多元函数积分学100题.docx

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1、多元函数积分学100题 多元函数积分学100题 一计算下列二重积分 1. (1-x-y)ds，其中D:x0,y0,x+y1； D2. xDy2+yxy2，其中D:yxy,1yds23； 3. xeds ，其中D:D1xy2,1x2； 4. eDx+yds，其中D:x+y1； 5. xyds，其中D是由y=x-1及y2=2x+6所围成的闭区域； D6. (x+2y)ds，其中D是由y=2x2及y=1+x2所围成的闭区域； D7. sinyds，其中D是由x=0,y=1及y=x所围成的闭区域； D3D28(3x+y)ds，其中D是由y=x2,y=4x2及y=1所围成的闭区域； 9. Dxyds，其

2、中D:x2yxy+1x； 10. D2ds，其中D是由y=x+1,y=2x及x=0所围成的闭区域； 11. y-xds，其中D:0x1,0y1； D22212. xyds，其中D:x+ya； 2D13. 14. eDx+y22ds，其中D:x+y4； 222222ln(1+x+y)ds，其中D:x+y1,x0,y0； D15. arctanD2Dyxds，其中D是由x+y=4,x+y=1,及y=0,y=x围成的第一象限内的闭区域； 22222216. R-x-yds，其中D:x+yRx； 2217. x+y-D2214ds，其中D:x+y1； 2218. D22xds，其中D:x+yx； 19

3、. D1-x-y1+x+y22222222ds，其中D:x+y1,x0,y0； 20. xyds，其中D是由两条双曲线xy=1,xy=2,及y=x,y=4x围成的第一象限内的闭区域； D21. (Dxa22+yb22)ds，其中D:xa22+yb221； 22. dxe0x22-y2p60pydy； 23. dy6cosxxdx； 24. 设D是以点O(0,0),A(1,2),B(2,1)为顶点的三角形区域，求xdxdy； Dx2y25. 设f(x,y)=01x2,0yx，求f(x,y)dxdy，其中D:x2+y22x； 其他.Dds，其中D是由y=-a+22a-x(a0)及y=-x所围成的闭

4、区域； 26. Dx+y222224a-x-y1(x+y)2227. y1+xeD2dxdy，其中D是直线y=x,y=-1及x=1围成的闭区域； 222228. eD-(x+y-p)22sin(x+y)dxdy，其中D:x+yp； 222229. (x+y+y)ds，其中D是由圆x+y=4及(x+1)+y=1所围成的平面区域； D22230. ydxdy，其中D是由曲线x=-2y-y及x=-2,y=0,y=2所围成的平面区域； D二 计算下列三重积分 31. Wdu(1+x+y+z)2，其中W是由x+y+z=1和三个坐标平面所围成的空间闭区域； 32. xyzdu，其中W是由x=1,y=x,z

5、=y,z=0所围成的空间闭区域； W33. xyzdu，其中W是由z=xy,y=1,y=x,z=0所围成的空间闭区域； W22234. edu，其中W：x+y+z1； 23|z|W35. Wzln(1+x+y+z)du1+x+y+z222222，其中W：x+y+z1； 22236. (x+z)du，其中W是由z=Wx+y,z=22221-x-y所围成的立体区域； 37. e-xW2-y222du，其中W：x+y1,0z1； 38. zdu，其中W是由z=x2+y2,z=W222-x-y所围成的立体区域； 39. Wsinx+y+zdux+y+z222222，其中W是由x2+y2+z21所围成的

6、第一象限内的闭区域； 40. (x+y)du，其中W：1x2+y2+z22,x0,y0； W2241. zx2+y2du，其中W是由y=W2x-x,z=0,z=3,y=0所围成的空间闭区域； 242. zdu，其中W：x2+y2+(z-a)2a2,x2+y2z2； W43. Wx+y+zdu，其中W是由球面x+y+z=z所围成的空间闭区域； 2222222244. (x+y)du，其中W是由曲面25(x2+y2)=4z2及平面z=5所围成的空间闭区域； W2222245. (x+y)du，其中W：00)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界22L； 60. ydx+xdy，其中L为圆周x=

7、Rcost,y=Rsint上对应于t=0到t=Lp2的一段弧； 61. (x+y)dx-(x-y)dyx+y22L，其中L为圆周x2+y2=a2(a0)； 262. xdx+zdy-ydz， G是曲线x=kq,y=acosq,z=asinq上对应于q=0到q=p的一段弧； G63. xdx+ydy+(x+y-1)dz，其中G是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线； G64. dx-dy+ydz，其中G是有向闭折线段ABCA，其中A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)； G65. (x+y)dx+(y-x)dy，其中L是曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)

8、到点(4,2)的一段弧； L66. (2x-y+4)dx+(5y+3x-6)dy，其中L为三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界； L222x2xL2267. (xycosx+2xysinx-ye)dx+(xsinx-2ye)dy，L为正向星形线x3+y3=a3(a0)；68. (x-y)dx-(x+siny)dy，其中L为圆周y=L222x-x上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧； 269. ydx-xdy2(x+y)(2,1)(1,0)L22，其中L是圆周(x-1)+y=2，方向为逆时针方向； 2270. 证明(2xy-y+3)dx+(x-4xy)dy与路径无关，并计算

9、其值； 2242371. 验证(2xcosy+ycosx)dx+(2ysinx-xsiny)dy是某个函数u(x,y)的全微分，并求u(x,y)； 72. 解全微分方程edx+(xe-2y)dy=0； 73. 设曲线积分yyLxydx+yj(x)dy与路径无关，其中j(x)具有连续导数，且j(0)=0，试计算2(1,1)(0,0)xydx+yj(x)dy的值； 274. 设G是曲线x=t,y=t2,z=t3上从t=0到t=1的一段弧，把对坐标的第二型曲线积分GPdx+Qdy+Rdz化为对弧长的第一型曲线积分； 75. 把对坐标的第二型曲线积分y=L化为对弧长的第一型曲线积分，其中L为圆周Pdx

10、+Qdy22x-x上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧； 五、计算下列曲面积分 76. (z+2x+43y)dS，其中S为平面2x2+y3+z4=1在第一卦限中的部分； 77. (z+2xy-2x-x)dS，其中S为平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分； 78. (x+y+z)dS，其中S为球面x2+y2+z2=a2上zh(0h0)之外部分的外侧； 2222283. (z+x)dydz-xdxdy，S是旋转抛物面z=212(x+y)介于平面z=0及z=2之间部分的下侧； 2284. f(x,y,z)+xdydz+2f(x,y,z)+ydzdx+f(x,y,z)+zdxdy，其中S是平面x

11、-y+z=1 在第四卦限部分的上侧； 85. (x+y)dzdx+zdxdy，其中S为锥面z=22x+y被平面z=1所截下在第一卦限部分的下侧； 2286. 化第二型曲面积分P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy为第一型曲面积分，其中S 是平面平面3x+2y+23z=6在第一卦限部分的上侧； 六、高斯公式和斯托克斯公式 87. xdydz+ydzdx+zdxdy，其中S为平面x=0,x=a,y=0,y=a,z=0,z=a所围立体表面S222的外侧； 222288. xdydz+ydzdx+zdxdy，其中S为球面x+y+z=a的外侧； 333S89. xz

12、dydz+(xy-z)dzdx+(2xy+yz)dxdy，其中S为上半球体0zS2232222a-x-y的表面的外侧； 2290. xdydz+ydzdx+zdxdy， S是介于平面z=0,z=3之间的圆柱体x+y9的表面的外侧； S91. 4xzdydz-ydzdx+yzdxdy，其中S为平面x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1所围立体表面S2的外侧； urrrur292. 求向量场A=(2x+3z)i-(xz+y)j+(y+2z)k穿过球面S：(x-3)2+(y+1)2+(z-2)2=9流向外侧的通量； 93. (x+az)dydz+(y+ax)dzdx+(z+ay)dxdy，其

13、中S为上半球面z=S323232a-x-y222的上侧； 2222ydx+zdy+xdz94. ，其中为圆周x+y+z=a,x+y+z=0，若从x轴的正向看去，取逆GG时针方向； 222(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz95. ，其中为椭圆，+x+y=aGxzbGa=1(a0,b0)，若从x轴的正向看去，取逆时针方向； 96. ABCAzdx+xdy+ydz，其中ABCA是以A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)为顶点的三角形边界曲线，它的正向与这个三角形所在平面上侧的法向量之间符合右手法则； 222297. 2ydx+3xdy-zdz，其中G为圆周x+y+z=9，z

14、=0，若从z轴的正向看去，取逆时针 G2298. G(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，其中G是曲线x+y=1,x-y+z=2，若从z轴的正向看去，取顺时针方向； urrrur3299. 求向量场A=(x-z)i+(x+yz)j-3xyk沿闭曲线G的环流量，其中G为圆周z=2-x+y,z=0； 22urrrur100. 求向量场A=(2x-3y)i+(3x-z)j+(y-2x)k的旋度. 参考答案： 1. ， 2. 61-cos12251312655p-12ln2， 3. 12(e-e-2e)， 4. e-421e，5. 36， 6. 43215， 7. ， 8. ， 9. ， 1

15、0. 98ln3-ln2-12， 11. 1130， 12. a2， 13. p(e4-1)， 14. p415. (2ln2-1)，36416. p，2R33(p-4317. ) ，51618. p，815 ，19. p2823-p4，20. 73ln2 ，21. pab2169 ，22. 12(1-e-423. )，p212，24. 3432，25. 4920，26. a(1482p2161-1227. -)， 28. p2(e+1)，p29. (3p-2)，30. 4-， 31. -ln2， 32. 2， 33. 312， 34. 2p，35. 0， 36. 7pa64p8，37. p(

16、1-e)，38. -1712p， 39. 1-cos12p， 40. 15(42-1)p， 41. 8， 42. ， 43. p10，44. 8p，45. 4p15(b-a)， 46. 5582-762p ，47. 2a(p-2)，48. (35355R,) ，49. (0,0,)，4854450. 7296155123,(55+62-1)， 54. 2pa(2p. 51. ， 52. -2， 53. +57123152+1)， 55. 256a151333，56. 3232(1-e), 57. 9, 58. 12-2-56153232, 59. -123pa, 60. 0, 61. -2p，

17、 62. kp-pa， 63. 13， 64. 22， 65. y，66. 12, 67. 0, 68. 1214sin2-76, 69. -p, ds， 70. 5, 71. xcosy+ysinx+C，72. xe-y=C， 73. 274， 74. 2P+2xQ+3yRG1+4x+9y222275. 2x-xP+(1-x)Qds，76. 461, 77. -L, 78. pa(a-h), 79. 1464152a,80. 41+22p, 81. 8a， 82. 12531132pa， 83. 4p， 84. 41232，85. -p3223R)dS, ，86. (P+Q+655529205pa， 94. -3pa，87. 3a, 88. 4pa, 89. 32525pa, 90. 81p, 91. 5， 92. 108p， 93. 295. -2pa(a+b) ，96. urrrur, 97. 9p, 98. -2p, 99. 12p, 100. rotA=2i+4j+6k.