第三章一元函数积分学及其应用.docx

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1、第三章 一元函数积分学及其应用第三章 一元函数积分学及其应用 知识点拔： 3.1 不定积分的概念及其性质 一、不定积分的概念 1、原函数的定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在可导函数F(x)，在区间I上对任意的x都有有F(x)=f(x)，则称函数F(x)为f(x)在I上的一个原函数. 注释：只有对xI都有F(x)=f(x)成立，F(x)才是f(x)在I上的一个原函数，若有一点不满足都不能称为F(x)是f(x)的原函数. -1,-1x0； 4、dx=lnx+C； 3、xdx=xa+1aax+C，a0，a1； 5、edx=e+C； 6、adx=lnaxxx7、cosxdx=sinx+C；

2、 8、sinxdx=-cosx+C； 229、secxdx=tanx+C； 10、cscxdx=-cotx+C； 11、secxtanxdx=secx+C； 12、cscxcotxdx=-cscx+C； 13、tanxdx=lncosx+C； 14、cotxdx=lnsinx+C； 15、secxdx=lnsecx+tanx+C； 16、cscxdx=lncscx-cotx+C； 17、19、11x1dx=arctanx+Cdx=arctan+C； ； 18、1+x2a2+x2aa11-x21dx=arcsinx+C； 20、dx=lnx+x2a2+C； 22、xdx=arcsin+C； aa

3、2-x2121、x2a211x-adx=ln+C； x2-a22ax+a 2 23、x2a22xadx=xalnxx2a2+C，a0； 222224、x2a2x2a-xdx=a-x+arcsin+C,a0； 22a22325、secxdx=1secxtanx+lnsecx+tanx+C； 23.2 不定积分的积分法 一、直接积分法：即利用不定积分的基本公式和不定积分的性质直接积分. 二、第一换元积分法 设f(u)有原函数F(u)，u=j(x)可导，则有 fj(x)j(x)dx=fj(x)dj(x)=f(u)du=F(u)+C=Fj(x)+C. 积分思路：首先在被积函数中分解一个“因式”出来，再

4、把这个因式与dx结合凑成一个函数的微分，然后将这个函数作为新的积分变量，求出不定积分. 积分过程：首先在被积函数中分解一个“因式” j(x)出来，即fj(x)j(x)dx凑微分 fj(x)dj(x)变量替换j(x)=uf(u)du积分F(u)+C 还原u=j(x)Fj(x)+C. 常见的几种凑微分形式： f(ax+b)dx=1f(ax+b)d(ax+b),(a0)； af(axm+1+b)xmdx=1m+1m+1f(ax+b)d(ax+b),m-1,a0； (m+1)a1f(ex)exdx=f(ex)dex； f(lnx)dx=f(lnx)d(lnx)； xf(sinx)cosxdx=f(si

5、nx)dsinx； f(cosx)sinxdx=-f(cosx)dcosx； f(tanx)11dx=f(tanx)d(tanx)f(x)dx=2f(x)dx； ； 2cosxxf(arcsinx)f(arctanx)11-x2dx=f(arcsinx)darcsinx；f(x)dx=lnf(x)+C,f(x)0； f(x)111dx=f(arctanx)d(arctanx)； 1+x23 12f(11111)dx=-fd(n0). xnxn+1nxnxn三、第二类换元积分法 设函数x=j(t)具有连续导数，且j(t)0，又设fj(t)j(t)具有原函数F(t)，则有f(x)dx=fj(t)j

6、(t)dt=F(t)+C=Fj-1(x)+C. 积分思路：主要是选择适当的变换u=j(x)，来消除被积函数中的根号，然后求出不定积分. 积分过程： f(x)dx选择适当的变换x=j(t)fj(t)j(t)dt求积分F(t)+C 变量还原t=j-1(x)Fj-1(x)+C. 1、无理代换 若被积函数中含有根式nax+b，一般令t=nax+b； 若被积函数中含有根式n即可转化为有理函数的不定积分； 若被积函数中含有两种或两种以上的根式kx,L,lx时，可令t=nx. 2、三角代换 若被积函数中含有a2-x2，设x=asint； 若被积函数中含有a2+x2，设x=atant； 若被积函数中含有x2-

7、a2，设x=asect. 3、倒代换 如果被积函数的分子和分母关于积分变量x的最高次幂分别为m和n，n-m1，且分子分母中均为“因式”时，可作倒代换x=ax+bax+b的积分(n1,ad-bc0)，一般令t=n，cx+dcx+d1来消去在被积函数的分母中的变量因子x. t1dt-x2+111dx22=+C， 令x= -如=4224221+txt2xx+xxx+xdx 4 又如：1x=t. ，可作代换dx(3-x)73-x4、万能代换 x2t1-t2万能代换常用于三角有理式的积分，设t=tan，sinx=，cosx=，21+t21+t2tanx=2t2dx=dt. ，1-t21+t25、三角函数

8、有理式的积分 如果被积函数R(sinx,cosx)是关于sinx和cosx的一次分式时，可试用万能替换法； 若R(sinx,cosx)是关于cosx的奇函数，即R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)，可设t=sinx； 如果R(sinx,cosx)是关于sinx的奇函数，即R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)，可作变换t=cosx； 如果R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，可设tanx=t； 若被积函数是sinxcosx，且n和m中至少有一个数为奇数nm若被积函数是sinxcosx，且n和m都是偶数，可由三角公式sinx=2nm1(1-co

9、s2x)，2cos2x=11(1+cos2x)，sinxcosx=sin2x，代入被积函数化简，一种情况是含有sin2x或22cos2x的奇数次幂，则用方法求之；另一种情况是仍含有sin2x和cos2x的偶数次幂，则继续使用上述方法化简，转化为以sin4x和cos4x为变数的幂函数相乘，以此类推. 如果被积函数是sinmxsinnx，或sinmxcosnx，或cosmxcosn，则利用积化和差公式，然后再求不定积分. 四、分部积分法 若u(x)，v(x)是可微函数，且不定积分u(x)v(x)dx存在，则u(x)v(x)dx也存在，且有u(x)v(x)dx=u(x)v(x)-u(x)v(x)dx

10、. 注释：分部积分法，主要是解决被积函数是两类或两类以上不同函数乘积的不定积分，5 在使用分部积分法时，要恰当地选择u和dv，即求udv比较困难，而求vdu比较容易. 一般可依次选取u的顺序为：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数，一般只要被积函数中含有对数函数或反三角函数时，常使用分部积分法. 在求指数函数和三角函数乘积的积分时，需使用两次分部积分，且每次选取u和dv需是同类型的函数，否则两次积分后将出现恒等式. 当两次积分后等式右端将会出现原来的不定积分，此时移项解方程，可求得原来的不定积分，当等式右端不出现积分号时，必须加上任意常数C. 3.3 定积分的概念及性质 一、定积分

11、的概念 1、定积分的定义 设f(x)是定义在a,b上的有界函数，在a,b内任意插入n-1个分点，a=x0x1x2 ，在每个小区间Lxn-1xn=b，将区间a,b分为n个小区间xi-1,xixi-1,xi上任一取点xi，且xi-1,xi的长度记为Dxi=xi-xi-1，作和式f(xi)Dxi，若当i=1nl=maxDxi0时，上述和式的极限存在且与区间的分法无关，也与xi的取法无关，则称该1in极限值是函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作ba即f(x)dx=limf(x)dx，abl0f(xi)Dxi. i=1n其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式，x称为积分变量，a,b称为

12、积分区间，a，b分别称为积分下限和积分上限. 注释：定积分表示一个数，它的值只取决于被积函数和积分上、下限，而与积分变量使用什么字母无关，即abf(x)dx=f(u)du. ab定积分定义中曾假设ab，事实上，由定义知当a=b时，有而对于任意的a,b，有aaf(x)dx=0. baf(x)dx=-f(x)dx. babb f(x)dx=0，df(x)dx=0. aa2、可积的必要条件 6 若函数f(x)在a,b上可积，则f(x)在a,b上必有界. 3、可积的充分条件 若函数f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上可积. 若函数f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a,

13、b上可积；或函数f(x)在a,b上只有有限个第一类间断点，则f(x)在a,b上可积. 分段连续函数是可积的. 若f(x)是a,b上的单调有界函数，则f(x)在a,b上可积. 也就是说，单调有界函数，即使有无穷多个间断点，但这些不连续的点若存在一个极限点，则f(x)在a,b上可积. 初等函数在其定义区间内的任一子区间上都是可积的. 注释：这几个条件都是充分条件，不是必要条件； 原函数的存在与可积之间没有必然的关系，函数存在原函数但不一定可积. 1212xcos2+sin2,x0,如：f(x)= 在-1,1上存在原函数，但它在-1,1上不可积，；若xxxx=00,函数可积，但不一定存在原函数. 如

14、f(x)=不存在原函数. 二、定积分的几何意义 函数f(x)在区间a,b上的定积分是曲线y=f(x)与直线x=a,x=b，以及x轴所围成的曲边梯形面积的代数和，曲线在x轴的上方取正号，在x轴下取负号. 1、若f(x)0，则定积分-1,-1x0在-1,1上可积，但在区间-1,1上0x11,baf(x)dx表示由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b，以及x轴所b围成的曲边梯形面积A，即A=2、若f(x)0，则定积分af(x)dx； baf(x)dx表示由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b，以及x轴所围成的曲边梯形面积A的负值，即A=-af(x)dx； 7 b3、若f(x)在区间a,b内有正有负，

15、则定积分baf(x)dx表示由曲线y=f(x)与直线bax=a,x=b，以及x轴所围成的各部分图形面积的代数和，即A=|f(x)|dx. 三、定积分的性质 性质1 两个可积函数和或差的定积分等于它们定积分的和或差，即 af(x)g(x)dx=abbbf(x)dxg(x)dx ab一般地，若f1(x),f2(x),L,fk(x)都是可积函数，则 af1(x)+f2(x)+L+fk(x)dx=af1(x)dx+af2(x)dx+L+afk(x)dx； 性质2 被积函数中的非零常数因子可以提到积分号的外边，即性质3 如果在a,b上有f(x)=k，则bbbbba kf(x)dx=kf(x)dx；aba

16、kdx=k(b-a)，特别地，当f(x)=1时，有bbadx=b-a； 性质4 对任意的常数c，有af(x)dx=f(x)dx+f(x)dx； accb性质5 若在a,b上有f(x)g(x)，则baf(x)dxg(x)dx(ab)， ab特别地，若在a,b上有f(x)0，则af(x)dx0bb(ab)； 性质6 若f(x)在区间a,b上可积，则|f(x)|在区间a,b上也可积，且有 baf(x)dxf(x)dx(ab)，一般的有 abaf(x)dxaf(x)dxabbf(x)dx(ab)； 特别地，若|f(x)|在区间a,b上可积，则f(x)在区间a,b上不一定可积，如1,x为有理数f(x)=

17、； -1，x为无理数性质7 设m,M分别是f(x)在区间a,b上的最小值与最大值，则 m(b-a)f(x)dxM(b1时收敛,1p-1dx=xp+,p1时发散。1,p1时收敛+1dx ex(lnx)pu=lnx1updu=p-1+，P1时发散二、无界函数的广义积分 1、概念 f(x)=，称b为f(x)的瑕点. 定义1 设f(x)在a,b)上有定义，而lim-xb定义2 设f(x)在a,b)上有定义，x=b为瑕点，且对任意的e0，f(x)在a,b-e上可积，即极限lim积分，记作：e0ab-ef(x)dx存在，则称该极限值为无界函数f(x)在a,b)上的广义积分或叫瑕b-ebaf(x)dx=li

18、me0af(x)dx或f(x)dx=lim-f(x)dx，此时也称广义积分aBbbbBabaf(x)dx是收敛的；若上式的极限不存在，则称广义积分f(x)dx发散. a类似地可以定义瑕点为x=a时的广义积分baf(x)dx=lim+f(x)dx，其中f(x)在AaAb(a,b上有定义，a为瑕点，且在任何A,b(a,b上可积. 定义3 如果f(x)在a,b内部有瑕点x=c，则定义瑕积分 baf(x)dx=f(x)dx +f(x)dx=limf(x)dx+limf(x)dx -+accbubucavcv当且仅当右边的两个瑕积分都收敛时2、瑕积分的性质 baf(x)dx收敛，否则f(x)dx发散.

19、ab 12 若x=a为瑕点且积分baf(x)dx收敛，则kf(x)dx也收敛，且有 abkf(x)dx=kabbbaf(x)dx，其中k为常数. 若f(x)与g(x)的瑕点同为x=a，且瑕积分bbaf(x)dx与bbag(x)dx都收敛，则 baaf(x)g(x)dx也收敛，且有af(x)g(x)dx=a定积分的分部积分法与换元积分法对瑕积分也成立. f(x)dxg(x)dx. 设x=a是f(x)的瑕点，f(x)在(a,b内的任一闭区间上可积，若积分敛，则 baf(x)dx收baf(x)dx也收敛，且有f(x)dxf(x)dx. aabb3、几个特殊积分的敛散性 1当q1时，2当q1时，101

20、dx收敛；当q1时发散； xqdx0(x-1)q收敛；当q1时发散； 13当q1时，dx-1xq收敛；当q1时发散； 13.7 定积分在几何上的应用 一、定积分的元素法 用元素法解决应用问题的步骤： 根据问题的具体情况，选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间； 分割a,b为n个小区间，在其中任一小区间x,x+dx上求出该小区间的部分分量DU的近似值dU=f(x)dx； 以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在区间a,b上作定积分求U=1、平面图形的面积计算 直角坐标系下的情形 baf(x)dx. X型的平面图形面积：A=f(x)-g(x)dx），其中A是由连续曲线aby=f(x),y=g

21、(x)和直线x=a,x=b(ab)所围成图形的面积. 13 Y型的平面图形面积：由连续曲线 x=j(g),x=y(g)和直线y=c,y=d(cd) 所围成的平面图形的面积. ）. A=j(g)-y(g)dycd注释：较为复杂图形的面积计算，可将图形分割 为若干小图形，使其符合X型或Y型，然后求面积和 极坐标系的情形 由连续曲线r=r(q)和射线q=a,q=b(ab) x=j(g)x=j(g)1b2围成的平面图形面积A=r(q)dq，） 2a由连续曲线r=r1(q),r=r2(q)(r2(q)(r1(q) 和射线q=a,q=b(ab)所围成图形的面 积A=r=r(q) a b 1b22r(q)-

22、r(q)dq）. 122ar=r1(q) r=r2(q) 曲线方程是参数方程形式的情况 设曲线C的参数方程为x=j(t)atb,j(a)=a,j(b)=b， y=y(t)j(t)在a,b上具有连续导数，且j(t)不变号，j(t)0且连续， 则由曲线C和直线x=a,x=b，x轴围成的平面图形的 面积A=baydx=y(t)j(t)dt ab2、特殊的空间立体的体积计算 已知平行截面面积的立体体积 设在空间直角坐标系中，有一个立体夹在垂直于x轴的两个平行平面x=a与x=b(ab)之间，它被垂直x轴的平面截得的截面面积为A(x)，且A(x)在a,b上连续，则立体的体积V=A(x)dx. ab 14

23、绕坐标轴旋转的旋转的体积 平面图形由曲线y=f(x)(f(x)0)与直线x=a，x=b(xb)，x轴所围成. 烧x轴旋转一周而成的旋转体的体积为Vx=pbaf2(x)dx； ba绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为Vy=2pxf(x)dx； 由连续曲线x=j(y)及直线y=c，y=d(cd)，y轴所围成的平面图形 绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积Vy=pjab2(y)dy； 烧x轴旋转一周而成的旋转体的体积Vx=2p 3、平面曲线的弧长计算 dcyj(y)dy. C=AB x x+dx 曲线为参数形式的平面曲线的弧长公式 设曲线C是由参数方程x=x(t),y=y(t)(atb给出的光滑曲线，即x(t),y(t)在a,b上具有连续的导数，则曲线段弧长为S=22x(t)+y(t)dt. ab曲线方程为直角坐标方程的弧长公式 设曲y=f(x)在a,b上是光滑曲线，则曲线段的弧长为S=曲线方程为极坐标方程的弧长公式 设曲线段是由极坐标方程r=r(q)，aqb给出的光滑曲线，则曲线段的弧长为ba1+f(x)dx. 2S=bar(q)2+r(q)2dq. 15