小学奥数第55讲对称变换.docx

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1、小学奥数第55讲 对称变换55、对称变换 据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题：从A地出发到河边饮马，再到B地，走什么样的路最近？如何确定饮马的地点？ 海伦的方法是这样的：如图4.33，设L为河，作AOL交L于O点，延长AO至A，使AO=AO。连结AB，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。再连结AC，则路程为最短的路程。 为什么呢？因为A是A点关于L的对称点，AC与AC是相等的。而AB是一条线段，所以AB是连结A、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=AC+CB=AB也是最短的一条路了。这就是海伦运用对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。运用这种办法，可以巧妙地解

2、决许多几何问题。 通过中心对称图形的对称中心，任意画一条直线，都可以把原图形均分成两个大小、形状完全相同的图形。利用这一性质，可以使某些较复杂的问题迅速地解答出来。例如 把图形的面积，用一条直线分成相等的两个部分。 解题时，只要把这个图形看成是由两个矩形组成的组合图形，而矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形， 所以只要找出两个对称中心，利用中心对称图形的上述性质，通过两个对称中心作一条直线，就能把它的面积分成相等的两个部分了。如前页的三种分法都行。 如图4.36，长方形ABCD内有一个以O点为圆心的圆，请画一条直线，同时将长方形和圆分为面积相等的两个部分。 大家知道，长方形和圆都既是轴对称图形，又是中心对称图形。长方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是它的圆心。 根据中心对称图形的上述性质，先找出这两个对称中心O点和P点，再过O、P作直线L，此直线L即是所画的那根直线。