第4章 平面杆件体系的几何组成分析.docx

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1、第4章 平面杆件体系的几何组成分析第四章 平面杆件体系的几何组成分析 4.1 几何组成分析的基本概念 结构是由若干根杆件通过结点间的连接及与支座连接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证结构的几何构造是不可变的。例如： 4.1.1 几何不变体系和几何可变体系 1. 几何不变体系(geometrically unchangeable system) ：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状不能改变。 2. 几何可变体系(geometrically changeable system)：不考虑材料的变形，在微小荷载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体系。 图4-1 几何可变体系和不变体系

2、 显然只有几何不变体系可作为结构，而几何可变体系是不可以作为结构的。因此在选择或组成一个结构时必须掌握几何不变体系的组成规律。 4.1.2 自由度和约束 1. 自由度(degree of freedom) ： 自由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参数的数目；即确定体系位置所需独立坐标的数目。 平面内一质点有2个自由度； x方向和y方向的运动 平面内一刚片有3个自由度；任意点的坐标一个绕该点的转动角度。 地基是自由度为零的刚片。 图4-2 点和刚体的平面自由度 2. 约束：(restraint) ： 限制物体自由度的外部条件。或体系内部加入的减少自由度的装置。当对刚体施加约束时，其53 自由

3、度将减少。能减少一个自由度的约束称为一个联系，能减少n个自由度的约束称为增加了n个联系。 链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和铰的位置如何。一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。一根链杆相当于一个约束。链杆连接的两个刚片有五个自由度。固定一地基上连杆，被连接的刚片还剩2个自由度。 单铰：连结两个刚片的铰。加单铰前构成体系的两个刚片共有六个自由度。加单铰后体系有四个自由度。一个刚片可以自由运动，但是，另一个刚片只能绕结点转动。 但从被连接的一个刚片来说减少了2个自由度，它只能转动，不能自由移动了。 刚结点(焊接结点)：将两刚片联结成一个整体的结点，图示两刚片有六个自由度,加刚

4、联结后有三个自由度，结点将刚片连成整体。若是发散的，无多余约束,若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。 复铰：一个铰接点，连接n个刚片的复铰 = (n-1)个单铰，使得被连接的刚片平动坐标有两个，另外每个刚片还可以有由一个自由转动，共有2+n个自由度，减少了2个自由度。 链杆 单铰 刚结点 复铰点 图4-3 三种约束 铰支座：减少两个自由度 定向支座：只允许结构沿锟轴滚动方向移动，而不能发生竖向移动和转动的支座形式，称为定向支座。减少两个自由度 . 固定约束减少三个自由度。 (1) 一根链杆相当于一个约束 (2)一个固定铰支座相当于两个约束 (3)一个固定端支座相当于三个约束 (4)

5、一个单铰相当于两个约束 (5) 联结n个刚片的复铰，其作用相当于个单铰 (6) 虚铰的作用与单铰一样，仍相当于两个约束 (7) 多余约束对体系的自由度没有影响 54 3. 多余约束 多余约束(redundant restraint) ：不能减少体系自由度的约束。 注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 图4-5 多余约束 如果在体系中增加一个约束，体系减少一个独立的运动参数，则此约束称为必要约束。如果在体系中增加一个约束，体系的独立运动参数并不减少，则此约束称为多余约束。 4.平面内一个无铰的刚性闭合杆(或称单闭合杆)具有三个多余约束。 体系的计算自由度 一个平面体系通常都是由若干部件加入一些

6、约束组成。按照各部件都是自由的情况，算出各部件自由度总数，再算出所加入的约束总数，将两者的差值定义为：体系的计算自由度(computational degree of freedom) W。 这种理论上计算出的自由度是在假定在没有多与约束的前提下。 杆件体系的计算自由度 W=- m体系刚片的个数， s单刚结点个数 h单铰结点个数 b支座链杆数 复连接要换算成单连接 刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有a个无铰封闭框，约束数应加3a个。 铰支座、定向支座相当于两个支承链杆， 固定端相三于个支承链杆。 图4-6 复铰 图4-7的自由度=0 55 W=3m-3s-2h-r=313+30-218-3

7、=0 m个刚片有3m个自由度， s个刚结点去掉3s个自由度，h个单绞去掉2h个自由度，r个连杆去掉r个自由度。 简便的结点算法： W=2j-b-r=28-13-3=0 j 结点数；b 杆件数；r 支座连杆数 表 4-1 自由度的计算方法 1. 平面刚片系统： W3m3g2hb 自由度数 m 刚片数 s(g)刚性联结数 h 简单铰数 b(r)链杆数 证明： 只要证明3m-2h= 2m= j+h 4联系_约束 联系是用来减少刚体自由度，确定其位置的装置，也称为约束。 刚片_几何形状不变的平面体 链杆_两端铰结于其它刚片的杆件，一个联系,竖向位置确定，只能水平移动和转动。 单铰_联结两个刚片的铰 复

8、铰_联结n个刚片的铰，相对于n+1个铰 5虚铰 联接两个刚片的两个链杆，相对于两链杆的延长线交点的一个铰。二链杆平行时，则相当于虚铰在无穷远处。 6必要约束与多余约束 必要约束使体系几何不变所必须的约束 多余约束在几何组成意义上，使体系几何不变不是必须的约束 2、平面铰结系统：W2jbr 自由度数 j 结点数数 b 内部链杆数 r 外部支座链杆数 2j-b 或 3m-2h=2j-m 因为 m=b 56 引例1a：j=6；b=9；r=3。 所以：W=2693=0 几何不变体系，有一个多余约束。 按增加二元体顺序的不同，多余约束可以是AB、BC、CD、DE、EF中的任意一个。 引例2 b：j=6；

9、b=9；r=3。 所以：W=2693=0 引例3 c: m=1，a=1，n=0 ，r=4+3210 W=3m-2n-3a =31-10-31 - 10 引例4 d:m=7，n=9，r=3 W=3m2nr=37293 =0 引例6求图所示体系的计算自由度W。 解：此体系属于铰结体系 57 引例7. 计算W 方法1：此体系属于一般体系，m=6 g=4 h=1 b=4 方法2：此体系属于一般体系，只将ABCD 、AEFG视为刚片m=2 g=0 h=1 b=4 W=3m-(3g+2h+b)=32-(30+21+4)=0 例4-1求图4-8 的自由度 W=3m-3s(g)-2h-r(b)=318-30-

10、226-0=2W=3m-3s(g)-2h-r=34-30-23-6=0W=2j-b-r=25-4-6=0W=2j-b-r=210-18-0=2 W0 体系缺少足够的必要约束，还可以运动，体系是几何可变的 W=0 体系有足够的必要约束，单是没有多余的约束，此时体系为静定的或几何不变的；不过也有可能是缺少够的必要约束，同时又有多余的约束，体系还可以运动，体系是几何可变的 W0 体系有多余的联系，此时体系可能有足够的必要约束，体系为静定的或几何不变的；或者缺少必要的约束，体系还可以运动，体系是几何可变的 因此W0是体系几何不变的必要条件。 4.1.3 瞬铰 刚片：几何形状不变的平面体简称为刚片。在平

11、面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。 链杆：一根两端铰结于两个刚片的杆件。 单铰：连接两个刚片的铰称为单铰 复铰：连接多于两个刚片的铰称为复铰。 虚铰：如果两个钢片用两根链杆连接，该连接作用就和一个位于两杆交点的铰作用相同，这个交点我们称作虚铰。 58 当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚片绕该交点作相对转动。 从微小运动角度考虑，虚铰的作用相当于在瞬时中心的一个实铰的作用。 二元体：是指由两根不在同一直线上的链杆连接一个新结点的装置。 在一个体系上增加或减去二元体，不会改变原有体系的几何构造性质。 两刚片之间，用不完全交于一点

12、也不完全平行的三根链杆联结，或用一个单铰和一根铰杆联结，且铰和链杆不在同一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。 三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联, 则组成无多余约束的几何不变体系。 虚铰：如果两个钢片用两根链杆连接，该连接作用就和一个位于两杆交点的铰作用相同，这个交点我们称作虚铰。 当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚片绕该交点作相对转动。从微小运动角度考虑，虚铰的作用相当于在瞬时中心的一个实铰的作用。 联接两个刚片的两个链杆，相对于两链杆的延长线交点的一个铰。二链杆平行时，则相当于虚铰在无穷远处。 必要约束与多余约束： 必要约束使体系几何不变所必须的约束 多余约束在几何组成意

13、义上，使体系几何不变不是必须的约束 4.1.4 瞬变体系 一个几何可变体系发生微小的位移后，在短暂的瞬时间转换成几何不变体系，称为瞬变体系。 瞬变体系在很小荷载作用下，也会产生巨大的内力，导致体系破坏。 由于瞬变体系在荷载下会产生很大的内力，故几何瞬变体系不能用于工程结构. 瞬变体系 瞬变体系是几何可变体系的一种特例。 首先需清楚：瞬变体系不能作为结构使用，这尤其需要引起工程界的重视。 瞬变体系的三个特点： (1)从微小运动看是一个可变体系具有自由度； (2)经微小位移后成为不变体系瞬变体系； (3)具有多余约束是暂时的。 分析：C点的自由度，C点在平面内具有两个自由度，用两杆连接，仍可绕A、

14、B 两点作圆弧运动，两圆弧在C点具有公切线，C点能暂时上下运动，故具有一个自由度。同时说明体系此时具有一个多余约束。 微小移动后，两圆弧由相切变相交，位移停止，此时，体系由可变成为不可变，多余约束成为有效约束。 59 从瞬变体系具有多余约束这一特点来说，其具有超静定结构的性质；从静力学方面来说，在荷载作用下它的解是不唯一的。 瞬铰 讨论：平面上一刚片用两根链杆固定于基础上的情况；或两刚片之间用两根链杆连接的情况。 固定刚片，刚片相对于刚片产生转动，其转动是绕AB、CD两链杆轴线的交点O发生的。O点称为瞬时转动中心。可以想象，当刚片的位置发生变化时，交点O也随之改变。从瞬时的微小运动来看，两链杆

15、的约束作用相当于在两链杆轴线的交点O处的一个铰所起的约束作用。这种铰称为瞬铰。 4.2 几何不变体系的组成规则及其应用 4.2.1 二元体规则 二元体： 是由一个铰联接的两个链杆，两链杆的另一端连接的是一个钢片，从而构成几何不变体系。 是指由两根不在同一直线上的链杆相互铰接形成的结构。 图4-11链杆 在一个体系上增加或减去二元体，不会改变原有体系的几何构造性质。 在刚片上用两根不在一条直线上的链杆联结出一个结点，形成无多余约束的几何不变体系。 注意： 1、若同时用三根链杆联结C点，则必有一链杆多余。其中任一根链杆称为“多余约束”。 2、若两链杆共线，则形成“瞬变体系”。 4.2.2 两刚片规

16、则 两刚片之间，用不共点的三根链杆联结，或用一个单铰和一根铰杆联结，且铰和链杆不在同一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。 60 两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系推论：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系。 特殊情况： 交于一点 图4-12 三根链杆 4.2.3 三刚片规则： 三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。 实饺 虚饺 三饺共线 图4-13 三个规则合并成一个规则，一个刚片两个链杆，两个刚片一个铰加一个链杆，以及三个刚片三个铰，本来是就是一个三刚片

17、组成的牢固的三角形在绘图上。 几何不变体系的组成规律 一、四个基本组成规律 61 规律1：一个刚片与一个点用两根链杆联结，且三个铰(A、B、C)不共线，则组成无多余约束的几何不变体系。 规律2：两刚片用一个铰和一根链杆联结，且链杆不通过铰的中心，则组成无多余约束的几何不变体系。 规律3：三个刚片用三个铰两两相连，且三铰不共线，则组成无多余约束的几何不变体系。 上述三条规律虽然表述方式不同，但实际上可归纳为一个基本规律：如果三个铰不共线，则一个铰结三角形的形状是不变的，而且没有多余约束。这个基本规律可叫做三角形规律。 规律4：两个刚片用三根链杆相连，且三根链杆不交于同一点，则组成无多余约束的几何

18、不变体系。 引例1 对图2.12所示体系进行几何组成分析。 解:体系中折杆DHG和FKG可分别看作链杆DG、FG，依次去掉二元体、，对余下部分，将折杆ADE、杆BE和基础分别看作刚片，它们通过不共线的三个铰A、E、B两两相连故为无多余约束的几何不变体系。 图2.12 62 例4-1 试对图2.13所示体系进行几何组成分析。 解: 体系与地基以上部分与地基用三根不交于一点，且不完全平行的链杆1、2、3相连，符合两刚片规则，只分析上部体系。将AB看作刚片，用链杆AC、EC固定C，链杆BD、FD固定D，则链杆CD是多余约束，故此体系是有一多余约束的几何不变体系。 图2.13 例题：4.2 试对图4-

19、14所示的体系作几何分析 将地基AB视为一个刚片 顺次添加C、D、E形成的整个体系，按照二元体规则，这个体系是几何不变的，并且没有多余的约束 规则： 二元体：是指由两根不在同一直线上的链杆相互铰接形成的结构。在一个体系上增加或减去二元体，不会改变原有体系的几何构造性质。在刚片上用两根不在一条直线上的链杆联结出一个结点，形成无多余约束的几何不变体系。 (4) 该体系是在地基上依次增加二元体A-C-B，C-D-B，C-E-D，E-F-D，E-G-F组成，按规则一，所组成体系几何不变，且无多余约束 例4-3 试对图4-15所示的体系作几何组成分析 将，视为刚件,共三个自由度 C是铰减少一个自由度，D

20、E是链杆，减少两个自由度 两刚片规则 两刚片之间，用不共点的三根链杆联结，或用一个单铰和一根连杆杆联结，且铰和链杆不在同一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。 例4-4 试对图4-16，所示的体系作几何组成分析(是否有多余的束，是否几何不变)。 63 引例2 分析图示刚架的几何组成。 解：1.将地基作为刚片I，刚架中间的T型杆部分BCE为刚片II，如图 引例4先看上部结构。找出三角形ABC、三角形FHG，作为初步分析的刚片。 在初始刚片基础上，依次增加两个二元体，形成对称的两个刚片、。 ，地 64 刚片、刚片通过链杆 与铰接点E相连，满足二刚片原则，上部结构几何不变。 上部结构与地基通过不

21、交于一点的三根链杆相连，最终结构几何不变。 例4-5 视ADC与BEC为两个刚片，以铰C链接几何不变无多余约束 图4-17 本题有四根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。 可将ACD部分作为刚片，BCE部分作为刚片。另外，取基础作为刚片。 刚片与刚片有一个铰点A和一个链杆FD 刚片与刚片由铰C相联，刚片与刚片由两根链杆相联，其延长线交于虚铰H，刚片与刚片由两根链杆相联，其延长线交于虚铰H(省略)。因三个铰C、H、H恰在同一直线上，故体系为瞬变体系。 图4-18 65 图4-19 例4-8 图4-20习题4-1 大地视为刚片，ACD视为刚片，BCE视为刚片，A，B，C分别为其连接的三个铰，

22、由三刚片原则可知其为几何不变部分，看成大地依次增加二无体FGD，GHC，HIE，JIK，故体系为几何不变无多余约束体系。 依次去掉二元体A、B、C、D、E、F、G后剩下大地，故该体系为几何不变体系且无多余约束。 何不变无多余约束图4-1 分析： 对象：杆1、2和杆3、4和杆5、6和杆7、8和杆9、10和杆11、12和杆13、14； 联系：二元体；去掉二元体，剩下大地几习题4-2 本题有六根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。 66 先选取基础为刚片 ，杆AB作为另一刚片，该两刚片由三根链杆相联，符合两刚片联结规则。 和组成一个大的刚片，称为刚片，再取杆CD为刚片，它与刚片之间用杆BC和两

23、根支座链杆相联，符合两刚片联结规则，组成一个更大的刚片。 最后将杆DE和E处的支座链杆作为二元体加于这个更大的刚片上，组成整个体系。因此，整个体系是无多余约束的几何不变体系。 链杆平行，瞬变体系 习题4-3 链杆平行，瞬变体系 习题4-4 1. 运用瞬铰并使对象拉开距离 注释“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用实铰。 图2-20 分析： 对象：大地与刚片和；刚片为三角形。 联系：大地与刚片：虚铰A；大地与刚片：虚铰C；刚片与 虚 铰B；三铰不共线几何不变无多余约束 习题4-5 习题4-6 习题4-7 54 例2 对图2.11所示体系进行几何组成分析。 解:AB杆与基础之

24、间用铰A和链杆1相连，组成几何不变体系，可看作一扩大了的刚片。 例1 对图a所示体系进行几何组成分析。 解:铰接三角形ABC为基础，连续增加二元体，上部组成无多余约束的几何不变体系，看作刚片1，基础看作刚片，则符合两刚片规则，组成无多余约束的几何不变体系。例3. 对图2.12所示体系进行几何组成分析。 解:体系中折杆DHG和FKG可分别看作链杆DG、FG，依次去掉二元体、，对余下部分，将折杆ADE、杆BE和基础分别看作刚片，它们通过不共线的三 个铰A、E、B两两相连故为无多余约束的几何不变体系。 将BC杆看作链杆，则CD杆用不交于一点的三根链杆BC、2、3和扩大刚片相连，组成无多余约束的几何不

25、变体系。 习题4-8 (a) 曲杆AC为刚片,曲杆BD为刚片,大地为刚片, ， 由链杆CD与EF相连,虚铰为O，在EF杆上，点A,B为，与，相连接的铰。O,A,B三点不共线，所以由三刚片原则可知体系为几何不变无多余约束. (b) 应该是几何可变体系 习题4-9 、是三刚片组成不变体系，以铰E连结后减少1个自由度 55 将折杆用直杆代替。几何不变, 无多余约束。 题4-10 习题4-11 j=6 b=12 体系为6个结点由12根链杆联结组成 W = 2jb = 2612=0 从地基开始，依次依次增加二元体AEF、ADE、FCE、CBF 几何不变体系，有一个多余约束。按增加二元体顺序的不同，多余约

26、束可以是AB、BC、CD、DE、EF中的任意一个。 J=6， b=9, r=3 W= 2J- 由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。三刚片用不共线三铰相连，故原体系为无多余约束的几何不变体系。 习题4-13 (a) (1)去掉与地基之间的连接。将1个三角形和2根杆件看成钢片。几何不变，没有多余约束 (b) 去掉与地基之间的连接。 上部结构为根杆，根为刚片，根为约束。几何不变体系, 没有多余约束。无多余约束的几何不变体系 55 习题4-14 瞬变体系 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚

27、片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加. 瞬变体系 考研试卷 思考题: 1. 几何可变体系是否在任何荷载作用下都不能平衡？ 56 2. 有多余约束的体系一定是超静定结构 吗？ 3. 图中的哪一个不是二元体(或二杆结点)？ 4. W0 是保证体系为几何不变的必要和充分条件吗？ 一、判断题 1. 瞬变体系的计算自由度一定等零。 2. 有多余约束的体系一定是几何不变体系。 3. 图示体系作几何分析时，可把A点看作杆1、杆2形成的瞬铰。 4. 图示体系是几何不变体系。 二、选择填空 4.多余约束”从哪个

28、角度来看才是多余的? A.从对体系的自由度是否有影响的角度看 B.从对体系的计算自由度是否有影响的角度看 C.从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度看 D.从区分静定与超静定两类问题的角度看 图a 0 个多余约束 图b 1 个多余约束 图c 3 个多余约束 图d 2 个多余约束 57 6.图a 属几何 A 体系。 A.不变，无多余约束 B.不变，有多余约束 C.可变，无多余约束 D.可变，有多余约束 图b属几何 B 体系。 A.不变，无多余约束 B.不变，有多余约束 C.可变，无多余约束 D.可变，有多余约束 7.图示体系与大地之间用三根链杆相连成几何 B 的体系。 A.不变且无多余约束 B

29、.瞬变 C.常变 D. 不变，有多余约束 8.图示体系为：_A_。 A.几何不变无多余约束 B.几何不变有多余约束 C.几何常变 D.几何瞬变。 9.图示体系的计算自由度为 D 。 A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 三、考研题选解 1. 三个刚片用不在同一条直线上的三个虚铰两两相连， 则组成的体系是无多余约束的几何不变体系。提示：规律3，其中的“铰”，可以是实铰，也可以是瞬铰。 58 2.图示平面体系中，试增添支承链杆，使其成为几何不变且无多余约束的体系。 3、图示体系几何组成为： C A.几何不变，无多余联系 B.几何不变，有多余联系 C.瞬变 D.常变 4.图示体系是 A 。 A.无多余约束的几何不变体系 B.瞬变体系 B.有无多余约束的几何不变体系 D.常变体系 5.图示体系A 铰可在竖直线上移动以改变等长杆AB、AC的长度，而其余结点位置不变。当图示尺寸为哪种情况时，体系为几何不变。 A. h2m B. h4m和h C. h4m D. h2m和h 6.对图示结构作几何组成分析。3次超静定几何瞬变6次超静定h=3m 其余静定。 60