第10章习题解答.docx

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1、第10章习题解答习题十 1证明下面幂法产生的数列mk满足mk=l1+O(wk)，当A对称时， mk=l1+O(w2k)，其中w=l2l1。 幂法如下： 选初值v0Rn(v02=1),计算m0=v0Av0 Tk=0,1,2,L uk=Avk-1 vk=ukTuk2mk=vkAvk 证明 假设ARnn具有n个线性无关的特征向量，A特征对为(li,xi)(i=1,2,L,n)且特n征值满足l1l2Lln。初值v00R满足 v0=a1x1+a2x2+L+anxn nnjnjAv0=kaj=1Axj=kaj=1lxj=la1x1+aj(lj/l1)xjl1(a1x1+ek) kjk1kkj=2其中 ne

2、k=Av0Av0k2kaj=2j(lj/l1)xj=O(lj/l1)=O(w) kkk而vk=， 1 mk=vkAvk=T(Av0)Av0TkkTAk+1kv022Av0=l12k+1(a1x1+ek)(a1x1+ek+1)l12kTa1x1+ek22=l1(a1x1+ek)(a1x1+ek+1)a1x1+ek2222由于(a1x1+ek)T(a1x1+ek+1)=a12x1Tx1+O(wk)，a1x1+eka1x1x1+O(w)k2Tk=a1x1x1+O(w)，得 2Tk2Tka1x1x1+O(w)mk=l12T=l1+-11k2Tka1x1x1+O(w)axx+O(w)111O(w)k=l

3、11+2T=l1+O(w)ka1x1x1+O(w)当A对称时，可取特征向量系x1,x2,L,xn是标准正交的。则有 (a1x1+ek)(a1x1+ek+1)=aa1x1+ek22Tn21+aj=22j2j(lj/l1)2k+1=a1+O(w22k+1) n=a+21aj=2(lj/l1)2k=a1+O(w22k) 2k与前类似有mk=l1+O(w)。证毕。 2设ARnn，对0xR，称R(x)=nxAxxxTT为A在点x的Rayleigh商。证明：对给n定的0x0R，Ax0-mx02(mR)达到极小的充分必要条件是m=R(x0)。 证明 由 Ax0-mx0=Ax0-R(x0)x0+(R(x0)-

4、m)x0 和 x0(Ax0-R(x0)x0)=0 T得 Ax0-mx022=Ax0-R(x0)x022+(R(x0)-m)x022Ax0-R(x0)x022 2 当且仅当m=R(x0)时，上式等号成立。 注 该题说明Rayleigh商是在2范数下的最优近似特征值。 3设ARnn，lim是其一对共轭复特征值，对应的特征向量是xiy设ACnn，y与x分别是矩阵A的单重特征值l的左和右特征向量，即Ax=lx,yA=ly，证明yx0。 HHH证明 反证法。假设x与y线性相关，必有y=kx(k0R) A(x+iy)=(l+im)(x+iy)(1+ik)Ax=(1+ik)(l+im)xAx=(l+im)x

5、 上式左边是实向量，右边是复向量，矛盾。 不妨设x2=1，构造酉矩阵U=x,U1，则 UHlAU=a CH令 yHHHH-1U=1,a(lI-C)H可验证yA=ly，且yHx0。 注：单重特征值的条件用于特征向量是平行的，且上面矩阵的逆是有意义的 14.设矩阵A=0-2000-20，用古典Jacobi法求它的全部特征值和所对应的特征向量。 解 取A的非对角主元a13=-2(p=1,q=3)， d=aqq-app2apq=a33-a112a13=4-1-4=-34， 3 t=sgn(d)d+d+1=252=34+-1(34)+1152=-12c=11+t2，s=ct=-， 50， 25cR1=0

6、-s010s250=0c15010-10TA1=R1AR1=0025U1=R1=01500001000， 5-150。 25从而A的特征值为 l1=0，l2=0，l3=5。 对应的特征向量分别为： x1=(25,0,15)，x2=(0,1,0)，x3=(-1TT5,0,25)。 T015说明基本QR迭代法对矩阵A=000010000110不收敛。 00解 矩阵A为上Hessenberg矩阵，利用基本QR迭代法： A0=A， 对A0进行QR分解,得到A0=Q0R0，其中 4 0-1Q0=0000-10000-1-1-100，R=00000001000010-10000-1000 0-101A1=

7、R0Q0=0010=A， 00以后进入死循环，故基本QR迭代法对矩阵A不收敛。 6证明下面算法保持矩阵的上Hessenberg 形不变。 算法 function H = hess_qr ( H ) for k = 1:n if k1 H(1:k,k-1:k) = H(1:k,k-1:k) * G1； end G1=G； end 证明仅用四阶矩阵演示证明。设 5 H=000H1=G(1,2,q1)H=000H3=G(3,4,q3)H2=00T%=H%G(2,3,q)=H212000000000 000000 0，H=G(2,3,q)H=22100T%=HG(1,2,q)=，H13100T%=H%

8、G(3,4,q)=， H323007证明如果l是不可约上Hessenberg矩阵HRnn的特征值，那么它的几何重数为1。即n-rank(H-lI)=1。 *证明 由于H-lI=*，故H-lI的前n-1列线性无关，因此rank(H-lI)n-1，又det(H-lI)=0rank(H-lI)n-1，所以 rank(H-lI)=n-1。证毕。 n-1n-1非奇异，8设x0R，如果Krylov矩阵K=K(A,x0,n)=则x,Ax,L,AxKAK000是友矩阵： 6 0101OO01-c0-c1M -cn-2-cn-1证明直接验证易知 01n-1=x0,Ax0,L,Ax0-c0-c1 M-cn-1Ax0,Ax0,L,An-1x0OO01成立，即AK=KC。 由于矩阵K非奇异，故K可逆，即K-1存在，从而可得K-1AK=C。证毕。 注用此结论可把一个不可约上Hessenberg矩阵H相似到友矩阵C。只要令 K=e1,He1,L,Hn-1e1 7