新编：人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》全章ppt课件共13课时.ppt

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1、,人教版九年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,第二十一章 一元二次方程,第1课时一元二次方程的概念,21.1一元二次方程,5x-15=0,这是一个什么样的方程？,只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程,要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？,雕像上部的高度AC，下部的高度BC应有如下关系：,设雕像下部高xm，于是得方程,整理得,x22x4=0,你会发现这个方程与以前学习过的一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2，怎样解决这样的方程从而得到问题的答案呢？,x2=2

2、(2x),问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？,设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（1002x）cm，宽为（502x）cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得,（1002x）（502x）=3600.,整理，得 4x2300 x+1400=0.,化简，得 x275x+350=0.,由方程可以得出所切正方形的具体尺寸,设应邀请x个队参赛，每个队要与其它（x1）个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同

3、一场比赛，所以全部比赛共 场,问题2:要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？,列方程,整理，得,化简，得,由方程可以得出参赛队数,全部比赛共4728场,x2+2x-4=0 x275x+350=0,特点:,都是整式方程;,只含一个未知数;,未知数的最高次数是2。,?,像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。,一元二次方程是刻画现实世界的一种数学模型,下列方程哪些是一元二次方程?为什么？,(2)2x25xy6y0,(5)x22x31x2

4、,(1)7x26x0,解:(1)、(4),(3)2x2 1 0,1,3x,(4)0,例2 m为何值时，方程 是关于x的一元二次方程？,解：,由题意，得,解，得,1.关于x的方程(k3)x2 2x10,当k时，是一元二次方程,2.关于x的方程(k21)x2 2(k1)x 2k 20,当k 时，是一元二次方程 当k 时，是元一次方程,3,1,1,3.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。,这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项,一般地，任何一个关于x的一元二次方

5、程，经过整理，都能化成如下形式,例3:将方程3x(x1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项,3x23x=5x+10.,移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：,3x2-8x-10=0.,其中二次项系数为3，一次项系数为8，常数项为10.,解：去括号，得,1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：,一般式：,二次项系数为，一次项系数4，常数项1.,一般式：,二次项系数为4，一次项系数0，常数项81.,一般式：,二次项系数为4，一次项系数8，常数项25.,一般式：,二次项系数为3，一次项系数7，常数项

6、1.,4,2x2+x+4=0,2,1,-4y2+2y=0,-4,2,0,3x2-x-1=0,3,-1,-1,4x2-5=0,4,0,-5,m-3,1-m,-m,3x(x-1)=5(x+2),(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m3),3,-8,-10,2.填表：,解：设竹竿的长为x尺,则门的宽 度为 尺,长为 尺,依题意得方程：,例4.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽尺，竖着比门框高尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程,(x4)2(x2)2 x2,即,x212 x 20 0,4尺

7、,2尺,x,x4,x2,(x4),(x2),把下列方程化成一元二次方程的一 般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。,ax+b=0(a0）,ax2+bx+c=0(a0）,整式方程，只含有一个未知数,未知数最高次数是1,未知数最高次数是2,1.本节学习的数学知识是：,2、学习的数学思想方法是.,3、如何理解一元二次方程的一般形式,(a0)？,（1）;,（2）.,（1）;,（2）,一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式,转化、建模思想。,(a0)是成为一元二次方程的必要条件,找一元二次方程的二次项、一次项系数及常数项要先化为一般式,1.根据题意，列出方程：,（）有一面积为54m2的长

8、方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？,解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x5)m,宽为(x2)m，依题意得方程：,(x5)(x2)54,即,x2 7x44 0,2,5,x,x,X5,X2,54m2,2.三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？,x(x1)x(x2)(x1)(x2)242.,x2 2x8 00.,即,解：设第一个数为x，则另两个数分别为x,x2，依题意得方程：,2.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0C.ax2

9、+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0,1.当m 时,方程 是关于x的一元二次方程。,D,3、课本P28 1、2,=2,2。将方程3x(x1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项,3x23x=5x+10.,移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：,3x2-8x-10=0.,其中二次项系数为3，一次项系数为8，常数项为10.,解：去括号，得,1、若是关于的一元二次方程，则（）,走进中考,2、,是关于的一元二次方程，,则m的值为,C,(南京),变式,一元一次方程,A、p为任意实数 B、p=0 C、p0 D、p=0或1,在数学天地里，重要的不是我

10、们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版九年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,第二十一章 一元二次方程,第2课时一元二次方程的解,21.1一元二次方程,1、什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式是怎样的？,a x 2+b x+c=0,(a 0),a x 2 是二次项，a是二次项系数 b x 是一次项，b是一次项系数 c 是常数项,1.下列是一元二次方程的是（）A.X2+3x-2 B.x2+3x-2=x2 C.X2=2+3x D.x2-x3+4=0,2.写出一个一元二次方程，使它的各项系数之和为4，则方程可以是_.,C,x+4x-1=0,3、一元

11、二次方程3y(y1)=7(y2)5 化为一般形式为；其中二次项系数是；一次项系数为；常数项为。,3y2-4y-9=0,3,-4,-9,若 是关于x的一元二次方程，则m。若 是关于x的一元一次方程，则m。,ax2+bx+c=0,什么时候是一元二次方程？什么时候是一元一次方程？,0,=0,解：它是关于x的一元二次方程，a-10.a1 即a的取值范围是a1。,1.关于x的方程(k3)x2 2x10,当k时，是一元二次方程,2.关于x的方程(k21)x2 2(k1)x 2k 20,当k 时，是一元二次方程当k 时，是一元一次方程,3,1,1,3.m为何值时，方程（m-1）xm2+1+3x+2=0是关于

12、x的一元二次方程？,m=-1,ax+b=0(a0）,ax2+bx+c=0(a0）,整式方程，只含有一个未知数,未知数最高次数是1,未知数最高次数是2,认识了一元二次方程,接下来我们就要探究一元二次方程的解.,方程解的定义:,能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解(只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根),问题 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?,解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:,即:x2-x=56,由表中数值可以发现,当x=8时是方程x2-x=56的解.,是否只有x=8是

13、方程的解呢?,X=-7呢?,一元二次方程的根：,使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。,列方程解决实际问题时，解不仅要满足所列方程，还需满足适合实际。,你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.,2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.,解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0，得,32+3a+a=0,9+4a=0,4a=-9,3.若x2是方程 的一个根，你能求出a的值吗？,4.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.,解：将x=0代入方程m2-4=0

14、，,解得m=2.,m+2 0，,m-2，,综上所述：m=2.,例2.已知a是方程 x2+2x2=0 的一个实数根,求 2a2+4a+2017的值.,解：由题意得,方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值,解：由题意得,思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗?,解：由题意得,方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根是1.,2.若4a+2b+c=0，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗?,x=2,1.已知关于x的一元二次方

15、程 ax2+bx+c=0(a0)一个根为1,求a+b+c的值.,若 a-b+c=0,x=-1,1.已知方程x2+mx12=0的一个根是x=2，求m的值为。,2.已知m是方程x2+x2009=0的一个根，求m2+m的值为。,-4,2009,C,一元二次方程,概念,是整式方程；含一个未知数；最高次数是2.,一般形式,ax2+bx+c=0(a 0)其中(a0)是一元二次方程的必要条件；确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般式.,根,使方程左右两边相等的未知数的值.,例1.关于 有一根为0，则 的值为多少？,例2.已知m,n都是方程 的根，试求 的值。,1.一元二次方程的概念,只

16、含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。,2、一元二次方程的一般形式,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。,3、模仿一元二次方程的定义你能对一元三次 方程下个定义吗？请你试试看！,(1)x2-9=0,2、试写出下列方程的根。,(2)x2=x,一元二次方程的根的情况与一元一次方程有什么不同吗?,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版九年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,第二十一章 一元二次方程,第1课时 直接开平方

17、法,21.2一元二次方程的解法,学习目标,1、理解一元二次方程”降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 型的一元二次方程,教学重难点,重点：运用开平方法解形如 的方程；领会降次转化的数学思想难点：通过根据平方根的意义解形如，知识迁移到根据平方根的意义解形如 的方程,等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.,1、一元二次方程的概念,2、一元二次方程的一般形式,1、判断下面哪些方程是一元二次方程,2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化

18、为一般形式是：_,其二次项系数是_,一次项系数是_,常数项是_.3、方程(m-2)x|m|+3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则（）A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2,2x2-3x-1=0,2,-3,-1,C,4、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?,a=2,当a=2时，原方程是一元一次方程.,(2)a2-40,a2,当a2时，原方程是一元二次方程.,1.什么叫做平方根?,如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.,若x2=a，则x=,如：9的平方根是_，,3,的平方根是_

19、.,2.平方根有哪些性质？,(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数的；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根.,即x=或x=,如何解方程：（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?,解：（1）x是4的平方根,即原方程的根为：x1=2，x2=2,（2）移项，得x2=2,x是2的平方根x=,x2,即原方程的根为：x=，x=,1,2,这时,我们常用1、2来表示未知数为的一元二次方程的两个根.,像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法.,什么叫直接开平方法？,例1、解下列方程（1）x2-1.21=0（2）4x2-1=0,解：（1）移项

20、，得x2=1.21,x是1.21的平方根,x=1.1,即 x1=1.1，x2=-1.1,（2）移项，得4x2=1,两边都除以4，得,x是 的平方根,x=,即x1=，x2=,x2=,例2、解下列方程：（x1）2=2,分析：只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；,解：（1）x+1是2的平方根,x+1=,x+1=,或x+1=,（x1）24=0,x1=3，x2=-1,解：移项，得（x-1）2=4,x-1是4的平方根,x-1=2即x-1=+2 或x-1=-2,12（32x）23=0,解：移项，得12（3-2x）2=3,两边都除以12，得（3-2x）2=0.25,3-2x是0.25的平

21、方根,3-2x=0.5,即3-2x=0.5或3-2x=-0.5,例4、解方程(2x1)2=(x2)2,即x1=-1，x2=1,分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方 根，同样可以用直接开平方法求解,解：2x-1=,即 2x-1=（x-2）,2x-1=x-2或2x-1=-x+2,首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.,1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？,如果一个一元二次方程具有x2=a（a0）或（axh）2=k（k0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.,2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？,3.任

22、意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.,D,2、解下列方程：（1）x2-0.81=0（2）9x2=4,3、解下列方程：（1）（x+2）2=3（2）（2x+3）2-5=0（3）（2x-1）2=（3-x）2,A.n=0 B.m、n异号 C.n是m的整数倍 D.m、n同号,4、已知一元二次方程mx2+n=0(m0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（）,B,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版九年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,第二十一章 一元二次方程,第2课时 配方

23、法,21.2一元二次方程的解法,学习目标,1、理解一元二次方程”降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 型的一元二次方程,教学重难点,重点：运用开平方法解形如 的方程；领会降次转化的数学思想难点：通过根据平方根的意义解形如，知识迁移到根据平方根的意义解形如 的方程,平方根的概念：,解方程：,解方程：,注意：整理成 的形式,?思 考,怎样解方程,方程 呢？,怎样解方程,注意：与 的形式相似。,方程 的左边是_，方程可化为_，进行降次可得_和_。解得_，_。,完全平方形式,方程 呢？,降次，转化,解下

24、列方程:,解：,左边:所填常数等于一次项系数一半的平方;右边:所填常数等于一次项系数一半。,共同点：,观察(1)(2)看所填的常数与一次项系数之间有什么关系?,填一填：(口答),1,4,这种方程怎样解？,变形为,的形式（p为非负常数）。,X24x10,等式基本性质1,为什么加4?,通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。,配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。,例1:用配方法解方程,解:,移项转化,配方,成式,开方,写解,二次项系数化为1,转化,配方,成式,开方,写解,（2）配方：等号一边成为完全平方式,（4）开方：得到一元一次方程,（5）写解：解一元一次方程

25、求,用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的一般步骤：,(1)转化：移项，二次项系数化为1,（3）成式：,（2）配方：等号一边成为完全平方式,（4）开方：得到一元一次方程,（5）写解：解一元一次方程求,2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的一般步骤：,1、配方法：,(1)转化：移项，二次项系数化为1,通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。,配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。,（3）成式：,(x-1)=5,4,14,4.解下列方程：,（1）,（2）,6.证明:代数式x2+4x+5的值不小于1.,5.用配方法说明：不论k取何

26、实数，多项式k23k5的值必定大于零.,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版九年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,第二十一章 一元二次方程,第3课时 根的判别式,21.2一元二次方程的解法,学习目标,1.运用根的判别式判定一元二次方程根的情况。2.根据一元二次方程根的情况，确定方程中待定系数的取值范围。,教学重点：一元二次方程根的判别式,教学难点：灵活运用一元二次方程根的判别式，确定方程中待定系数的取值范围。,1、一元二次方程的一般形式：,二次项系数，一次项系数，常数项.,a,b,c,2、解一元二次方程的方法：,配方法

27、,直接开平方法,对于一元二次方程 一定有解吗？,用配方法变形上述方程得到：,即,一元二次方程的解由 确定。,叫做一元二次方程根的判别式用“”,的值有以下情况：,互为相反数的两个平方根,平方根为0,没有平方根,一元二次方程的根的情况：,反过来：,1.当 时，方程有两个不相等的实数根,2.当 时，方程有两个相等的实数根,3.当 时，方程没有实数根,1.当方程有两个不相等的实数根时，,2.当方程有两个相等的实数根时，,3.当方程没有实数根时，,例1：不解方程，判断下列方程是否有解？,第一步：写出判别式；,第二步：根据的正负写结论。,原方程无解。,原方程有两个不等实根。,解：,（1）a=2,b=5,c

28、=7,（2）a=3,b=1,c=0,a=1,b=-4k,c=-(2k+3),（3）原方程可变为：,原方程有两个不等实根。,例2：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。,第一步：把方程变形为一般形式；,第二步：计算出；,第三步：根据根的情况确定m的值。,(1),解：,a=2m,b=8m+1,c=8m,原方程可变为：,方程有两个不相等的实数根；,(2),(3),方程有两个相等的实数根；,方程没有实数根。,2.若关于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有实数根，则k的取值范围是（）A)k 1.5 B)k 1.5 C)k 1.5 且k1 D)k1.5,1 不解方程，判断方程0.2x2-5

29、=1.5x的根的情况是（）A)有两个不相等的实数根 B)有两个相等的实数根C)没有实数根 D)无法确定,A,C,证明：,方程ax-2bx+c=0有两个相等的实数根,=（-2b）-4ac=0,整理得：b=ac,即,ADB=DBC,BDC=A,ADBC,ADB DBC,一、不解方程，判断方程根的情况时：1.先计算判别式的值；2.再确定判别式的取值范围，从而判断方程根的情况（要注意二次项系数不为0）.,二、已知方程根的情况求字母的取值范围时：1.先计算判别式；2.再根据方程根的情况列出不等式，并求解；3.若二次项系数出现了字母，应注意“二次项系数不为0”.,1.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1

30、=0有实数根，则m的取值范围是()A.m1 B.m1且m0 C.m1 D.m1且m0,D,2.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是()A.k1 B.k1 C.k1,A,A,一、选择题,4、已知关于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）k）k）k且k0）k且k05、若关于y的方程ay-4y+0有实数根，则a的最大整数值为（）A）0 B）4 C）0或4 D）3,D,B,二、填空1、已知关于y的一元二次方程 有两个实数根,那么m的取值范围是。2、若，且关于 x的一元二次方程 有两个不相等实数根.则k的取值范围。,且,且,3.若关于x的方程x

31、2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则k=.,2,4.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。,解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m+1=(m-1)2,(m-1)2=1,即 m12，m20(二次项系数不为0，舍去)。,当m=2时，原方程变为2x2-5x+30，x3/2或x=1.,三、证明：若关于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实数根，求证：关于y的方程y2+my+12m=1一定有两个不相等的实数根。,提示：将y2+my+12m=1化为一般形式 y2+my+

32、12m-1=0,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版九年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,第二十一章 一元二次方程,第4课时 公式法,21.2一元二次方程的解法,学习目标,1会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式 判别根的情况；2经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了 解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律,难点：推导求根公式的过程，理解根的判别式的作用,1.一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.它的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)

33、判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；方程是整式方程（即含有未知数的式子是整式）.三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程.（只有整式方程才有次数，分式方程和无理方程只有元。）,2.解一元二次方程的方法,基本思想：降次转换（1）直接开平方法（理论依据：平方根的定义）用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。（2）配方法（理论依据:完全平方公式）通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。,你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a0)吗?,1.化1:把二次项系数化为1;,3.配方:

34、方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;,4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;,5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;,6.求解:解一元一次方程;,7.定解:写出原方程的解.,2.移项:把常数项移到方程的右边;,一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0),上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法,公式法,例1、用公式法解方程：5x2-4x-12=0,1.变形:化已知方程为一般形式;,3.计算:b2-4ac的值;,4.代入:把有关数值代入公式计算;,5.定根:写出原方程的根.,2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;,a=，b=，c=

35、.b2-4ac=.x=.即 x1=,x2=.,例2：用公式法解方程x2+4x=2,1,4,-2,42-41(-2),24,求根公式:X=,(a0,b2-4ac0),解：移项，得 x2+4x-2=0,这里的a、b、c的值是什么？,1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,4、写出方程的解：x1=?,x2=?,3、代入求根公式:X=(a0,b2-4ac0),例 3：解方程：,化简为一般式：,这里,解：,即：,解：去括号，化简为一般式：,例 4 解方程：,这里,方程没有实数解。,参考答案:,解下列方程:(1).x2-2x80；(2)

36、.9x26x8；(3).(2x-1)(x-2)=-1;,练习：用公式法解下列方程：,一元二次方程的根的情况,（1）当 时，有两个不等的实数根。,（2）当 时，有两个相等的实数根。,（3）当 时，没有实数根。,以上几个例题的根有什么规律,不解方程判别下列方程的根的情况,1、x2-6x+1=02、2x2-x+2=03、9x2+12x+4=0,有两个不相等的实数根,没有实数根,有两个相等的实数根,关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等的实数根，则m_,变题1：关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个相等的实数 根，则m_,变题2：关于x 的方程m2x2+(2m+1

37、)x+1=0 没有实数根，则m_,变题3：关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两实数根，则m_,且,（b2-4ac=4m+1）,且,求根公式:X=,由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)若 b2-4ac0得,1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式:,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,4、写出方程的解：x1=?,x2=?,(a0,b2-4ac0),X=,（1）解下列方程：,解：（1）,解：,解：,解：,解：化为一般式,解：化为一般式,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢

38、大家，再见,人教版九年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,第二十一章 一元二次方程,第5课时 因式分解法,21.2一元二次方程的解法,学习目标,1.了解因式分解法解一元二次方程的概念，并会用分解因式法解某些一元二次方程.2.通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想.,我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?,(1)直接开平方法:,(2)配方法:,x2=a(a0),(x+h)2=k(k0),(3)公式法:,分解因式的方法有那些?,（1）提取公因式法:,（2）公式法:,（3）十字相乘法:,am+bm+cm=m(a+b+c).,a2-b2=(a+b)(a-b),x2+(p+q

39、)x+pq=,(x+p)(x+q).,一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？,小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得:,小颖做得对吗?,小亮做得对吗?,问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为 10 x-4.9x2你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到0.01s）？设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0，即 10 x-4.9x2=0,解：,配方法,公式法,解：,a=4.9，b=10，c=0,b24ac=(10)244.90=100,因式分解,两个因式

40、乘积为 0，说明什么？,或,降次，化为两个一次方程,解两个一次方程，得出原方程的根,这种解法是不是很简单？,除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解由问题得出的方程?,以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的?,可以发现,上述解法中,由到的过程,不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.,提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“AB=0,则A=0或B=0”,例1 解下列方程:,(1)x(x-2)+x-2=0;,分解因式法

41、解一元二次方程的步骤是:,2.将方程左边因式分解;,3.根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.,4.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.,1.化方程为一般形式;,快速回答：下列各方程的根分别是多少？,AB=0A=0或,例2、解下列方程,x+2=0或3x5=0,x1=-2,x2=,解：原方程可变形为,1.解下列方程：（1）x2+x=0；（2）（3）3x2-6x=-3；（4）4x2-121=0；（5）3x(2x+1)=4x+2（6）(x-4)2=(5-2x)2.,2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.,解:设小圆形场地的半径

42、为r.,（1）将方程变形，使方程的右边为零；,（2）将方程的左边因式分解；,（3）根据若AB=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.,因式分解法的基本步骤：,配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式;因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方程的基本思路是:将二次方程化为一次方程,即降次.,注意：,1、选择题:,（2）分解 的结果为（）A.B.C.D.,A,（1）分解 的结果为（）A.B.C.D.,B,（3）

43、若多项式M分解的因式是，则M是（）A.B.C.D.,C,2、解方程:,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版九年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,第二十一章 一元二次方程,第6课时 根与系数的关系,21.2一元二次方程的解法,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,问：你能说一下那些能反映一元二次方程系数与根的关系吗？,根的判别式,求根公式,问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+x2，x1 x2与系数有什么规律？猜想：当二次项系数为1时，方程x2+p

44、x+q=0的两根为x1,x2,1,2,一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？,3,2,3,1,2,3,1,4,5,4,1已知x1，x2是一元二次方程x22x10的两根，则x1x2的值是()A0B2C2D42已知x1，x2是一元二次方程x24x10的两个实数根，则x1x2等于()A4 B1 C1 D43已知方程x26x20的两个解分别为x1，x2，则x1x2x1x2的值为()A8 B4 C8 D4,D,C,C,填写下表：,猜想：,如果一元二次方程 的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？,这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。,一元二次方程的根与系数的关系,16世纪法国

45、最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。,解：,原方程可化为：,二次项不是1，可以先把它化为1,原方程可化为：,想一想，还有其他方法吗？,还可以把 代入方程的两边，求出,解：,又,例3、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（1）平方和；（2）倒数和。,解：设方程的两个根是

46、x1 x2，那么,用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值。,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值。,已知方程 x22x1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1x2）2（2）x13x2x1x23（3）,1、本节课我们学习了一个什么重要的关系？2、在利用根与系数的关系求一元二次方程两 根和、两根积时要注意什么步骤？3、同学们会利用根与系数的关系解决哪些类型的问题了？在解决问题

47、的过程中你有哪些收获和疑惑？,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_。2、设 X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则 X1+X2=，,X1X2=；X12+X22=（X1+X2）2-=；(X1-X2)2=（)2-4X1X2=_ 3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2X-6=0（）,X1+X2,2X1X2,-3,4,1,14,12,4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是。,2和-1,6、设 是方程 的两根,不解方程 求下列式子的值：,解：根据根与系数的关系 x1+x2=3,x1x2=3/2,所以,5、如果1是方程的一个根，则另一个根是_=_。,3,7.已

48、知3是方程 的一根，求m及另一根。,8、已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两根，（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值,解：（1）根据根与系数的关系 所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7,（2）因为k=-7,所以 则：,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版九年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,第二十一章 一元二次方程,第7课时 练习课,21.2.4一元二次方程根与系数的关系,b24ac0,p,q,ax2bxc0,a0,1已知x1，x

49、2是一元二次方程x22x10的两根，则x1x2的值是()A0B2C2D42已知x1，x2是一元二次方程x24x10的两个实数根，则x1x2等于()A4 B1 C1 D43已知方程x26x20的两个解分别为x1，x2，则x1x2x1x2的值为()A8 B4 C8 D44已知x1，x2是方程x23x40的两个实数根，则(x12)(x22)_,D,C,C,6,知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值,解：x1x23，x1x21,解：(1)x12x22(x1x2)22x1x211,C,B,知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值,A,D,D,B,B,C,8,x29x80,20设x

50、1，x2是方程x2x20150的两个实数根，求x132016x22015的值,解：x2x20150，x2x2015，xx22015.又x1，x2是方程x2x20150的两个实数根，x1x21，x132016x22015x1x122016x22015 x1(x12015)2016x22015 x122015x12016x22015 x120152015x12016x22015 2016(x1x2)20152015 2016,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版九年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,第二十一章 一元二次方程