a第六讲 向量的线性相关性.docx
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1、a第六讲 向量的线性相关性问题:如何判定线性方程组是有解? 解的唯一性问题? 齐次线性方程组是否有非零解? 第三章 向量的线性相关性与秩 3.1 n维向量及其线性运算 一、n维向量的概念: l 强调:一个向量不是n个数,而是一个点、一个状态,是一个集成化的整体对象。 二、向量的线性运算:定义3.2; l 运算律;与矩阵相同。 三、线性组合与线性表示: 定义3.3 设a1,a2,L,as为一组n维向量,c1,c2,L,cs为一组实数,称c1a1+c2a2+L+csas 为a1,a2,L,as的一个线性组合,称c1,c2,L,cs为组合系数。 若将上述运算结果记为 b=c1a1+c2a2+L+cs
2、as, 则说b可以由a1,a2,L,as线性表示,称c1,c2,L,cs为表示系数。 a1ib1l 如果记ai=M,i=1,2,L,s,b=M,则上式也就是 abnnia1sa11a12b1Mc1+Mc2+L+Mcs=M, aaabn1n2nns按照向量线性运算的法则,便得到一组等式 a11c1+a12c2+L+a1scs=b1LLLLLL, an1c1+an2c2+L+anscs=bn如果c1,c2,L,cs视为变元,上式就是一个一般的ns线性方程组。所以把式称为线性方程组的向量形式。 这就是说,b可以由a1,a2,L,as线性表出与方程组有解是一回事。 3.2 向量的线性相关性 一、线性相
3、关与线性无关: 定义3.4 设a1,a2,L,as为R中的一组向量(s1),若其中至少有一个向量可以由其余的s-1个向量线性表示,则说它们线性相关;否则的话,就说它们线性无关。 线性无关也就是线性独立。 一组向量线性无关,也就是这组向量中的任一向量都不能由本组中的其余向量通过线性组合来替代,从而都有其独立的地位。 线性无关对应的齐次线性方程组没有非零解。 线性相关对应的齐次线性方程组有非零解。 方程的个数等于向量的维数,未知数的个数是向量的个数。 二、相关性的判定方法: 1. 从定义出发:用矩阵行变换,解齐次方程组; nrl 例 2. 充要条件:判定齐次方程组是否有非零解; 3. 一个向量:a
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