微积分A复习举.docx
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1、微积分A复习举第十章 多元函数微分学及其应用 距离;领域;外点;边界点;开(闭)集.区域;有界闭区域.基本概念多元函数极限连续;偏导数;全微分方向导数;梯度求复合函数的偏导偏导数的计算一个方程所确定的隐函数求隐函数的偏导方程组所确定的隐函数曲线的切线与法平面几何应用曲面的切平面与法线定义极值存在的必要条件极值与最值极值存在的充分条件应用 条件极值最值方向导数: 导数沿任一方向的变化率梯度 gradf=f,fxy22x2+y2多元函数微分及其应用例1 求极限 lim(x+y)x0y0lnrr01rlim22解: 令 x+y=r, 则原式=limr=er0r0rlimrlnr=e=1 x2y2例2
2、 考察极限lim22 x0xy+(x-y)2y0 1 x2y2x4=lim4=1 解:当x,y沿y=x趋于零时,lim22x0xy+(x-y)2x0xy=xx2y24x4=lim4=0, 当x,y沿y=2k趋于零时, lim22x0xy+(x-y)2x04x+x2y=2xx2y2所以极限lim22不存在. x0xy+(x-y)2y0xy,x2+y202例3 证明z=f(x,y)=x+y2在点(0,0)连续,偏导数存在,但不可微. 0,x=y=0证明 x+y0时, 0f(x,y)22x2+y22x2+y2yz0.当变量x,y,z分别增加一个单位时, 哪个变uxyz量对u的影响最大? 分析: 由偏
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