全错位排列递推公式的简易推导.docx

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1、全错位排列递推公式的简易推导 华图文库: 全错位排列递推公式的简易证明 华图教育 齐麟 错位排列作为排列组合中的一类典型题目，自身难度较高，考生往往只是知其然而不知其所以然，即只了解全错位排列的递推公式，而不能理解其含义以及灵活的运用。本文结合图示的方法，对全错位排列公式进行简易的证明。 首先，我们先来认识错位排列： 1.部分错位排列： 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。 用排除法： 4先考虑5个人的全排列，有A55种不同的排法，然后除去甲排第一与乙排第二43得到共有：A552A4A378种。 2.全错位排列： 5个人站成一排，其中A不站第一位，B不站第二位

2、，C不站第三位，D不站第四位，E不站第五位，共有多少种不同的站法。 仿照以上解法，我们有 5423324150D5=A5-C15A4+C5A3-C5A2+C5A1-C5A0=44 故5人的全错位排列方式共有44种。 因此我们可以由容斥原理得到n个元素的全错位排列公式： 错误！未找到引用源。=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+.+(-1)n*1/n!) 错位排列的递推公式 简单计算后我们有：D1=0；错误！未找到引用源。；D3=2。 计算四元素全错位排列时我们可以这样考虑： 假定元素为A、B、C、D；对应的位置为a、b、c、d。对于元素A，我们可将其放在b、c、d三个位置，容易看出，这三个位置对于元素A来说是等价的；假定A现在放在了b位置。 A B C D 公务员之路从华图起步 a b c d 华图文库: 此时，元素B有两种选择：放在a位置；不放在a位置；当元素B放在a位置时，我们会发现，之后的情形与D2相同；而当B不放在a位置时，情况与D3相同。 A B C D a b c d A B C D a b c d A B C D b a c d 因此，我们得到一个递推公式：错误！未找到引用源。；类似的，得到n个元素全错位排列的递推公式： Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2) 公务员之路从华图起步