14第十四讲 曲面积分与高斯公式.docx

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1、14第十四讲 曲面积分与高斯公式泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称 授课题目 高等数学研究 授课对象 课时数 4 第十四讲 曲面积分与高斯公式 教学 目的 通过教学使学生掌握两类曲面积分的来源、定义、性质和计算方法，重点掌握高斯公式及曲面积分与路径无关的条件 重 点 难 点 1重点两类曲面积分的计算方法； 2难点高斯公式及补面法。 教 学 提 纲 第十四讲 曲面积分与高斯公式 1.第一类曲面积分 (1)问题的提出， 第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关 (2)第一类曲面积分的计算-代入法 2. 第二类曲面积分 (1)问题的提出:第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积

2、分变号 (2)计算-代入法 (3)高斯公式 pQR+dxdydz=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy xyzDD补面法 (4)曲面积分与积分路径无关问题 (5)奇点的处理方法。 1 教学过程与内容 教学 后记 第十四讲 曲面积分与高斯公式 一、.第一类曲面积分 1问题的提出 设有一块光滑的金属曲面S 。它的密度是不均匀的。在其点(x,y,z)s处密度为 f，并设f在S上连续,则金属曲面S的质量M=说明: 第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关 2第一类曲面积分的计算(代入法) 设S 是一个光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) , f(x,y,z)ds Ss22f(x,y,z)ds=f(x,y

3、,z(x,y)1+zx+zydxdy D当 f1时可得空间曲面面积的计算公式，即S=例1：I=D221+zx+zydxdy sx2+y2ds,S是半球面x2+y2+z2=R2。 R2-x2-y2, (x,y)D,D:x2+y2R2 -xz-y, =222222yR-x-yR-x-y z=z=x1+(z2z)+2=xyRR-x-y2222sx2+y2ds=x2+y2DRR-x-y22dxdy=R2p0dqr0R1R-r22rdr =p2R32例2：P为椭球面S:x2+y2+z2-yz=1的动点，若S在P处的切平面与xoy面垂直。 求点的轨迹； 计算I=S(x+3)y-2z4+y+z-4yz22d

4、S，其中S为椭球面位于上方的部分。 二、 第二类曲面积分 1问题的提出 磁通量问题。表示Pdydz+Qdzdx+Rdxdy S第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号 2 2第二类曲面积分计算(代入法) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy用代入法计算时,一般应分成三个计算: S R(x,y,z)dxdy=R(x,y,z(x,y)dxdy. 类似有 。 Q(x,y,z)dzdx=R(x,y(z,x),zdzdx. 例3:计算曲面积分222，其中是圆面x+y1, (z+x)dydz+2xydzdx-zdxdySSz=0下侧。 由于在S上，z=0,进而dz=0 ，所以 2(z+x)dydz

5、+2xydzdx+(2-z)dxdy=(2-z)dxdy=-2dxdy=-2p SSD本题展示的化简积分的方法是非常重要的。 例4:计算曲面积分2(z+x)dydz-zdxdy，其中S是旋转抛物面z=S12(x+y2)介于2平面z=0及z=2之间的下侧 22(z+x)dydz-zdxdy=(z+x)dydz-zdxdy SSS2zdxdy可直接代公式计算, 而(zSS+x)dydz需要分成前后两部分分别计算. 3高斯公式 设 D 是R内的一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成，方向是外侧。又设函数P，Q，R都在D内关于 x,y,z有连续偏导数，则下列高斯公式成立： 3 3 pQR+

6、dxdydz=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy xyzDD由Gauss公式可计算某些空间立体积分 V= DSdxdydz=1xdydz+ydzdx+zdxdy3D例5： 计算3332222xdydz+ydzdx+zdxdy, 式中S为球面的内侧 x+y+z=a 由高斯公式 知 333222xdydz+ydzdx+zdxdy=-3(x+y+z)dVSV2pa42ppa4=-30dqp0dj0rsinjdr=-30dq0sinjdj0rdr=-32p(-cosj0)例6：计算曲面积分 p15-125a=pa 55I=xzdydz+2zydzdx+3xydxdy,S2y2(0z1)的上侧。 其中S

7、为曲面z=1-x-4本题曲面S不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。 y2=1,z=0，取下侧. 则 补充曲面：S1:x+42I=S+S1xzdydz+2zydzdx+3xydxdy-xzdydz+2zydzdx+3xydxdyS1 =(z+2z)dxdydz+3xydxdyWD22yS1 其中W为S与1所为成的空间区域，D为平面区域x+4. 由于区域D关于x轴对称，因此3xydxdy=0 又 D1.(z+2z)dxdydz=3zdxdy3WW=0zdzdxdy=3z2p(1-z)dz=p.Dz01 4 y21-z. 其中Dz

8、:x+42 注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可通过直接投影进行计算，但计算过程比较复杂。 本题中的三重积分计算用“先二后一”法，若用“先一后二”法计算量是大的 例7：计算dydzdzdxdxdy+,xyzSS:x2+y2+z2=a2,a0外侧。 该题P=111,Q=,R=，它们在S所包围的区域内不连续(在原点没定义，xyz偏导数不存在)，所以不能用高斯公式。 dydzdzdxdxdydydzdzdxdxdy +=+xyzxyzSSSS由积分表达式及S的对称性知 dydzdzdxdxdy所以 =xyzSSSdydzdzdxdxdydxdy +=3xyzzSS记上半球为S上，记下半球

9、为S下 dxdydxdydxdydxdydxdy=+=-222222zzza-x-ySS上S下DD-a-x-y=2Ddxdya-x-y2222p=2dq0a2ra-r20dr=4pa 所以 dydzdzdxdxdy+=12pa xyzS4.曲面积分与积分路径无关问题 设G是空间二维单连通区域，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在G内具有一阶连续偏导数，则曲面积分 Pdydz+Qdzdx+Rdxdy S在G内与所取曲面S无关而只取决于S的边界曲面(或沿G内任一闭曲面的曲面积分为 5 PQR+=0在G内恒在成立。 零)的充分必要条件是等式xyz例8：设对于半空间x0内任意的光

10、滑有向封闭曲面S，都有 2xxf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ezdxdy，其中f在内具有一阶连s续导数，且f(0)，求f(x) 由于对于半空间x0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有 2xxf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ezdxdy， spQR(xf(x)(-xyf(x)(-e2xz)所以+=+=0 xyzxyz即f(x)+xf(x)-xf(x)-e2x=0 exx(e+1) 解得f(x)=x5.奇点的处理方法 定理：设函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在在空间坐标系上除了点外都有PQR+=0，则对任意分段光滑闭曲面S， xyzPdydz+Qdzdx+Rd

11、xdyS是一个定值。 例9：计算曲面积分Sxdydz+ydzdx+zdxdy(x2322+y2+z322),其中S是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧。 P=x(x+y+z)22,Q=y(x+y+z)22232,R=z(x+y+z)22232, P-2x2+y2+z2Q-2y2+x2+z2-2z2+x2+y2=,=,R=, 555222222222222x(x+y+z)y(x+y+z)(x+y+z) 在在空间坐标系上除了点原点外都有PQR+=0 xyz 则对任意分段光滑闭曲面S，把曲面S换成x+y+z=1 222Pdydz+Qdzdx+Rdxdy是一个定值。 S 6 Sxdydz+ydzdx+

12、zdxdy(x2+y+z2322),=xdydz+ydzdx+zdxdy=4p S6.对称性与轮换法 例10：设曲面S:x+y+z=1，求(x+|y|)dS. 由于曲面S关于平面x=0对称，因此轮换对称性，于是 xdS=0. 又曲面S:x+y+z=1具有(x+|y|)dS=|y|dS=|x|dS=|z|dS=1(|x|+|y|+|z|)dS 3=11343. =dS=833232zdxdydz。 W例11：设W=(x,y,z)|x2+y2+z21,求 z2dxdydz=x2dxdydz=y2dxdydz WWW所以 2zdxdydz=W13(xW102+y2+z2)dxdydz 4 141=32p0dqdjr4sinjdr=0p 7