阶对称矩阵A的

37、特征值是 lE-A=ln-aiiln-1； 如果AB，则A，B 有相同的特征值；A=li， 若A 的特征值是l，则A*与kA+E的特征值是kl+1 5.21 设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足l1=1,l2=2,l3=-2，a1=(1,-1,1)T是A的属于l1的特征向量， B=A5-4A3+E 验证a1是B的特征向量，并求出B的全部特征值与特征向量； 求矩阵B。 解 Ba1=Aa1-4Aa1+a1=-2a1= 53A4-3A3+3A2-2A=0, 那么A的n个特征值是 解：设l是A 的任意一个特征值，a是A的属于特征值l的特征向量，即Aa=la， l5a1-4l4a1+a1 2，-2，BA的特征值是-2，A的特征值是1，1，1 故a1是B属于特征值-2的特征向量；又 a0，那么Ana=lna. 于是有 a= a=0。从而，Bak=A5ak-4A3ak+ak =(2m2)ak+ak=ak55l4-3l3+3l2-2l=0 即l(l-2)(l2-l+1)=0. 因为实对称矩阵A的特征值只能是2或0。又因为实对称矩阵必可相似对角化，故， 故a2,a3是B的属于特征值1的两个正交的特征向