反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解.docx

《反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解.docx（95页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解第七章、反比例函数 . 1 一、反比例函数知识要点点拨 . 1 二,、典型例题 . 2 三、反比例函数中考考点突破 . 8 四、达标训练 . 10 (一)、基础过关 . 10 (二)、综合应用 . 11 五、分类解析及培优 . 13 (一)、反比例函数k的意义 . 13 (二)、反比例函数与三角形合 . 14 (三)、反比例函数与相似三角形 . 15 (四)、反比例函数与全等三角形 . 15 (五)、反比函数图像上四种三角形的面积 . 15 (六)、反比例函数与一次函数相交题 . 19 1、联手演绎无交点 . 20 2、联手演绎已知一个交点的坐标 . 20 3

2、、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布 . 20 4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标 . 20 (七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 . 21 (八)、与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧 . 23 六、拓展练习 . 26 练习(一) . 26 练习 . 28 练习(三) . 32 本章参考答案 . 35 第七章、反比例函数 反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。 一、反比例函数知识要点点拨 1、反比例函数的图象和性质： 反

3、比例函数 y=k(k0) xk的符号 k0 k0时，函数图象的两个分支分别在第当k0时，在一、三象限； 0时，在一、三象限； 0时，y随x的增大而增大； 0时，y随x的增大而减小； 0.a2.所以a=5，解析式为y=5-2 x2例4 若函数y=(m-1)xm-2是反比例函数，则m的值等于 A1 B1 C3 D1 1的x图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC若DABC如图所示正比例函数y=kx(k0）与反比例函数y=的面积为S，则： AS=1 BS=2 CS=3 DS的值不确定 m-10,解：依题意，得2 解得m=-1 m-2=-1,故应选D 由双曲线y=1关于O点的中心对称

4、性，可知：SDOBA=SDOBC xS=2SDOBA=2故应选A 1OBAB=OBAB=1 2例5 已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4；当x=3时，y=5，求x=-1时，y的值 分析 先求出y与x之间的关系式，再求x=-1时，y的值 解 因为y1与x成正比例，y2与x成反比例， k2(k1k20) xk所以y=y1+y2=k1x+2 x所以y1=k1x,y2=将x=1，y=4；x=3，y=5代入，得 k1+k2=4, 解得 13k1+k2=5.3所以y=11k=,18 21k=.281121x+ 88x1121-=-4 88所以当x=-1时，y=-说明

5、不可草率地将k1、k2都写成k而导致错误，题中给出了两对数值，决定了k1、k2的值 例 6 根据下列表格x与y的对应数值 x 1 2 3 4 5 6 y 6 3 2 1.5 1.2 1 在直角坐标系中，描点画出图像；试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x的取值范围 解：图像如右图所示 根据图像，设y=k(k0)，取x=1,y=6代入，得x6=k k=6 1函数解析式为y=6(x0) x说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性 例 7一次函数y=-x+1与反比例函数y=3在同一坐标系

6、中的图像大致是如图中的x一次函数y=kx-k-1与反比例函数y=位置是图中的 2k在同一直角坐标系内的图像的大致x解：Qy=-x+1的图像经过第一、二、四象限，故排除B、C；又y=在第一、三象限，故排除D答案应选A 若k0，则直线y=kx-(k+1)经过第一、三、四象限，双曲线y=23的图像两支xk的图像x两支在第一、三象限，而选择支A、B、C、D中没有一个相符；若k0，所以m-，3315所以m=，所以反比例函数的解析式为y=. 26xk说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数y= (k0)，当k0时，x解：因为y是x的反比例函数，所以4m-2=-1，所以m=2y随x增大而减小，当k

7、0即自变量x的取值范围是x0 当x=3时，y=202=6 33x 0.5 2 5 10 15 1y 40 10 4 2 1 3用描点法画函数图像，列表如下： 描点画图如图所示 例 10 已知力F所作用的功是15焦，则力F与物体在力的方向通过的距离S的图象大致是 说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系 解 据W=FS，得15=FS，即F=选 例11 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是200Pa，翻过来放，对桌面的压强是多少？ 解：由物理知识可知，压力F，压强p与受力面积S之间的关系

8、是p=体，F的数值不变，所以p与S成反比例 设下底面是S0，则由上底面积是由p=15，所以F与S之间是反比例函数关系，故S23F.因为是同一物S2S0， 3F，且S=S0时，p=200，有F=pS=200S0=200S0. S因为是同一物体，所以F=200S0是定值所以当S=2S0时，3p=F200S0=300(Pa).因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300帕 2SS03说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的 例12 如图，P是反比例函数y=例函数的解析式 分析 求反比例函数的解析式，就是求k的值此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的

9、转化来解 解 设P点坐标为(x,y) 因为P点在第二象限，所以x0 所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为-x,y 又-xy=2，所以xy=-2因为k=xy，所以k=-2 所以这个反比例函数的解析式为y=-k上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比x2 x说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于y=k中的k x2例13. 当n取什么值时，y=(n2+2n)xn+n-1是反比例函数？它的图像在第几象限内？在每个象限内，y随x增大而增大还是减小？ 分析 根据反比例函数的定义y=222k(k0)可知，y=(n2+2n)xn+n-1是反比例函数，x必须且

10、只需n+2n0且n+n-1=-1 解 y=(n2+2n)xn2+n-1是反比例函数，则 2n0且n-2,n+2n0,即 n=-1 2n+n-1=-1,n=0或n=-1.故当n=-1时，y=(n2+2n)xn2+n-1表示反比例函数：y=-1Qk=-1y2y3 By1y3y2 Cy3y1y2 D y2y3y1 22、如图,直线y=kx(k0)与双曲线y=-交于A(x1,y1),B(x2,y2)两x A点,则3x1y2-8x2y1的值为( ) yAoBxA.-5 B.-10 C.5 D.10 3、如图，已知双曲线y=k(k0)的图像上。正方形ABCD的xk边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函

11、数y=(x0)的图像又经过A、E两x点，则点E的横坐标为_。 5、已知反比例函数y=6、反比例函数y=2，当4x1时，y的最大值是_. xk的图象与经过原点的直线l相交于A、B x两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 y1BAl xO12第6题 7、如图7所示，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3,分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与分比例函数y=8(x0)的图像分别 交于点B1、xB2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y 轴交于点C1、C2、C3，连接OB1、OB2、OB3,那么图中阴影部分的面积之和为 8、如图，A是反比例函数图象上一点，过

12、点A作ABy轴于点B，点P在x轴上，ABP面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。 y=4 xk9、如图，A、B是双曲线 y= x (k0) 上的点， A、B两点的横坐标 分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若SAOC=6则 k= y A B O C x 4kx与双曲线y=交于点A将 3x4k直线y=x向下平移个6单位后，与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C，3x10、如图，直线y=则C点的坐标为_；若AO=2，则k= BCy A B O C x 41411、函数y= 和y= 在第一象限内的图像如图，点P是y= 的图像xxx1上一动点，PCx轴于点C，交y= 的图像于点B.给出如下结

13、论：ODB与OCA的面x1积相等；PA与PB始终相等；四边形PAOB的面积大小不会发生变化；CA= AP.3其中所有正确结论的序号是_. y D B P A O C 第11题 x 四、达标训练 (一)、基础过关 2的图象上的一个点的坐标是 x11A. 2232对于函数y=，下列判断正确的是 x1在反比例函数y=A.图象经过点 B.图象在第二、四象限 C.图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小；D.不论x为何值时，总有y0 3已知反比例函数y=是 A.ac0 B.ac0 C.ca0 D.ca0 6的图象经过点，且bd0，则a与c的大小关系x4在反比例函数y=k的图象上有两点A，B，且x1x20

14、，则xy1y2的值为( ) A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 5设反比例函数y=3-m的图象上有两点A和B，且当x10x2时，xk的图象上，则k=_，在图象的每一支上，y随xx有y1y2，则m的取值范围是( ) 6点在反比例函数y=的增大而_. 7.若反比例函数y=限. 8.正比例函数y=x的图象与反比例函数y=k经过点，则一次函数y=kx+2的图象一定不经过第_象xk的图象有一个交点的纵坐标是2， x求：x=3时反比例函数y的值；当3x0时，y随x的增大而增大，求函数关系式. (二)、综合应用 10函数y=axa与y=-a在同一坐标系中的图象可能是图1716中的 x图1716 11

15、在平面直角坐标系内，过反比例函数y=k的图象上的一点分别作x轴、y轴x的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为_. 12.若函数y=(2m1)x与y=3-m的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是_. x13.在同一直角坐标系内，如果将直线y=x+1沿y轴向上平移2个单位后，那么所得直线2的图象的交点共有几个？ xk114.已知反比例函数y=的图象经过点A，若一次函数y=x+1的图象平移后经过该x2与函数y=反比例函数图象上的点B，求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标. 15、三个反比例函数:(1)y=kk1k;y=2;y=3在x轴上方的图象如图1717所xxx示，由此推出

16、k1，k2，k3的大小关系是_. 15题图 16题 图 16、两个反比例函数y=36,y=在第一象限内的图象如图1718所示，点P1，P2，P3，xx6P2 005在反比例函数y=的图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，x2 005，纵坐x标分别是1，3，5，共2 005个连续奇数，过点P1，P2，P3，P分别作y轴的平行线，与y=3的图象的交点依次是Q1，Q2，Q3，Q2 005xk x，则y2 005=_. 17、如图1719所示，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y2=分别交于点C、D，且C点坐标为. 分别求直线AB与双曲线的解析式； 求出点D的坐标； 利用

17、图象直接写出当x在什么范围内时，y1y2. 17题 图 18已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=-横坐标和点B的纵坐标都是2，求： 一次函数的解析式；AOB的面积. 8的图象交于A、B两点，且点A的x五、分类解析及培优 (一)、反比例函数k的意义 代数意义：给出反比例函数图象上一点坐标，则k=xy 当x、y变为-x、-y时，k不变，可知双曲线的两支关于原点对称。 几何意义： 过反比例函数图象上一点分别作x轴、y轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的面积为k 过图象上的任一点P作x轴(或y轴)的垂线，连接OP，则垂线段、OP、x轴(或y轴)围成三角形的面积为1k2. k0,双曲线的两支分别

18、在一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小；k0,双曲线的两支分别在二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大； 我们抓住反比例函数 k的意义可以快解题。 A、 快得解析式 例1、某反比例函数的图象过点M,则此反比例函数的解析式为。 解析：由代数意义知k=13=3则解析式为y=B、 快判断点是否在图象上。 例2、在平面直角坐标系中有六个点A,B,CD，E,F3235,2） 2其中有五个点在同一反比例函数的图象上，不在这个反比例函数图象上的点是。 解析:由代数意义分别求出k，除D点的k=-5外，其它都为5，因而点D不在这个反比例函数图象上C、快确定图象所在的象限 例3、已知反比例函数y=k的图象经

19、过p(-1,2)，则这个函数的图象位于第_象限。 x解析: k=-12=-2，所以双曲线的两支分别在二、四象限。 D、快比较大小 例4、若A，B，C是y=y1、y2、y3为_ 解析: x1x20，k0，在第二象限，k0,y随x的增大而增大，所以y1y20；0x3，k0，所以y30 所以y3y2y1 k交于A、B两点，过A作AM垂直x轴，垂足为M，连接BM，若k=2,xE、快得图形的面积 例5、如图，直线y=mx与y=则SDABm=_. 解析：双曲线的两支关于 原点对称。所以O为AB的中点，又SDOAM=1，则 例6、如图，y=SDABm=2. k经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于D，若

20、梯形ODBCx的面积为3，则双曲线的解析式为_ 1k，四边形ECOF的面积为k，由 21SDOA+S梯形DBCE=S矩形，则k+3=2k；解得k=2 2 解析：SDOA=F、快得图象上的两点与原点构成三角形面积。 如图1，由几何意义知SCOA=SDOB,则不重叠的两部分面积相等。 例7、已知A，B在同一反比例函数的图象上，求SAOB. 解析：由代数意义知y=21,b=,如图2，过分别x2A、B作ADx轴,BEx轴,AD交OB于C,由几何意义知SAOC=S四边形BCDE 则SAOB=S梯形ABED =3=1115(+2)=222215 4(二)、反比例函数与三角形合 反比例函数与不同的三角形结合

21、，展示出许多趣味横生的妙题。本文对这一问题进行了归纳，仅供同学们学习时参考。 1、反比例函数与直角三角形 例1、如图1所示，P是反比例函数y=6在第一象限分支上的一个动点，PAx轴， x随着x的逐渐增大，APO的面积将 A、增大 B、减小 C、不变 D、无法确定 。 分析：设点P的坐标是， 所以ab=6，根据坐标与线段长度的关系，知道OA=a，AP=b， 所以，三角形AOB的面积是：11APAO=ab=3， 22y B O A x 因此，三角形的面积是不变的定值。解：选C。 2、反比例函数与底边是定长的动态三角形 例2、如图2，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是 双曲线y=3

22、上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时， x B不变 C逐渐减小 D先增大后减OAB的面积将会：A逐渐增大 小 分析：三角形OAB的面积是：1OAh，因为，点A是x轴正半轴上的一个定点， 2所以，OA是一个定长，所以，三角形OAB的面积有OA 上的h决定，而这里的h恰好是点B的纵坐标，根据反比例函数的性质，当k大于0时，y随x的增大而减小， 所以，当点B的横坐标增大时，其纵坐标将逐渐减小。解：选C。 (三)、反比例函数与相似三角形 例3、如图3所示，在直角坐标系中，OBADOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上，k(x0)的图象经x过点D，交AB边于点E求k的值求BE的长 分析： 点B的坐标为，

23、BAO=OCD=90，OD=5反比例函数y=解答时，要用好相似三角形的性质，处理好线段长与点的坐标的关系。这是问题获得解决的两个关键点。 解：因为，OBADOC， OCBAOC84所以，因为，B(6，8)，BAO=90，所以， =DC63DCOA在RtCOD中，OD=5，所以，OC=4，DC=3所以，D(4，3) k12k因为，点D在函数y=的图象上，所以，所以，因为，E是y=(x0)3=k=12x4x12=2所以，BE=82=6 图象与AB的交点，所以，AE=6(四)、反比例函数与全等三角形 例4、如图4所示，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8，与反比例函数y=m在第

24、一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，n)过点C作CE上y轴于E，x过点D作DF上X轴于F (1)求m，n的值；(2)求直线AB的函数解析式；(3)求证：AECDFB 分析： (五)、反比函数图像上四种三角形的面积 反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。 A、三角形面积的四个结论 结论1、过反比例函数图像上一点，向x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。 如图1所示， 设P是反比例函数y=k图像上的一点，过点P作PAxx轴，垂足为A，三角形PAO的面积是S，则|k|=2S。 结论2、过反比例函数图像上一点，向y轴作

25、垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。 如图2所示， 设P是反比例函数y=k图像上的一点，过点P作PByx轴，垂足为B，三角形PBO的面积是S，则|k|=2S。 结论3、正比例函数y=k1x与反比例函数y=kx的图像交于A、B两点，过A点作ACx轴，垂足是C，三角形ABC的面积设为S，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。如图3所示。 证明1： 因为，正比例函数y=k1x与 反比例函数y=k的图像交于A、B两点， x所以，kk1kk=， =k1x，所以，x=k1k1x当x=kk1k1时，y= k1x=kk1，所以，点A的坐标是， 当x=-

26、kk1k1时，y= k1x=-kk1，所以，点B的坐标是，所以，OC的长度是kk1k1，三角形ABC 的面积=三角形AOC的面积+三角形BOC的面积 =11OCAC+OCBD 22=kk1kk111kk1+|-kk1| 22k1k111k+k=k。所以，与k1无关。 221k， 2=证明2、根据结论1，知道三角形AOC的面积是11三角形BOC的面积=OCBD22所以，三角形ABC 的面积= k。 kk1k1|-kk1|=1k， 2结论4、正比例函数y=k1x与反比例函数y=k的图像交于A、B两点，过xA点作ACx轴，过B点作BCy轴，两线的交点是C，三角形ABC的面积设为S，则S=2|k|，与

27、正比例函数的比例系数k1无关。如图4所示。 因为，正比例函数y=k1x与 反比例函数y=k的图像交于A、B两点， x所以，kk1kk=， =k1x，所以，x=k1k1x当x=kk1k1kk1k1时，y= k1x=kk1，所以，点A的， kk1k1当x=-时，y= k1x=-kk1，所以，点B的坐标是， 所以，OC的长度是+矩形ODCE的面积 =kk1k1，三角形ABC 的面积=三角形AOE的面积+三角形BOD的面积11OEAE+ODBD+ODDC 22=kk1kk1kk111kk1+|-|-kk1|+|-kk1| 22k1k1k111k+k+k=2k。所以，与k1无关。 22=B、结论的具体应

28、用 这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。 例1、如图5，若点A在反比例函数y=k(k0)的图象上，AMx轴于点M，AMOx的面积为3，则k= 分析：根据结论1，知道面积S与k之间有如下的关系：|k |=2S，S=3，所以，|k |=6，所以，k=6或者k=-6，因为图像分布在二、四象限，所以，k0，所以 k=-6.解：k=-6. 例2、两个反比例函数y=k1和y=在第一象限内的图象，如xxk图6所示，点P在y=的图象上，PCx轴于点C，交xy=11k的图象于点A，PDy轴于点D，交y=的图象于点B，当点P在y=的图象上xxx运动时，以下结论： ODB与OCA

29、的面积相等；四边形PAOB的面积不会发生变化； PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点 其中一定正确的是 分析：因为，点A、B都在反比例函数y=1的图像上，根据结论1和结论2，知道; x ODB与OCA的面积相等,所以，是正确的； 如图7所示，连接OP， 根据结论1知道，三角形POC的面积为所以，三角形PAO的面积是11k，是个常数，三角形OAC的面积是， 2211k-，是个常数， 2211根据结论2知道，三角形POD的面积为k，是个常数，三角形OBD的面积是， 2211所以，三角形PBO的面积是k-，是个常数， 221111所以，四边形PBOA的面积等于三角形PAO的面积+三角形PBO的面积=k-+k- 2222=k-1，是一个定值，所以是正确的； k的图象上，反比例函数在第一象限内， x1所以，mn=k，m0，n0，因为，PCx轴于点C，交y=的图象于点A，