第七章无穷级数.docx
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1、第七章 无穷级数第七章 无穷级数 本章有四个问题: 1 数项级数敛散性; 2 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域; 3 求和函数; 4 将函数展成麦克老林级数。 7.1数项级数敛散性的判别方法 一 基本概念 1. 级数收敛:令sn=u1+u2+L+un=若不然,则称uk=1nk,若limsn=s,则称级数nun=1n收敛, un=1n发散; 2绝对收敛:若3. 条件收敛:若un收敛,则称un=1n=1un=1n为绝对收敛; n发散,而un=1n收敛,则称un=1n为条件收敛; 二 基本结论 1级数un=1n收敛的必要条件limun=0。 n2. 等比级数3. p级数aqn=1n的公比的绝对值小
2、于1时,级数收敛,其和等于1减公比分之首项。 1,当p1时,收敛;当p1时,发散。 pn=1n三 基本方法 1正项级数敛散性的判别方法 比较判别法: 一般形式:若unvn,则 若vn=1n收敛,则un=1n收敛;若un=1n发散,则vn=1n 发散。 极限形式:如果vn0,且 lim当0l时,则un=l, nvnnun=1n和vn=1n=1n具有相同的敛散性。 也收敛。 也发散。 当l=0时,则vn=1收敛,un当l=时,则un=1n发散,vn=1n 1 比值判别法: limun+1nunr1发散 r=1不确定根值判别法: r1发散 nr=1不确定n注 Pm(n)=1。例如 m(n)是关于n的
3、m次多项式,m是有限数,则limPnlimnn3-2n2+5n-7=1。 n 积分判别法:若f(x)是单调递减连续函数,f(n)=un,则具有相同的敛散性。 un=1n与+1f(x)dx2 交错级数敛散性的判别方法: 莱布尼兹判别法:若交错级数(-1)unn=1n(un0)满足 n单调递减,即un+1un;极限为零,即limun+1=0, 则级数(-1)unn=1n收敛。 3 任意项级数敛散性的判别方法 1考虑级数2若un=1n是否收敛,若收敛,则un=1n是绝对收敛。 un=1n不收敛,把级数un=1n+un,分别讨论级数 的一般项分解为un=unu 和 u的敛散性。 nnn=1n=1例1
4、讨论下列正项级数的敛散性: 2nn!xnn; 2sinn; 3n=1n=1nn(1-cos); ; nn=1n=12n+11lnn2; 1+-1; nn=1n=1npn(en=11n+e-1n-2); (n-1)。 n=11n解利用比值判别法 2 2un+12n+1(n+1)!nnnn=0,利用等价无穷小替换,可知 xnnx与具有相同的敛散性,而2sin2nn33n=1n=1xn收敛。 2sinn3n=12nx2=x收敛,所以n3n=1n=13n 利用比较判别法:利用等价无穷小替换,1p性,而2收敛,所以(1-cos)收敛。 nn=1nn=11与具有相同的敛散(1-cos)2nn=1n=1np
5、1nn根据根值判别法:因为limun=3,则f(x)=2x(-1)n(-1)nln(1+n)级数发散,所以ln(1+n)收敛。又由于ln(1+n)条件收敛。 1+n1+n1+nn=1n=1n=1由于 sin(pn=1n+a)=sin(pn+a-np+np)=(-1)nsin(pn2+a2-np) 2222n=1n=1n+a+n11pa2因为正项级数sin与具有相同的敛散性,由于发散,所以n=1nn=1n2+a2+nn=1nn=122sin(pn+a)发散。 n=1=(-1)sinnpa222。 又由于级数(-1)n=1nnsinpa2n+a+npa222是交错级数,显然收敛。故pa2n+a+n
6、22单调递减,极限为0,所以(-1)n=1sinn2+a2+nsin(pn=1n2+a2)条件收敛。 例3 讨论下列任意项级数的敛散性: (-1)n(-1)nn2+n ; 。 n2n+(-1)nnn=1n=1(-1)n1(-1)nn2+n解由于和2收敛,于是收敛。 2nnnn=1nn=1n=1由于 (-1)n(-1)nn-(-1)n(-1)nn1 =-nn-1n-1n-1n+(-1)n=1(-1)nnn对于级数,根据莱布尼兹判别法,单调递减,极限是0,所以收敛。 n-1n-1n=11(-1)n对于级数,显然发散。故发散。 nn+(-1)n=1n-1n=1习题7-1 1用比较法判别下列级数的敛散
7、性: 1pn2; 2arcsinn; 3n=1n+nn=1 4 2+(-1)n1(1-cos; ); 2n+12nn=1n=1(lnn)21; ; 3nnn=1nnn=11; (na-1)(a1); n=1n=1n3+111-n2+1nn(a+a-2); (10) ln2; n-1n=1n=2p1 (11) -lncos; (12) ; lnnnn=3n=2(lnn)n=1nn-1; (14) nnn=1n+1-n n2用比值法和根值法判别下列级数的敛散性 1n; (a0); n1+a2n+1n=1n=13nn!n2+2n+1n; ; nn2n=1n=1n!nn+1nx(x0); n=1nn=
8、1n+2n+3; nn!p; nnsin; nn=1(2n-1)!n=12+(-1)n+1; 4nn=1n=1n+2nnn2+13讨论下列变号级数绝对收敛,条件收敛或发散: sinnxnn; ; (-1)n2n+1n=1n=1(-1)npn; ; (-1)sin(p0)pnnn=1n=1(-1)nn+nn1; (-1); nnnnn=1n=1n-1n2n-1(-1) ; (-1)(n+1-n) 3n+1n=1n=112sin(pn+1); sin(np+) lnnn=1n=2n7.2函数项级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 求函数项级数un(x)的收敛半径、收敛区间和收敛域: n=1 5 幂级数
9、axnn=1n每项系数都不是零 若级数anxn系数an0,且limn=1nan+1=r 或limnan=r,则 nan收敛半径是R=区间上就是收敛域。 幂级数1r;收敛区间为(-R,R);收敛域:收敛端点加到收敛 naxn某些项系数等于零 n=1an+1(x)=r(x),或根值法limnan(x)=r(x); nna(x)n 2解不等式r(x)1,其解为axb,于是收敛区间为(a,b); 1用比值法lim 3讨论区间端点x=a和x=b对应的两个级数收敛点加到收敛区间上,得到收敛域。 例1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域: 1n2nnx; x ; n=1n!n=1n1nnn nx ; 2(x-1
10、) n=1n=1na(a)和a(b)是否收敛,再将 nnn=1n=1解由于 2n+1a1=lim2n=2, r=limn+1=limn+nan2nnn+1nnn12n11所以幂级数x的收敛半径为R=,收敛区间为-, 222n=1n下面讨论幂级数在收敛区间的端点是否收敛 当x=-1时,相应的数项级数为 22n1n1 -=(-1)2nn=1nn=1n此级数是交错级数,un=当x=1单调递减,极限是0,于是此级数收敛; n1时,相应的数项级数为 2n2n11= n=1n2n=1n112nn此级数是调和级数,当然发散所以级数x的收敛域是-,) 22n=1n由于 6 r=limnan+1n!1=lim=
11、lim=0, n(n+1)!nn+1an所以幂级数1nx的收敛半径为R=+,当然它的收敛域是R n=0n!an+1(n+1)n+11r=lim=lim=lim(n+1)1+=+, nnannnnnn由于 所以幂级数nxnn=0n的收敛半径为R=0于是它的收敛域是0(级数仅在x=0处收敛,其它点都发散) 11nn 令t=x-1,则2(x-1)=2t由于 n=0nn=0nan+1n2n2r=lim=lim=lim=1, nan(n+1)2n(n+1)2n1n1n(1)n1所以幂级数2t的收敛半径为R=1当t=1时,级数2t=2=2n=1nn=1nn=1nn=1n1n都收敛,因此幂级数2t的收敛域是
12、-1,1于是有-1x-11,即0x2,所以n=1n1n幂级数2(x-1)的收敛域是0,2 n=1n上述方法仅仅适合幂级数的各项系数不是0的情形,对于部分项系数是0的幂级数,就不能应用此法计算幂级数的收敛半径如 例2 求下列幂级数收敛半径和收敛域: (x-1)2n-1n2n nx; 2n -nn=12n=12n2n解设an(x)=nx,则有 2n+12n+2xn+1an+1(x)12 r(x)=lim=lim=x2 na(x)nn2n2nx2n令12x1,解不等式得到:x2,所以级数的收敛半径R=2,收敛区间为2n(-2,2)当x=2时,相应的数项级数是n,显然发散,于是级数nx2n收敛n=1n
13、=12域是(-2,2) (x-1)2n-1设an(x)=,则有 22n-n 7 (x-1)2n+12n+2an+1(x)2-n-1=1(x-1)2 r(x-1)=lim=limna(x)n(x-1)2n-14n22n-n令1(x-1)21,解不等式得:x-12,所以收敛半径R=2,收敛区间为(-1,3)当4(2)2n-1(x-1)2n-1x-1=2时,相应的数项级数2n发散于是级数2n的收敛域是-n-nn=12n=12(-1,3) 习题 7-2 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域: xnnx; (-1)2; nn=1n=12n-1xnnx; (-1); 2n-1n=1(2n)!n=1nn
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