弹性力学第三章平面问题直角坐标解答课件.ppt
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1、,平面问题的直角坐标解答,x,O,y,应力法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,体力为常量,按应力求解平面问题,可归为求,使满足:,(1)相容方程,4,y4,+2,=?,x4,+,4,x2y2,=0,(2)应力边界条件,(lx+mxy)s=fx(s),(ly+mxy)s=fy(s),(3)多连体还要满足位移单值条件,4,通解不能直接给出,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,先给出满足相容方程的各种形式的,由求出各应力分量x、y、xy,由应力边界条件、弹性体形状,确定面力及能解决问题,例,设 fx=fy=0,=a+bx+cy,多项式,(1)可满足相容方程,(2)代入2-24式,得,
2、x=0,y=0,xy=0,(3)边界条件,fx=fy=0,*线性应力函数对应于无体力、无面力、无应力的状态,*把平面问题的应力函数加上一个线性函数,并不影响应力,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,设=ax2+bxy+cy2,(1)可满足相容方程,(2)拆分成三项,分别代入2-24式,得,=ax2,x=,2,y2,=0,y=,2,x2,=2a,xy=yx=,2,xy,-,=0,可以解决矩形板在y方向受均布拉力(a0)或均布压力(a0)的问题,x,O,y,2a,2a,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,设=ax2+bxy+cy2,(1)可满足相容方程,(2)拆分成三项
3、,分别代入2-24式,得,=bxy,x=,2,y2,=0,y=,2,x2,=0,xy=yx=,2,xy,-,=-b,可以解决矩形板受均布剪力的问题,x,O,y,b,b,b,b,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,设=ax2+bxy+cy2,(1)可满足相容方程,(2)拆分成三项,分别代入2-24式,得,=cy2,x=,2,y2,=2c,y=,2,x2,=0,xy=yx=,2,xy,-,=0,x,O,2c,2c,可以解决矩形板在x方向受均布拉力(c0)或均布压力(c0)的问题,y,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,设=ay3,(1)可满足相容方程,(2)代入2-24
4、式,得,x=,2,y2,=6ay,y=,2,x2,=0,xy=yx=,2,xy,-,=0,x,y,O,此应力函数可以解决纯弯曲问题,(3)考察边界面力,主要边界:,fx=fy=0,上下边界,面力为0,次要边界:,fy=0,左右边界,水平面力合成力偶,fx=6ay,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,(1)可满足相容方程,(2)代入2-24式,得,x=,2,y2,y=,2,x2,=0,xy=yx=,2,xy,-,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,设=,F,2h3,xy(3h2-4y2),12Fxy,h3,=-,3F,2h,=-,(1-4),y2,h2,逆解法,3-1 逆解法与
5、半逆解法 多项式解答,例,(y)y=h/2=0,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,设=,F,2h3,xy(3h2-4y2),3F,2h,-,(1-4),y2,h2,(3)考察面力,主要边界:,(yx)y=h/2=,y=h/2,=0,主要边界上无面力,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,设=,F,2h3,xy(3h2-4y2),(3)考察面力,次要边界:,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,设=,F,2h3,xy(3h2-4y2),可根据圣维南原理,转化成悬臂梁在自由端受集中力问题,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,*为四次或四次以上多项式,则其中的
6、系数必须满足一定的条件,才能满足相容方程。,*逆解法没有针对性,但可以积累基本解答。,半逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,针对所要求解的问题,根据弹性体的边界形状和受力情况,假设部分或全部应力分量的表达形式,代入相容方程,求出应力函数的具体表达形式,由应力函数求应力分量x、y、xy,考察这些应力分量能否满足全部应力边界条件(多连体,还要满足位移单值条件),如果满足,就是正确解答.如果不能满足,就要另作假设,重新求解,3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,h,1,M,M,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量?,纯弯
7、曲问题,解:,(1)逆解法,可取=ay3,且满足相容方程,4=0,(2)用表示应力分量,x=,2,y2,=6ay,y=,2,x2,=0,xy=yx=,2,xy,-,=0,(a),3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,h,1,M,M,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量?,纯弯曲问题,(3)考察边界条件,基本原则:,(1)先校核主要边界(大边界),必须精确满足应力边界条件.,(2)后校核次要边界(小边界),若不能精确满足应力边界条件,则应用圣维南原理,用积分的应力边界条件代替.,3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,
8、h/2,l h,h,1,M,M,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量?,纯弯曲问题,主要边界:,(y)y=h/2=0,(yx)y=h/2=0,由(a)可知,边界条件(b)均满足.,(3)考察边界条件,(b),y=h/2,3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,h,1,M,M,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量?,纯弯曲问题,次要边界:,(xy)x=0,l=0,由(a)可知,边界条件(c)均满足;,(3)考察边界条件,(c),x=0,l,(x)x=0,l 不能精确满足.,3-2 矩形
9、梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,h,1,M,M,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量?,纯弯曲问题,次要边界:,(3)考察边界条件,x=0,l,根据圣维南原理,只要积分满足,(d),将(a)代入(d),得,3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,h,1,M,M,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量?,纯弯曲问题,次要边界:,(3)考察边界条件,x=0,l,(e),第一式自然满足,第二式可得,(f),3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,例
10、,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量?,纯弯曲问题,(4)应力分量结果,将(f)代入(a),得,梁截面的惯性矩,x,3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量?,纯弯曲问题,*与材料力学结果一致,弯曲应力按直线分布;,x,*当lh时,在边界(x=0,l)对面力不同的分布,其误差仅影响梁的两端部分上的应力.,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,在应力法中,已得应力,如何求位移?,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,h,1,M,M,纯弯曲问题,3-3
11、 位移分量的求出,由应力求位移,x=,E,(xy),1,y=,E,(yx),1,xy=,E,xy,2(1+),(1)由物理方程求应变,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(2)由几何方程求位移,x=,u,x,y=,v,y,xy=,v,x,+,u,y,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(2)由几何方程求位移,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(2)由几何方程求位移,方程左右两边为常数,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(2)由几何方程求位移,u0,v0为刚体位移常量,须由约束条件确定.,3-3 位移分量的求出,纯弯曲问题的讨论:,*弯应力x 与材料力学的解相同;,*铅直线的转角 故
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