习题详解第1章 函数.docx

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1、习题详解第1章 函数习题1-1 1. 求下列函数的定义域： (1) y=x ; 2x-1 (2) y=1+x+2； 21-x(3) y=sinx+16-x2； (4) y=lg(2-x)+3+2x-x2. 2解： 要使式子有意义，x必须满足x-10，由此解得x1，因此函数的定义域是(-,-1)U(-1,1)U(1,+)。 1-x20,x1, 要使式子有意义，x必须满足 即 因此函数的定义域是x-2 ,x+20 ,-2,-1)U(-1,1)U(1,+。) sinx0,216-x0 , 要使式子有意义，x必须满足是-4,-pU0,p。 即2kpx(2k+1)p,因此函数的定义域-4x4 , 要使式

2、子有意义，x必须满足2-x0,23+2x-x0 ,即x2,因此函数的定义域是 -1x3 ,-1,2) 2. 判断下列各组函数是否相同? x2-4(1) y1=，y2=x+2； x-22(2) y1=lgx，y2=2lgx, (3) y=sin(2x+1)，u=sin(2t+1)； (4) f(x)=1, g(x)=secx-tanx 22解：(1) 因为y1的定义域是(-,2)U(2,+)，但是y2的定义域是R，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。 (2) 因为y1的定义域是(-,0)U(0,+)，但是y2的定义域是(0,+)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。 (3) 两个函数的定

3、义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。 (4) 因为f(x)的定义域是R，但是g(x)的定义域是xxkp+p,xR，两个函2数的定义域不同，所以两个函数不同。 23. 若f(x)=x-3x+2，求f(1)，f(x-1). 22解：f(1)=0，f(x-1)=(x-1)-3(x-1)+2=x-5x+6 24. 若f(x+1)=x-3x+2，求f(x), f(x-1). 2解：令x+1=t.则x=t-1,从而f(t)=(t-1)-3(t-1)+2=t-5t+6， 2所以f(x)=x2-5x+6， f(x-1)=(x-1)2-5(x-1)+6 =x2-7x+12。 5. 设f(x)=1-x，求

4、f(0)，f(-x)，1+x1f。 x11+x1x=x-1。 解：f(0)=1，f(-x)=，f=1-xx1+1x+1x1-6. 设f(x)=x-1,-2x0,，求f, f, f, f. x+1,0x2解： f(-1)=-1-1=-2，f(0)=0+1=1，f(1)=1+1=2 f(x-1)=(x-1)-1,-2x-10x-2,-1x1 =(x-1)+1,0x-12x,1x37作出下列函数的图形： x-1,0x2;x2-4(1) y=； y=1-x； (3) f(x)= x+20,x2.8. 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a公里以内,每公里k元, 超过部分公里为3k元. 求运价m和里程

5、s之间的函数关系. 4ks,0sa,ks,0aks+ka,sa4449.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y与重量x之间的函数关系式，并画出函数的图像. 解：由题意可得y=0.15x,0x50,0.15x,0500.25x-5,x50习题1-2 1. 指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？ ex+e-x(1) f(x)=xcosx； (2) y=； 23y=sinx+cosx. (4) f(x)=sinx+ex-e-x

6、解：(1) f(x)=x3cosx的定义域是(-,+)， Qf(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cosx=-f(x) ， f(x)是奇函数。 ex+e-x(2) y=的定义域是(-,+)， 2e-x+e-(-x)ex+e-x= Q ， y是偶函数。 22 y=sinx+cosx的定义域是(-,+)， Qy(-x)y(x)，且y(-x)-y(x)，y既不是奇函数也不是偶函数。 (4) f(x)=sinx+ex-e-x的定义域是(-,+)， Qf(-x)=sin(-x)+e-x-e-(-x)=-sinx+e-x-ex=-f(x)，f(x)是奇函数。 2. 设下列函数的定义域均为,(-a,a

7、)证明： (1) 两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数； (2) 两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶的乘积为奇函数； (3) 任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 证明：(1)设f(x)、g(x)是奇函数，令F(x)=f(x)+g(x)， Qf(x)、g(x)是奇函数，即f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)， F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)，因此两个奇函数的和仍为奇函数。 设f(x)、g(x)是偶函数，令F(x)=f(x)+g(x)， Qf(x)、g(x)是偶函数，即f(-x)=f(x),g(-x)=

8、g(x)， F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)，因此两个偶函数的和仍为偶函数。 (2) 设f(x)、g(x)是奇函数，令F(x)=f(x)g(x)， Qf(x)、g(x)是奇函数，即f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)， F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=F(x)，因此两个奇函数的积为偶函数。 设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，令F(x)=f(x)+g(x)， Qf(x)是奇函数，g(x)是偶函数，即f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)， F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x)

9、，因此一奇一偶的乘积为奇函数。 11(3) 设f(x)是任一函数，令g(x)=f(x)+f(-x)，h(x)=f(x)-f(-x)， 2211Qg(-x)=f(-x)+f-(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)，即g(x)是偶函数 22111h(-x)=f(-x)-f-(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(-x)=-h(x)，即h(x)是奇222函数， 又Qf(x)=g(x)+h(x)， 任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 3. 证明函数y=x在(1,+)内是单调增加的函数. 1-x证明：在(1,+)内任取两点任取两点x1,x2,且x1x2,则 f(x1)-f(x2)=

10、x1xx1-x2 -2=1-x11-x2(1-x1)(1-x2)因为x1,x2是(1,+)内任意两点,所以1-x10,1-x20, 又因为x1-x20,故f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2) 所以f(x)=x在(-1,+)内是单调增加的. 1-x4. 设函数f(x)是周期T的周期函数，试求函数f(2x+3)的周期. 解：因为f(x)是周期T的周期函数，所以f(2x+3+T)=f(2x+3)， 即f(2(x+TT)+3)=f(2x+3)，因此f(2x+3)的周期。 225已知函数f(x)的周期为2，并且 0,-1x0，存在x0=在开区间(0,1) 内无界。 因为1xM，所以f(x)=

11、1xM+11111，即f(x)02 sgnx=0,x=0, 求y=(1+x)sgnx的反函数. -1,x0解：由题意可得y=(1+x2)sgnx=0,x=0, -(1+x2),x1由此式可解得x=0,y=1, -(1+y),y1故y=(1+x2)sgnx的反函数为y=0,x=1。 -(1+x),x14.指出下列复合函数的复合过程? 22(1) y=2sinx； (2) y=lgx+1；(3) y=cosx-1 ()()n解：(1) y=2six由y=2u，u=sinx复合而成。 2(2) y=lgx+1 由 y=lgu,u=x2+1复合而成。 ()(3) y=cosx-1由 y=u,u=cos

12、v,v=x2-1复合而成。 5.设f(x)=(2)解：f(f(x)x(x1),求f(f(x)。 x-1xf(x)=x-1=x(x1)。 xf(x)-1-1x-16.设函数 x+2,x1求f(2x+1)的表达式. x-1(2x+1)+2,2x+112x-1,x01,7.设f(x)=0,-1,x11,解：f(g(x)=0,-1,g(x)11,2x11,x0g(x)1-1,212,=1,1,2x1习题1-4 g(f(x)=2f(x)1. 求下列函数的定义域： (1) y=arccos(3x-2)； y=3arccos(x-1); f(x)=ln(x+1)+arcsin2x-1； 3f(x)=ln(1

13、-x2)+tan2x 解：(1) 要使表达式有意义，只须-13x-21，解得定义域是1x1，故y=arccos(3x-2)的31,1。 3(2) 要使表达式有意义，只须-1x-11，解得0x2，故y=3arccos(x-1)的定义域是0,2。 x+10(3) 要使表达式有意义，只须，解得-10(4) 要使表达式有意义，只须，解得-1x2100， 解得nnln210.24，因此需XX年才能使本利和超过初始本金的一倍。 ln1.072. 某种商品的供给函数和需求函数分别为 Qd=25P-10,Qs=200-5P 求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量. 解：令Qd=Qs，即25P-10=200-5P

14、，解得P 0=7，因此该商品的市场均衡价格为7，Q0=725-10=165，因此该商品的市场均衡数量为165. 3. 某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格. 解：设批发量为x，电扇批发价格为P， 由题意可知P=160-2x-500x=170-， 10050当x=800时，P=154。 4. 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为

15、16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数. 解：设该工厂的日产量为x，则日总成本函数为C(x)=150+16x 日平均成本函数为C(x)=_150+16。 x5.某工厂生产某产品年产量为x台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 求出本年的收益(入)函数. 解：由题意可知收益(入)函数为 500x 0x800R(x)=500800+(x-800)5000.9 8001000500x 0x800=40000+450x 80010006.已知某厂生产一个单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2

16、000元，如这种产品出厂价为20元，求 利润函数； 若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品. 解：设该厂每天生产x单位产品，由题意可知利润函数为 L(x)=20x-(2000+15x)=5x-2000， 要使不亏本，必须L(x)0，即x400，因此该厂每天要至少生产400单位这种产品才能不亏本。 7.某企业生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即他们愿意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为x=-900P+45000. 该企业生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元. (1)求利润函数； (2)为获得最大利润, 出厂价

17、格应为多少? 解：(1) 由题意可知利润函数为 L(P)=(-900P+45000)P-270000+10(-900P+45000) 900P =-2+450P00-22700+00P90-00 45000 =-900P(-6P0+ )8。002(2) 因为L(P)=-900(P-30)+9000，所以出厂价格为30元时利润最大。 8.已知某产品的成本函数与收入函数分别是 2 C=5-4x+x，R=2x 其中x表示产量，试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况. 解：由题意可知利润函数为L(x)=R-C=-x2+6x-5=-(x-1)(x-5)， 从而得到两个盈亏平衡点分别为 x1=1,x2=

18、5， 易见当x1时亏损, 1x5时又转为亏损. 复习题1 1.下列函数不相等的是( D ) f(x)= f(x)=3x3，g(x)=x； x2，g(x)=x； 22 y=sin(3x+1)，u=sin(3t+1)； x2-1gx=x+1f(x)=，(). x-1解：D中的f(x)与g(x)定义域不同。 2.求下列函数的定义域： y= y=2-x+arcsin1； xx+3+1; ln(1-x)y=arcsin(2cosx). 1-10,xx-11解：要使式子有意义，x必须满足00, 即x1 ，因此函数的定义域是x01-x1,-3,0)U(0,1)。 要使式子有意义，x必须满足-12cosx1，

19、即kp+因此函数的定义域是kp+p3xkp+2p,kZ， 3p3,kp+2p,kZ。 31sin,x0,3. 函数y=的定义域为 (-,+) ，值域为 -1,1 . x0,x=04. 设f(x)=1,-1x0,，则f(x-1)= . x+1,0x21,-1x-10,1,0x1. =(x-1)+1,0x-12x,1x3解：f(x-1)=5.判断下列函数的奇偶性： f(x)=1-x+1+x； 2x-2x y=e-e+sinx. 解：因为 f(-x)=1+x+1-x=f(x)，所以f(x)是偶函数。 因为f(-x)=e-2x-e2x-sinx=-(e2x-e-2x+sinx)=-f(x)，所以f(x

20、)是奇函数。 6.判断下列函数在定义域内的有界性及单调。 (1) y=x； y=x+lnx. 1+x2解：(1) 有界性： 2xx1=因为(1-x)0,所以1+x2x, 故f(x)=2，对一切x+121+x2222x(-,+)都成立.因此函数y=x在(-,+)上是有界函数 x2+1单调性：在(-,+)内任取两点x1,x2,且x1x2,则 f(x1)-f(x2)=x1x2(x1-x2)(1-x1x2)-= 22221+x11+x2(1+x1)(1+x2)当x1,x2是(1,+)内任意两点时,则1-x1x20,又因为x1-x20，即f(x1)f(x2)，所以y=当x1,x2是(-,-1)内任意两点

21、时,x在(1,+)内是单调减少的. 1+x2则1-x1x20,又因为x1-x20，即f(x1)f(x2)，所以y=当x1,x2是-1,1内任意两点时,x在(-,-1)内是单调减少的. 1+x2则1-x1x20,又因为x1-x20,故f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以y=x在(-,-1)内是单调增加的. 1+x2 单调性：在(0,+)内任取两点x1,x2,且x1x2,则 f(x1)-f(x2)=(x1+lnx1)-(x2+lnx2)=(x1-x2)+(lnx1-lnx2) 因为x1x2,故x1-x20,且lnx1-lnx20，所以f(x1)-f(x2)0，即f(x1)0)；

22、(4) f(x+a)+f(x-a) (a0) . 22解：(1) 因为y=f(x)的定义域为0，1，所以0x1，解得-1x1，故fx的()定义域为-1,1. (2) 因为y=f(x)的定义域为0，1，所以0sinx1 ，解得2kpx2kp+p,kZ，故f(sinx)的定义域为2kp,2kp+p,kZ. (3) 因为y=f(x)的定义域为0，1，所以0x+a1，又因为a0，故可解得-ax1-a，因此f(x+a)的定义域为-a,1-a. (4) 因为y=f(x)的定义域为0，1，所以当0时，无解 221故0时f(x+a)+f(x-a)定义域为空集。 28. 设f(x)=2，g(x)=xlnx，求f

23、g(x)，gf(x)，fx()()(f(x)和g(g(x). 解：fg(x)=2g(x)=2xlnx，gf(x)=f(x)lnf(x)=2xln2x=x2xln2， ()()f(f(x)=2f(x)=22，g(g(x)=g(x)lng(x)=xlnxln(xlnx). x9.下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ y=1+xy=(123； )1. 1+arccos3x解： y=1+xy=(123由)y=u,u=1+x2复合而成的。 1311由y=,u=1+v,v=arccosw,w=3x复合而成的。 1+arccos3xu10.设f(x)定义在(-,+)上，证明： f(x)+f(-x)为偶函数；

24、 f(x)-f(-x)为奇函数. 解：设F(x)=f(x)+f(-x)，则F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)， 所以f(x)+f(-x)为偶函数。 设G(x)=f(x)-f(-x)， 则G(-x)=f(-x)-f(x)=-(f(x)-f(-x)=-G(x)，所以f(x)-f(-x)为奇函数。 11.邮局规定国内的平信，每20g付邮资0.80元，不足20g按20g计算，信件重量不得超过2kg，试确定邮资y与重量x的关系. 0.8, 0x201.6, 20x40解：由题意可知y=2.4, 40x60. KK80, 19800,x3解：要使式子有意义，x必须满足sinx0, 即xkp ，因此

25、函数的定义域5+4x-x20,-1x5是-1,0)U(0,3). 1,0x1,求函数f(x+3)的定义域. -2,1x2解：由f(x)的定义域是0,2，故0x+32，解得-3x-1，所以函数f(x+3)的定义域为-3,-1. 2设f(x)=3下列函数是奇函数的是 ( B )，是偶函数的是 ( A ). ex-11-xln(-1x1)； A. y=xe+11+xB. y=ln(x+1+x2)； ex-e-x+cosx； C. y=2ex+e-x+sinx. D. y=2xex-11-xln解：A. y=x的定义域是(-1x1)，是对称区间， e+11+xe-x-11+x1-ex1+xex-11-

26、xln=ln=ln=f(x)， 因为f(-x)=-xe+11-xex+11-xex+11+xex-11-xln(-1x1)是偶函数。 所以y=xe+11+xB.y=ln(x+1+x2)的定义域是(-,+)，是对称区间， 12f-x=lg-x+1+x=lg()因为2x+1+x()=-lgx+1+x2=-f(x) ()所以，y=ln(x+1+x2)是(-,+)上的奇函数. ex-e-x+cosx的定义域是(-,+)，是对称区间， C. y=2e-x-ex-(ex-e-x)ex-e-x+cos(-x)=+cosx，所以y=+cosx是非因为f(-x)=222奇非偶函数。 ex+e-x+sinx的定义

27、域是(-,0)U(0,+)，是对称区间， D. y=2xe-x+exex+e-x-sinx，所以y=+sinx是非奇非偶函数。 因为f(-x)=x2x2112=x+2, 求f(x). xx121122解：因为fx+=x+2=(x+)-2，所以f(x)=x-2. xxx5. 设函数f(x)为定义域(-,+)上的奇函数，f(1)=k，且对任意x满足 4. 设 fx+f(x+2)-f(2)=f(x). (1) 求f(2)与f(5)； (2) 问k为何值时，f(x)是以2为周期的函数. 解：(1) 因为f(-1+2)-f(2)=f(-1)，即f(1)-f(2)奇函数，故f(1)=-f(-1)，所以f(

28、2)=2f(1)=2k， =(f1)-，又因为函数f(x)为f(5)=f(2)+f(3)=f(2)+f(2)+f(1)=5k. (2) 若想要f(x)是以2为周期的函数，只要有f(x+2)=f(x)，则只要f(2)=2k=0 故当k=0时，f(x)是以2为周期的函数. 6. 设函数f(x)的定义域为(-a,a)，证明必存在(-a,a)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得 f(x)=g(x)+h(x). 11证明：令g(x)=f(x)+f(-x)，h(x)=f(x)-f(-x)， 2211)h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)，所以因为g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x，22

29、g(x)是偶函数，h(x)是奇函数 又f(x)=g(x)+h(x)，命题得证。 7若f(x)对其定义域上的一切x, 恒有f(x)=f(2a-x),则称f(x)对称于x=a. 证明: 若f(x)对称于x=a及x=b(ab), 则f(x)是以T=2(b-a)为周期的周期函数. 证明：因为f(x)对称于x=a，则有f(x)=f(2a-x),又因为f(x)对称于x=b，则有f(2b-(2a-x)=f(2a-x), 所以f(x)=f(2a-x)=f(2b-(2a-x)=f(2(b-a)+x)， 即f(x)是以T=2(b-a)为周期的周期函数. 8. 已知f(sinx)=3-cos2x, 求f(cosx). 解：因为f(sinx)=3-(1-2sinx)=2+2sinx， 所以f(cosx)=2+2cosx=3+cos2x 9. 已知f(x)=ln(x-1), fg(x)=x, 求g(x). 解：由 fg(x)=ln(g(x)-1)=x，解得g(x)=ex+1. 222x+1)=3f(x)-2x，求f(x). x-1x+1u+1u+1u+1)-2解：令u=，解得x=，则有f(u)=3f(， x-1u-1u-1u-1x+1x+1x+1)-2)=3f(x)-2x， 即f(x)=3f(，又因为f(x-1x-1x-110. 设f(可解得f(x)= 3xx+1+. 44(x-1)