数学分析课件第四版华东师大研制第1章 实数集与函数.ppt

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1、1 实数,返回,五、实数的稠密性,六、实数与数轴上的点一一对应,七、实数的绝对值与三角形不等式,三、实数的四则运算,四、实数的阿基米德性,一、实数的十进制小数表示,二、实数的大小,返回,记号与术语,1.任何一个实数都可以用十进制小数表示.,若,其中,一、实数的十进制小数表示,若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.,即:若,则,用无限小数表示实数，称为正规表示.,x 可用循环十进制小数表示，,4.无理数为无限不循环小数.,二、实数的大小,是正规的十进制小数表示,规定,实数的大小关系有以下性质:,三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立.,即大小关系具有传递性.,三、实数的四则运算,实数集 R

2、 对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是,有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0）是,实数的四则运算与大小关系,还满足:,封闭的.,封闭的.,四、实数的阿基米德性,实数具有阿基米德性:,理由如下：设,为第一个不为零的正整数,例1,证,阿基米德(Archimedes,287B.C.212B.C.,希腊),五、实数的稠密性,数又有无理数.,证,例2,证,的无理数.,六、实数与数轴上的点一一对应,实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.,1.这种对应关系，粗略地可这样描述：,反之,任何一实数也对应数轴上一点.,2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的,完备性.我们将在后面有关章节中作进一

3、步讨论.,七、实数的绝对值与三角形不等式,2.实数的绝对值性质:,定义为:,(三角形不等式).,复习思考题,循环节不超过 q 的循环小数？,2.为什么 1 和 0.99 表示同一个数?,在 R 中稠密.,3.如何定义数集 在 中稠密?按你的定义证明,2 数集 确界原理,一、有界集,二、确界,三、确界的存在性定理,四、非正常确界,确界原理本质上体现了实数的完备,性，是本章学习的重点与难点.,返回,记号与术语,一、有界集,定义1,因此 S 无上界.,例1,例2,证,二、确界,定义2,若数集 S 有上界,则必有无穷多个上界,而其,中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为,上确界.同样,若S 有下界

4、,则最大的下界称为下,确界.,注2,注1 条件(i)说明 是 的一个上界,条件(ii)说明,比 小的数都不是 的上界,从而 是最小的上,界,即上确界是最小的上界.,定义3,注2,证 先证 sup S=1.,例2,以下确界原理也可作公理,不予证明.,虽然我们定义了上确界,但并没有证明上确界的,存在性,这是由于上界集是无限集,而无限数集,不一定有最小值,例如(0,)无最小值.,三、确界存在性定理,证法一 设 S 是有上界的非空集合.为叙述方便起,见,不妨设 S 含有非负数.,定理1.1(确界原理),证明分以下四步:,1.S 是有上界的集合,从而 S+也是有上界的集合,是正规小数表示.,证法二 不妨

5、设,事实上,例3,证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界，,由定义,上确界 sup A 是最小的上界,因此,任意,一数 x 都是 B 的下界.因此由确界原理,A 有上确,界,B 有下确界.,例4,yB;sup A y.这样,sup A 又是 B 的一个下界,而 inf B 是最大的下界,因此 sup A inf B.,于是,且,因此,因此,这就证明了,四、非正常确界,2.推广的确界原理:非空数集必有上、下确界.,例2 设数集,求证:,证 设,于是,2.,1.数集 S 有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否,复习思考题,3.在上确界的定义中，,能否改为,或改为,3 函 数 概 念,一、函

6、数的定义,二、函数的四则运算,三、复合函数,四、反函数,五、初等函数,函数的概念,在中学数学中我们已有,了初步的了解.本节将作进一步的讨论.,返回,一、函数的定义,称为 f 的值域;,D 称为 f 的定义域;,定义1 D与M是R中非空数集,若有对应法则 f,使,D内每一个数 x,都有惟一的一个数 yM 与它相,对应,则称 f 是定义在 D上的函数,记作,称为 f 的图象.,注1 函数由定义域 D 和对应法则 f 二要素完全,决定，因此若给出函数的定义域和对应法则,也,就确定了函数.它与自变量与应变量的符号无关.,注2 表示函数有多种方法，常见的有解析法、列,表法和图象法.解析法表示函数时,若没

7、有特别指,明其定义域,则一般约定其定义域为使该解析式,有意义的自变量的全体(即存在域).,例2 狄利克雷函数,例1 符号函数,狄利克雷(Dirichlet,P.G.L.18051859,德国),黎曼(Riemann,B.18261866,德国),例3 黎曼函数,二、函数的四则运算,三、复合函数,例4,例5,四、反函数,注,因变量.由于函数与自变量、因变量记号无关，,例6,定义1 以下六类函数称为基本初等函数,五、初等函数,定义2,定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算和复,合运算所得到的函数,称为初等函数.,狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数.,2.f(x)和 g(x)定义在a,b上,是否一

8、定存在某个区间,复习思考题,1.函数 f(x)定义在 a,b上，f(a)=0,f(b)=1,0,1,是否一定都在 f 的值域 f(a,b)之中,4 具有某些特性的函数,一、有界函数,本节将着重讨论函数的有界性、单,调性、奇偶性与周期性.,四、周期函数,三、奇函数与偶函数,二、单调函数,返回,一、有界函数,定义1 设 f 定义在D上.,例1,证,证,例2,例3,证,因此,二、单调函数,定义2,证,例4,例5,增.,定理1.2,例6,例7,证,三、奇函数和偶函数,定义3,也是奇函,数.,四、周期函数,定义4,见后图.,注1 周期函数的定义域不一定是R.例如：,例8,注2 周期函数不一定有最小周期.例如狄利克雷函,数以任意正有理数为周期，但没有最小周期.,例9 任意正有理数是狄利克雷函数 的周期.,证 设,因此,复习思考题,1.f(x)在a,b上定义，是否一定存在某个区间,上是单调函数?,2.构造在0,1上定义的函数f(x),使其在任何,3.用肯定语句叙述下列概念:,(1)非周期函数；（2）非奇函数；,(3)非单调增函数.,