导数的四则运算法则.docx

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1、导数的四则运算法则1.2.3导数的四则运算法则 一、教学目标： 1知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f=x+x的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=xg(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验观察归纳抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法

2、则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，如果Dx0时，Dy与Dx的比均变化率）有极限即22Dy处的切线的斜率因此，如果y=f(x)在点x0可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为y-f(x0)=f/(x0)(x-x0) 3. 导函数(导数):如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着/一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x), 称这个函数f(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数， 4. 求函数y=f(x

3、)的导数的一般方法： 求函数的改变量Dy=f(x+Dx)-f(x)求平均变化率Dyf(x+Dx)-f(x)= DxDx/取极限，得导数yf(x)=limDy Dx0Dx5. 常见函数的导数公式：C=0；(x)=nxnn-1、探析新课 两个函数和的导数等于这两个函数导数的和，即 f(x)+g(x)=f(x)+g(x)证明：令y=f(x)=u(x)v(x)， f(x)-g(x)=f(x)-g(x) Dy=u(x+Dx)v(x+Dx)-u(x)v(x)=u(x+Dx)-u(x)v(x+Dx)-v(x)=DuDv， DyDuDvDyDuDvDuDv=，lim =lim=limlimDx0Dx0Dx0D

4、x0DxDxDxDxDxDxDxDx即 u(x)v(x)=u(x)v(x) 例1：求下列函数的导数： y=x2+2x； y=x-lnx； y=(x2+1)(x-1)； y=1-x2+x。 x2解：y=(x2+2x)=(x2)+(2x)=2x+2xln2。 y=(x-lnx)=(x)-(lnx)=1-。 2xx1232322y=(x+1)(x-1)=(x-x+x-1)=(x)-(x)+(x)-(1)=3x-2x+1。 1-x1122(4)y=2+x=2-+x=x-2-x-1+x2xxx()=(x-2)-(x-1)+(x2)=-2x-3+x-2+2x=-例2：求曲线y=x-321+2x32xx31

5、解：y=x-x1上点处的切线方程。 x11=x3-=3x2+2。 xx()将x=1代入导函数得 31+即曲线y=x-31=4。 11上点处的切线斜率为4，从而其切线方程为 y-0=4(x-1)， x即y=4x-4。 22设函数y=f(x)在x0处的导数为f(x0)，g(x)=x。我们来求y=f(x)g(x)=xf(x)在x0处的导数。 2f(x0)Dy(x0+Dx)2f(x0+Dx)-x0=DxDx2(x0+Dx)2f(x0+Dx)-f(x0)+(x0+Dx)2-x0f(x0)= Dx2(x0+Dx)2-x02f(x0+Dx)-f(x0)=(x0+Dx)+f(x0)DxDx令Dx0，由于 li

6、m(x0+Dx)=x0 Dx022Dx0limf(x0+Dx)-f(x0)=f(x0) Dx2(x0+Dx)2-x0lim=2x0 Dx0Dx2知y=f(x)g(x)=x2f(x)在x0处的导数值为x0f(x0)+2x0f(x0)。 因此y=f(x)g(x)=xf(x)的导数为x2f(x)+(x2)f(x)。 2一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x)，我们有 f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)f(x)g(x)-f(x)g(x) g(x)=g2(x)特别地，当g(x)=k时，有 kf(x)=kf(x) 例3：求下列函数的导数： y=xe； y

7、=2xxsinx； y=xlnx。 解：y=(x2ex)=(x2)ex+x2(ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex； y=(xsinx)=(x)sinx+x(sinx)=sinx2x+xcosx； y=(xlnx)=(x)lnx-x(lnx)=1lnx-x例4：求下列函数的导数： 1=lnx+1。 xsinxx2y=； y=。 xlnx(sinx)x-sinx(x)cosxx-sinx1xcosx-sinxsinx=解：y=； 222xxxxy=x(x)lnx-x(lnx)=2lnx(lnx)2222xlnx-x2ln2x1x=x(2lnx-1) ln2x(三)、练习：课本P21练习：1、2. 课本P22练习1. 课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 f(x)+g(x)=f(x)+g(x)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)、作业： 五、教后反思： f(x)-g(x)=f(x)-g(x) f(x)f(x)g(x)-f(x)g(g(x)=x)g2(x)