导数压轴题 导数与数列不等式的证明.docx

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1、导数压轴题 导数与数列不等式的证明导数与数列不等式的证明 例1.已知函数f(x)=alnx-ax-3(aR) (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)证明:1+12+13+L+1nln(n+1)(nN*) (3)证明:ln22ln33ln44ln55Llnnn1n(n2,nN*) n(4)证明:ln2ln3ln4ln5lnn1n+122324252Ln22n(n2,nN*) (5)证明:ln24ln34ln44ln54lnn4(n+1)224344454Ln44n(n2,nN*) ln22ln32(6)求证:lnn2(n-1)(2n+1)22+32+.+n22(n+1)(n2,nN*) (7)

2、求证:1221+1421+11+82.1+122ne(nN*) 例2.已知函数f(x)=lnx-x+1 (1)求f(x)的最大值; nnn(2)证明不等式:12nen+n+L+n0时,求证:f(x)x3; (2)当nN*时,求证:nf1n-1n3恒成立 例5.已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1(kR), (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)0恒成立,试确定实数k的取值范围; (3)证明:ln23+ln34+L+lnnn+11). 导数与数列不等式的证明 收集整理:张亚争 联系电话:15936380010 1 / 2 例6.已知函数f(x)=ax+b+c(a0)的图

3、像在点(1,f(1)处的切线方程为y=x-1 x(1)用a表示出b,c; (2)若f(x)lnx在1,+)上恒成立,求a的取值范围; (3)证明:1+ 例7.已知函数f(x)=2alnx-x2+1 (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间及f(x)的最大值; (2)令g(x)=f(x)+x,若g(x)在定义域上是单调函数,求a的取值范围; 111n+L+ln(n+1)+(n1). 23n2(n+1)3n2-n-222222+L+(3)对于任意的n2,nN,试比较与的ln2ln3ln4ln5lnnn(n+1)*大小并证明你的结论 1+ln(x+1)(x0) x(1)函数f(x)在区间(0,+)

4、上是增函数还是减函数?证明你的结论 k(2)当x0时,f(x)恒成立,求整数k的最大值; x+1(3)试证明:(1+12)(1+23)(1+34)L(1+n(n+1)e2n-3(nN*). 例8.已知函数f(x)= 例9.已知函数f(x)=x-a-lnx(a0) (1)若a=1,求f(x)的单调区间及f(x)的最小值; (2)若a0,求f(x)的单调区间; ln22ln32lnn2(n-1)(2n+1)(3)试比较2+2+.+2与n2,nN*)的大小,并证明 (23n2(n+1)例10.已知函数f(x)=lnx,g(x)=x+a(aR), x(1)若x1时,f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围 (2)求证: 例11.已知函数f(x)=lnx+x-ax 2ln2ln3lnn1L(n2,nN*) 34n+1n(1)若函数f(x)在其定义域上为增函数,求a的取值范围; (2)设an=1+ 例12.设各项为正的数列an满足a1=1,an+1=lnan+an+2,nN*.求证:an2n-1. 122-L-anln(n+1)+2n (nN*),求证:3(a1+a2+.+an)-a12-a2n导数与数列不等式的证明 收集整理:张亚争 联系电话:15936380010 2 / 2