材料力学应力状态分析)课件.ppt

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1、低碳钢和铸铁的拉伸实验,13-1 引言,铸铁断口与轴线垂直，低碳钢断口有何不同，为什么？,二者都容易由实验建立强度条件。,第13章 应力状态分析,低碳钢和铸铁的扭转实验,容易由实验建立强度条件。,与拉伸断口有何不同，为什么？拉伸与扭转强度条件是否有关联？,工字梁:,复杂应力状态下，如何建立强度条件？,分别满足?,做实验的工作量与难度?,通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面上的应力表示。,应力状态,应变状态,构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点处的应变状态。,建立复杂应力状态强度条件的研究思路：,材料物质点应力状况应力微体,材料失效机理

2、,强度条件,单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。,单元体如何取？,在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、dy和dz，如下图所示。,13-2 平面应力状态分析主应力,对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。,该应力状态则称为平面应力状态，其单元体可简化为左图所示情形。,1、斜截面上的应力,已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：,可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应力。如图b所示，斜截面ef的

3、外法线与x轴间的夹角为，称为截面。,应力的正负和斜截面夹角的正负规定：,1）正应力拉为正，压为负；2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；3）对角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。,取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面上应力和斜截面夹角均为正。,由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n和切线t方向可得：,由此可得，任一斜截面上的应力分量为：,其中dA为斜截面ef的面积。,解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：,例：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉 力F=500kN，外力矩Me=7kNm。求C点=30截面上的应力。

4、,图示斜截面上应力分量为：,2、应力圆,由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：,两式两边平方后求和可得：,而圆方程为：,可见前式实际上表示了在为水平轴、为垂直轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：,半径为：,如下图。,单元体斜截面上应力（，）和应力圆上点的坐标（，）一一对应，因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求斜截面上应力（，）。,因为圆心一定在轴上，只要知道应力圆上的两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。,1）应力图的画法,已知x、y、x、y，如右图，假定xy。,在、坐标系内按比例尺确定两点：,以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应 力圆。,连接D1、D2两点，线段D1D

5、2与轴交于C点。,2）证明,对下图所示应力圆可见C点的横坐标为：,从D1点按斜截面角的转向转动2得到E点，该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。,由于,可得：,因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且,该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆确为应力圆。,则：,另外，E点横坐标为：,可见，E点坐标值即为斜截面上的应力分量值。,即：,同理可得E点的纵坐标为：,二倍角对应：应力圆半径转过的角度是微体截面方位角变化的两倍，且二者转向相同。,微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边,对应应力圆同一点,由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子量出坐标

6、值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为图解法。,解：按一定比例画出应力圆。,例：用图解法求图示=30斜截面上的应力值。,因为图示应力状态有：,按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：,则x、y截面在应力圆上两点为：,3、主平面和主应力,对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。,主平面：剪应力=0的平面；,主应力：主平面上的正应力。,可证明：,并规定：,可见：,具体值可在应力圆上量取，即：,主平面位置：图a中1主平面的方位角0对应于应力 圆（图b）上的圆心角20。,主应力值和主应力平面的计算：,由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：,，IV象限,由此可得两个主应力值为：,因

7、为1主平面方位角的两倍对应于应力圆上20，而,所以，1主平面方位角0为：,最大正应力的方位角0也可由下式确定：,例 求图a所示应力状态的主应力及方向。,解：1、应力圆图解法：,因为：,所以：,按一定比例作出应力圆（图b）。,由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：,由此可得：,主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：,2、解析法：,所以：,13-3 空间应力状态的概念,下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况，称为一般的空间应力状态。,图中x平面有：,图中y平面有：,图中z平面有：,在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第二个表示应力的方向。,可以证明，对上述应力状态一定可找到一个单元

8、体，其三对相互垂直的面都是主平面，其上应力分别为：,空间应力状态共有9个分量，然而，根据切应力互等定理可知，独立的分量只有6个，即：,空间应力状态：三个主应力都不等于零；平面应力状态：两个主应力不等于零；单向应力状态：只有一个主应力不等于零。,该单元体称为主单元体。,例：下图a所示钢轨的轨头受车轮的静荷作用时，其应力状态即为图b所示三向压应力状态。,考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。,对与3平行的斜截面：,同理：和2平行的斜截面上应力与2无关，由1、3的应力圆确定；和1平行的斜截面上应力与1无关，由2、3的应力圆确定。,下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。,进一步研究表明，一般斜截

9、面abc面上应力位于图c所示的阴影部分内。,由图b可知，该面上应力、与3无关，由1、2的应力圆来确定。,三向应力圆,（1）三组特殊的平面应力对应于三个应力圆：平行 平面，由,作应力圆；由,和,分别作应力圆,（2）三向应力圆,结论：任意斜截面的应力值位于三向应力圆的阴影区内,（3）任意斜截面的应力与三向应力圆对应关系,max作用面为与2平行，与1或3成45角的斜截面。,所以，由1、3构成的应力圆最大，max作用点位于该圆上，且有：,因为：,注意：max作用面上，0。,例：用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力max及作用面。,解：由图示应力状态可知z=20MPa为一主应力，则与该

10、应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。,图b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。,最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。,由此可得：,作用面与2平行而与1成45角，如图e所示。,最大剪应力对应于B点的纵坐标，即,例：对下列图示应力状态，求剪应力最大值。,可求得：,13-4 应力与应变之间的关系,1、各向同性材料的广义胡克定律,时，,2）纯剪应力状态：,1）单向应力状态：,横向线应变：,时，,3）空间应力状态：,对图示空间应力状态：,正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正

11、向一致或负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为正，反之为负。,六个应力分量，,对应的六个应变分量，,正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。,对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：,三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：,同理可得：,则可得：,对切应力分量与切应变的关系，有：,上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。,对平面应力状态：设z=0，xz=0，yz=0，有：,若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：,二向应力状态：,例：边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比=0.34。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力以及最大切应力。,解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：,联解可得：,受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：,利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：,则铜块的主应力为：,