极限的概念函数的连续性 详解.docx

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1、极限的概念函数的连续性 详解第二章.极限概念 函数的连续性 对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。 对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种描述作为一般的判别标准。 这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。 数列的极限描述 设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：a1,a2,a3,.，或

2、者简单地记成an。 观察这个数列取值变化， 有的数列变化具有下面的变化规律： 对于数列a1,a2,a3,.，假设存在一个确定的常数a，现在我们考虑变量an-a，如果我们任意找到一个数e，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素aN，使得在这个aN元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量an-a的值小于e， 换一句话来说，对于任意的e，总是存在一个N，当nN时， 总是有an-a0，总是存在正整数N，使得对于任意的自然数p和n0，有 an+p-anN时，总是有 ancnbn 成立，那么数列cn收敛，并且极限为c。 这个性质被称为夹逼定理，常常用来求某个合适的数列的极

3、限，前提是已知另外两个数列的极限，并且这三个数列具有定理所要求的关系。 如果我们把数列看成是以自然数为自变量的函数，那么就可以相应地定义这个函数的有界性和单调性，这两个概念是相当直观的，并且显然可以知道一个收敛数列必然是有界的，因为按照极限(收敛)的定义，满足 an-ae 的项总是有限的，因此总能够得到一个确定的函数的界。 反过来，则还必须加上一个条件(单调)： 单调而且有界的数列必定存在极限。 这是一个相当重要的极限存在定理，因为往往判定一个数列的单调性和有界性是比较容易的。 数列存在极限判别方法中，定义法、子数列法、夹逼法、需要知晓极限然后去验证。单调有界法、柯西法不需要知晓极限就可以验证

4、 极限四则运算的理解 如果一个数列是由两个收敛数列通过四则运算得到的，那么这个数列的收敛性质就由这两个数列决定， 这就是数列极限的四则运算性质： a如果数列an极限存在，那么limkan=kliman其中k为实数； b如果数列an、bn极限存在，那么lim(an+bn)=liman+limbn； 而数列的减法则没有一般的运算规则 c如果数列an、bn极限存在，那么lim(anbn)=limanlimbn；d如果数列an、bn极限存在，其中limbn0，那么limanlimanb=nlimbn，。 4 函数的极限 数列可以看成是对于一种最为简单的函数，唯一的差别，就是函数自变量以及函数值往往是连

5、续的，而数列的变量和数列的值是离散的。数列的这种离散取值形式对于数列的极限是无关紧要的。所以我们可以仿照数列的极限的定义，说明一个连续取值函数的极限的定义。 一个函数变化过程当中极限有两种？一种类似于数列的极限过程，函数自变量趋近任意大时的函数值极限过程，另一种是自变量趋近某一个特定值时函数值极限过程。 为了说明自变量与某个特定值的距离任意小这种变化的特定形式，我们定义一个概念，就是邻域的概念： 对于确定的一个实数x，我们定义它的一个邻域，是一个开区间(x-e,x+e),这个开区间的特别之处在于e可以看成是一个变量，并且一般是可以取任意小的变量，所以这个开区间的大小是可以任意地小。邻域这个概念

6、在下面函数的极限定义当中具有关键的作用，希望同学们认真加以体会。 首先假设函数f在点x0的邻域(x-d,x+d)内有定义，而在x0点不一定有定义。如果存在一个确定的点A，而我们如果取点A的任意一个邻域(A-e,A+e)，都可以找到相应的点x0的邻域(x-d,x+d),只要自变量x属于邻域(x-d,x+d)里，对于函数y=f来说，就有因变量y属于邻域(A-e,A+e)，这样我们就可以说当函数自变量x趋向于点x0时， 函数以A为极限，记成 xlixmf(x)=A0。 我们也可以不使用邻域是概念，直接使用实数之间距离的概念，类似于数列极限的形式来说明函数的极限： 对于函数y=f，假设存在两个确定的常

7、数x0和A，现在我们分别考虑变量x-x0和f(x)-A，如果我们任意找到一个数e，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够找到一个相应的数d，当变量x-x0满足 0x-x0d时，使得相应的变量f(x)-A的数值小于e， 换一句话来说，就是对于任意的e，总是存在一个d，当 0x-x0d时，总是有 f(x)-Ae成立，这时我们就把A称为函数f在x趋向于x0时的极限。我们使用记号nliman=a来表示这点极限。否则我们就说函数f在x趋向于x0时是发散的。 5 由于函数变化的连续性，使得函数的极限的概念比数列的极限的概念要显得复杂，因此我们还可以通过图形的方式来加强理解。 如下图所示，我们可以分别

8、观察在X轴和Y轴上的取值情况。 可以看到，在x的取值向x 0接近的过程中，函数y=f表现出了这么一种现象，就是在Y轴上存在一点A，无论我们取多么小的A的一个邻域，我们都总能至少找到x0的一个邻域，使得在这个邻域内的所有函数值都处于我们取定了的A的那个邻域内，这就说明了函数在x趋向x0时，存在一个极限A。 假如在x0的这个邻域内存在一点，使得函数值超出了A的那个邻域，比如函数的图形如图中虚线所示，突出一个峰B点，那么我们还可以在继续向x0接近的过程中，找到更小的邻域使函数值在A邻域内。 另外在图中，我们也可以看到，极限的存在并不要求函数在x0是有定义的，只要函数能够无限地接近这点就可以了。 从图

9、形当中我们可以体会到，函数在某点存在极限，反映的是函数在这点附近的局部性质，函数在这点是否具有这个极限性质，是分析函数在这点的行为的一个强大工具。后面的学习当中，我们能够进一步体会到，判断一个函数在某点处是否具有极限，是表示函数在这点行为的重要特征。 6 函数的单侧极限，左右极限，函数的分段点处的极限。 在前面的图形说明当中，我们可以看到，函数自变量的取值趋向某个特定的点，还可以取特定的方向，比方说只从左边或者只从右边接近特定的点，这就自然地得到了单侧极限的概念。 根据自变量趋向某点的方向的左右，可以把单侧极限分成两种，即左极限与右极限。顾名思义，左极限就是在X轴上，自变量总是从左边趋向特定的

10、点，右极限就是在X轴上，自变量总是从右边趋向特定的点，引入这个概念，首先在理论上具有重要的作用，这体现在如下的定理当中： 一个函数在自变量趋向某点时具有极限A，这件事的另一个说法，或者说它的一个充要条件就是函数在这点的左右极限都存在，并且都是A。 这个定理可以应用于对很多函数在特定点的极限性质的判断，当然一般是应用于否定性的判断，即通过计算出函数在这个特定点的左右极限，由于它们不相等，从而得到函数在这点不存在极限的结论。 这个定理还具有另外一个方面的实际应用价值，就是用于分析分段函数。我们知道分段函数在分段点处的性质是分段函数最为关键的地方，而对于分段函数在分段点处的极限性质，就只有通过分别地

11、考虑函数在分段点处的左右极限来得到。 1函数的极限的定义当中，e与d是取值是一一对应的吗？ 答：不对。 这里的原因与数列的情形是类似的。这两个变量同样是意味着两个区域，而并不是两个数值变量的关系。因此在作具体问题时，可以灵活地选择最为方便的途径来求出它们的对应关系。 2函数的极限的定义当中，不等式0x-x0d里面大于0是必要的吗？ 答：是。 初学者往往忽略了这点，因为在数列的极限的定义当中不存在这个问题。 这里的意思其实就是取x0的去心邻域。因为函数可以对某点取极限，而同时函数不一定需要在该点有定义，这种情况在实际问题当中是有必要考虑的，因此为了照顾到这种情况，就在定义当中加入了这点要求，而同

12、时不会损害极限的定义本身。 3求极限的主要方法有哪些？ 答：在求极限之前，要注意观察，通过观察来判断需要应用什么样的途径与方法，而不是盲目尝试，一般的方法有如下的几种，其中有些方法是基于后面的知识，我们也列出，以供参考： 对于函数在连续点的极限，直接代入即可； 运用消去零因子的方法； 通过一定的变形，利用两个重要的极限； 在某些特殊情况下，需要通过左右极限来判断函数在某点的极限； 运用等价无穷小或者无穷大的性质； 运用单调有界性质； 运用夹逼准则； 通过变量代换； 对于未定式，必要的话可以考虑运用罗必塔法则； 对于数列，可以先尝试计算出有限和，再取其极限； 运用级数收敛的必要条件； 通过运用定

13、积分的定义来得到； 应用导数的定义； 运用微分中值定理。 7 无穷小量，无穷大量，无穷小量的阶。 在微积分的历史上，一种具有重要意义的极限过程，即无穷小量充当了很关键的角色。而在理论的角度来看，这种极限过程也是非常有用的。 所谓无穷小量就是这样一种函数的极限过程，即当函数自变量趋向于某个特定的值时，函数值本身趋向于0，直观地说，也就是函数值要多小就有多小。更清楚地说明这点，就是： 对于任意的e，总是存在一个d，使得当 0x-x0d时，总是有 f(x)e成立。 这里的f在x趋向于x0时，就是无穷小量。 正如一个函数的极限和这个函数在这点的取值不能混为一谈一样，无穷小量和0不能混为一谈。无穷小量是

14、一种极限过程，可以理解为是“运动物体”，而任何一个确定的数值，总是一个“静止物体”。一个无穷小量可以无限地接近而总是不能取值为0，因为极限过程毕竟表达的是一个函数值的变化过程。 把无穷小量看成是以0为极限值的函数，则同样可以对它进行四则运算，我们可以得到如下定理： 有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 常数和无穷小量的乘积是无穷小量。 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 既然以0为极限的函数具有特定的研究价值，那么反过来，比方说无穷小量的倒数，是趋向于无穷大的，也是具有一点价值的研究对象。这就是所谓无穷大量。 类似地，我们可以定义无穷大量为当函数自变量趋向于某

15、个特定的值时，函数值本身趋向于无穷大，直观地说，也就是函数值要多大就有多大。我们更清楚地说明这点，就是： 对于任意的e，总是存在一个d，使得当 0x-x0e成立。 这里的f在x趋向于x0时，就是无穷大量。 8 无穷小量最为重要的研究价值，体现在我们可以对它的趋向于0的“速度”进行比较。这种比较的结果，就得到了阶的概念。 设在同一个极限过程当中，a和b都是无穷小量，如果 a0b，那么a关于b就是高阶无穷小量，反过来b关于a就是低阶无穷小量。写成a=o(b)。 a1b，那么a和b就是等阶无穷小量，写成ab。并且称a和b互为主要部分。 如果ab，则有a-b=o(a)和a-b=o(b)。反过来也成立。

16、 这个定理则是进行近似计算的基本定理，即用主要部分代替一个变量，误差为一个高阶无穷小。 aa,(a0)b，那么a和b就是同阶无穷小量，写成aab。 利用无穷小量的性质求极限 无穷小量无穷大量之间的关系求极限 首先, 利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时常常用到;再者利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简化。 lim1sin例1：求xx2x的值 lim1解：因为xx2是无穷小量，而limxsinx是有界变量，所以 lim1 xx2sinx还是无穷小量，即 1xlimsin

17、x2x=0 9 利用等价无穷小量代换来求极限 limf(x)所谓等价无穷小量即xg(x)=1称f(x)与g(x)是xx0时的等价无穷小量，记作f(x)g(x).(xx0). 定理：设函数f(x),g(x),h(x)在u0(x0)内有定义， 且有f(x)g(x).(xx0) 1.若limxf(x)g(x)=A则xlimh(x)g(x)=Alimh(x)f(x)=Blimh(x)2.若x则xg(x)=B limg(x)h(x)=limg(x)limf(x)h(x)=证明：xxf(x)x1A=A 可类似证明，在此就不在详细证明了！ 由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限 limtanx-

18、sinx例1：求x0sinx3的极限 tanx-sinx=sinx解：由 cosx(1-cosx).而sinxx,(x0)； cosxx21-2,(x0)；sinx3-x3x3,(x0). x2limtanx-sinxx=12=1故有x0sinx3limx0cosxx32 10 注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握limsinx一些常用的等价无穷小量，如：由于x0x=1，故有arctanxsinxx,(x0).lim又由于x0x=1故有arctanxx，(x0)。 另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极

19、限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有tanxx，tanx-sinx(x0)0)lim=limx-x=；sinxx,(x，而推出的x0sinx3x0sinx30则得到的结果是错误的。 小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。 11 函数极限的四则运算法则。 在研究数列的极限时，我们已经讨论了数列极限的四则运算性质，对于函数的极限，具有同样的性质，因为这种运算性质只涉及到极限过程本身，与是数列还是函数无关。我们列出如下： 首先假设函数f和g都在自变量x趋向于x0时存在有限的极限，那么就有下面的运算规则，： a如果f极限存在，那么limkf

20、(x)=klimf(x)其中k为实数； b如果f、g极限存在， 那么limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)； c如果f、g极限存在， 那么limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)； d如果f、g极限存在，其中limg(x)0 limf(x)limf(x)那么g(x)=limg(x)，。 注意这里函数的运算规则里面包括了减法，而数列的减法则没有一般的运算规则。 函数除了通过四则运算进行构造以外，另一个重要的函数构造途径就是函数的复合，那么复合函数的极限与其组成函数的极限有什么关系呢？ limg(x)=u0=A 设xx0，ulimf(u)u0； 设存在x0的一个去心邻域。

21、对于在这个邻域内的所有x都有g(x)u0，也就是说，在x趋向于x0的过程当中，g不会取值u0； 在这两个条件下，我们有 xlimfg(x)=xlimf(u)=A0uu0这个法则对于我们求函数的极限是非常有用的，因为常常需要进行变量代换，使得复杂函数变换为比较简单的函数，从而得到所需要的极限。 12 函数极限存在的判别定理 类似于数列极限的夹逼定理，同样存在函数极限的夹逼定理： 设两个函数g和h在xx0时，存在同一个极限A，而在x0的去心邻域里，存在另一个函数f满足以下条件： g(x)f(x)h(x)， 那么在xx0时，f也存在极限A。 在有关函数极限的问题当中，记住重要的一点，就是函数的自变量

22、只需要考虑在它所趋向的点的去心邻域内的有定义即可。 这个定理在某些条件下，可以应用于求函数在某点的极限，即如果已知g和h具有简单极限性质，和要考虑的函数f具有上面不等式所要求的性质，则可以直接得到f函数的极限性质。 利用这个定理，可以得到重要的两种形式的函数的极限。 两个重要极限。 对于这两个极限，重要的是抓住它们的结构特征： sinxlim=1x0x。 这个极限的结构特征可以表示为： limsin=10， 也就是说，括号里的部分是无穷小量。这个极限可以应用于求很多函数的极限。 1xlimx(1+x)=e这个极限的结构特征可以表示为： lim(1+1)=e也就是说，括号里的部分是无穷大量。 这

23、个极限同样可以应用于求很多函数的极限。 我们在后面的练习当中，会遇到很多的例子。 13 函数的连续性，单侧连续性。 我们已经提到过实数的连续性，不过实数的连续性是比较困难的概念，我们不要求掌握，至于函数的连续性，则是另外一个概念，利用极限作为工具，可以说明函数的连续。 我们说函数在某点是连续的，意思是说 函数在这点的某个领域内有定义； 函数在这点存在极限； 函数在这点的极限等于函数在这点的函数值。 精确地说，就是： 我们说函数在某点x0处是连续的，意思是说 函数在这点的某个领域内有定义； 对于任意给定的e，总是存在某个d，使得只要 x-x0d，就可以得到相应的 f(x)-f(x0)e， 注意与

24、极限定义相比，这里x-x0没有要求大于0，而是存在等于0的情况。 我们可以看到极限与连续存在紧密联系，比照单侧极限的可以用单侧极限来定义单侧连续。 函数在某点存在左极限，并且左极限值等于函数在这点的因变量值，这称函数在这点左连续； 函数在某点存在右极限，并且右极限值等于函数在这点的因变量值，这称函数在这点右连续。 显然函数在这点连续的一个充要条件就是函数在这点同时左连续与右连续，左右极限值都同时等于函数在这点的因变量值。 同样这种单侧连续概念可以应用于研究分段函数。 最后，我们可以看到，函数极限性质是函数一种局部性质，函数连续性同样是函数在一点的局部性质，都要求函数在这点的某个邻域有定义。邻域

25、概念本身就是一个表达一点的局部范围的概念。 对于一个函数，如果它在定义域的每一点都是连续的，则称函数在它的定义域上都是连续的。 14 连续函数的运算性质，初等函数的连续性。 非常类似于极限的运算性质，对于连续性，由于它的极限本质，同样存在相应的四则运算性质和复合性质： 1设函数f和g在x0处连续，则函数 af(x)+bg(x)，其中a，b为任意常数； f(x)g(x)； f(x)g(x)，其中g不能等于0。 都在x0处连续。 2设函数u=g在x0处连续，函数y=f在u0处连续，g= u0，那么函数 y=fg在x0处连续。 有了这两个基本定理，我们从基本初等函数的连续性开始，可以一步一步地得到初

26、等函数的连续性，即任意初等函数在其定义域上的每一点处都是连续的。 这个结论具有极其重要的价值。后面我们可以看到，初等函数的这个性质使得我们对它们的处理大大简化了。 闭区间连续函数的性质，中值，最值。 所谓区间的连续性，直观地看，就是实数轴X上面的一个线段区间， 而函数的连续性，就是把X轴上面的一个连续线段区间，变换为Y轴上面的一个连续线段区间。 对于所谓实数区间的连续性，我们只能从直观的角度来把握，而不能作更进一步的理论探讨，因为这超出了本课程的范围。 对于连续函数来说，实数轴上面的闭区间具有非常重要的意义，首先我们给出一个基本定理： 定义在有限闭区间上面的连续函数的值域也是有限闭区间。定义域

27、是闭区间函数的值域也是闭区间 从这个基本定理出发，我们可以从下面的几个定理体会到闭区间对于连续函数的意义之所在： 定义在一个闭区间上面的连续函数，必定存在函数在这个区间上面的最大值与最小值。这就是所谓最值定理。 定义在一个闭区间上面的连续函数，必定是有界的。这就是所谓有界性定理。 定义在一个闭区间a，b上面的连续函数f，对于满足fa）cf的任意的c值，总是存在一个相应的xa,b，使得f(x)=c.这就是所谓介值定理。 定义在一个闭区间a，b上面的连续函数f，如果ff0，则总是存在一个xa,b，使得f(x)=c.这就是所谓零值定理。 如果函数y=f为在闭区间a，b上面严格单调增加的连续函数，f=

28、A，f=B，则在闭区间A，B上面存在f的反函数x=g为严格单调增加。这实际上是极其基本的反函数存在定理。 15 函数在这点没有定义； 函数在这点左右极限之一不存在或左右极限都不存在； 函数在这点的左右极限存在但不等于该点的函数值 怎么理解函数的间断点及其分类？ 答 函数的间断点是以否定连续性来定义的，要讨论函数f(x)在点x=x0 的连续性，主要是讨论极限xlimxf(x)0。按现行高等数学教材的定义，只有当f(x)在x0的邻域或某个去心邻域Ux0,d内有定义时，才可能讨论此极限，这时也说此极限是有意义的。如果邻域无意义，极限也没有意义，说函数f(x)在点x0是连续或间断，也就没有意义。 此外

29、，由于我们定义了单侧极限，因此，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，我们也可说该点是函数的连续点或间断点。 间断点的分类也按极限xlimxf(x)0的情况来分：左、右极限都存在的间断点称第一类间断点 左右极限至少有一个不存在的间断点称为 第二类间断点。 此外，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，也按单侧极限存在与否来对间断点分类，例如 1f1(x)=ex，x=0是f1(x)的第二类间断点。因此f1(0+0)=+，f1(0-0)=0， 所以x=0不是第一类间断点，也不是无穷间断点。 f2(x)=lnx，x=0是f2(x)的第二类间断点；x=-1即不是f2(x)的间断点，也不是连续点。 f3(x)=x，x=0是f3(x)的连续点，因为xlim0+0f3(x)=f3(0)，即f3(x)在x=0右连续，而在x0时f3(x)无定义。 fx4(x)=sinx，x=0是f4(x)的第一类间断点，因为右极限存在，而左极限无意义。 16