弹性力学 011第十一章能量原理与变分法课件.ppt

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1、第十一章 能量原理与变分法,要点：,（1）弹性体形变势能的计算、变分法的基本思想,最小势能原理、里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin）法,（2）位移变分法,（3）应力变分法,最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理,（4）位移变分法、应力变分法的应用,11-1 弹性体的形变势能,主 要 内 容,11-2 位移变分方程,11-3 位移变分法,11-4 位移变分法应用于平面问题,11-5 应力变分方程,11-6 应力变分法,11-7 应力变分法应于平面问题,11-8 应力变分法应于扭转问题,11-9 解答的唯一性,11-10 功的互等定理,11-11 弹性力学的广义变分原理简介,1

2、1-0 引 言,1.弹性力学问题的微分提法及其解法：,（1）平衡微分方程,（2）几何方程,（3）物理方程,（4）边界条件,应力边界条件；,位移边界条件。,定解问题,求解方法：,（1）按位移求解,基本方程：,（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;,（2）按应力求解,基本方程：,（a）平衡微分方程；,（b）边界条件。,（b）相容方程；,（c）边界条件。,（a）归结为求解联立的微分方程组；,求解特点：,（b）难以求得解析解。,从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：,2.弹性力学问题的变分提法及其解法：,基本思想：,在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；,将定解问题转变

3、为求解线性方程组。,弹性力学中的变分原理,能量原理,直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。,（变分解法也称能量法）,（a）以位移为基本未知量，,得到最小势（位）能原理等。,（b）以应力为基本未知量，,得到最小余能原理等。,（c）同时以位移、应力、应变为未知量，,得到,广义（约束）变分原理。,位移法,力 法,混合法,有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。,求解方法：,里兹（Ritz）法，,伽辽金（Galerkin）法，,加权残值（余量）法等。,3.弹性力学问题的数值解法：,（a）直接求解联

4、立的微分方程组（弹性力学的基本方程）,有限差分法；,基本思想：,将导数运算近似地用差分运算代替；,将定解问题转变为求解线性方程组。,典型软件：FLAC,实质：,将变量离散。,（b）对变分方程进行数值求解,有限单元法、边界单元法、离散单元法 等,典型软件：,ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；,基于有限元法的分析软件；,UDEC,基于离散元法的分析软件；,基本思想：,将求解区域离散，,离散成有限个小区域（单元），,在小区域（单元）上假设可能解，,最后由能量原理,（变分原理）确定其最优解。,将问题转变为求解大型的线性方程组。,11-1 弹性体的形变势能,1.

5、形变势能的一般表达式,单向拉伸：,P,l,外力所做的功：,由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，外力功全部转化杆件的形变势能（变形能）U：,令：,单位体积的变形能，,称为比能。,三向应力状态：,一点的应力状态：,由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。,假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的形变比能：,（a）,整个弹性体的形变势能：,（b）,（c）,若用张量表示：,形变比能：,整体形变势能：,2.形变势能的应力分量表示,在线弹性的情况下，由物理方程（8-17）：,代入式（a），整理得形变势能的表达式：,（d）,（e）,代入式（b

6、），有：,（11-1）,将式（e）分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：,（11-2）,表明：,弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。,3.形变势能的应变分量表示,用应变表示的物理方程（8-19）：,（f）,或：,代入式（a）：,（a）,并整理可得：,（g）,（11-3）,0 1/2，,U 0 即弹性体的形变势能是非负的量。,将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程（8-17）比较，可得：,（11-4）,将几何方程（8-9）代入上式，得：,弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。,格林公式,4.形变势能的位移分量表示,表明

7、：,（11-5）,本节内容小结：,1.能量法的基本思想：,（1）在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；,或者，为在真实解附近寻求最接近于精确解的近似解。,（2）将定解问题转变为求解线性方程组。,2.弹性体的形变势能的4种形式：,若用张量表示：,形变比能：,整体形变势能：,1.一般形式,2.应力分量表示形式,3.应变分量表示形式,(11-3),4.位移分量表示形式,5.应变能关于应变、应力的变化率,11-2 位移变分方程,1.泛函与变分的概念,（1）泛函的概念,函数：,x 自变量；,y 因变量，或称自变量 x 的函数。,泛函：,x 自变量；,y 为一变函数；,F 为函数 y 的函数，,称为泛

8、函。,例1：,弯矩方程,梁的形变势能：,泛函,例2：,例2：,因为,所以，U 被称为形变势能泛函。,（2）变分与变分法,设：,当自变量 x 有一增量：,函数 y 也有一增量：,dy 与 dx，分别称为自变量 x 与函数 y 的 微分。,研究自变量的增量与函数增量的关系 微分问题,设：,函数 y 有一增量：,泛函 U 也有一增量：,函数的增量y、泛函的增量 U 等称为变分。,研究自变函数的增量与泛函的增量 间关系 变分问题。,例如：,（1）压杆稳定问题,寻求压杆形变势能 U 达到最大值时的压力 P 值。,（2）球下落问题,球从位置1下落至位置2，所需时间为T，,当,最速下降问题,泛函的变分问题,

9、（3）变分及其性质,定义：,泛函,增量：,函数,连续性：,称函数 z 在 x0 点连续。,当,有,称泛函 U 在 y0(x)处零阶接近。,当,有,称泛函 U 在 y0(x)处一阶接近。,当,有,称泛函 U 在 y0(x)处二阶接近。,泛函,函数,微分：,当x0时，0，则 z 可用其线性主部表示其微分。即,U 增量的线性主部,变分：,当 max|y|0时，max 0，则 U 可用其线性主部表示,即,极值：,若,在 x0 处有极值，,则有：,若 Uy(x)在 y0(x)处有极值，,条件：,一阶变分为零。,当,取得极值,称为强极值,当,取得极值,称为弱极值,极值：,（4）变分的运算,变分与微分运算：

10、,变分运算与微分运算互相交换。,变分与积分运算：,变分运算与积分运算互相交换。,复合函数的变分：,其中：,一阶变分：,自变量 x 的变分 x 0,二阶变分：,二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。,2.位移变分方程,建立：弹性体的形变势能与位移间变分关系,位移变分方程,设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。,边界：,位移场：,应力场：,满足：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件。,称为真实解,（1）任给弹性体一微小的位移变化：,满足两个条件：,（1）不破坏平衡状态；,（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。,变化后的位移状态：,称为位移的变分，或虚位移。,（2）考察弹性体的能量变化：,由

11、能量守恒原理：,弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。,（在没有温度改变、动能改变的情况下）,设：,表示弹性变形势能的增量；,表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。,则有：,外力的虚功：,体力：,面力：,外力,代入前式：,（11-6）,表明：,物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。,式（11-6）称为位移变分方程，也称 Lagrange 变分方程。,3.虚功方程,两边求变分:,将 U1 视为应变分量的函数,由格林公式:,表示：,实际应力在虚应变上所做的虚功,内力的虚功,将上式代入位移变分方程（11-6），有,（11-7）,虚功方程,表明：,如果在虚位移发生前

12、，弹性体处于平衡状态，则在虚位移发生过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。,虚功方程 是有限单元法的理论基础，也是许多变分原理的基础。,4.最小势能原理,位移变分方程的一个应用,由位移变分方程：,由于虚位移为微小的、为约束所允许的，所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。,于是，有：,以,为零势能状态，,并用 V 表示任意状态的外力势能，则,外力在可能位移上所做的功W，即,代入前式，有,其中：,形变势能与外力势能的总和，,称为系统的总势能,表明：,在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的一阶变分为零。,等价于总势能

13、 U+V 取驻值。,极值势能原理,平衡状态：,（1）稳定平衡状态；,（2）不稳定平衡状态；,（3）随宜平衡状态；,稳定平衡,不稳定平衡,随宜平衡,势能取极小值,势能取极大值,不定,最小势能原理：,在给定的外力作用下，满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能成为驻值。当系统处于稳定平衡时，总势能取极小值，通常也为最小值。,实际存在的位移应满足：,（1）位移边界条件；,（2）平衡方程（位移形式）；,（3）应力边界条件。,（1）位移边界条件；,（2）位移变分方程。,因而，有：,位移变分方程,（1）平衡方程；,（2）应力边界条件。,（可互相导出）,（最小势能原理）,5.伽辽金变分

14、方程,由虚功方程出发，考察当位移分量满足：位移边界条件、应力边界条件时，弹性体的位移变分应满足的条件。,将虚应变用虚位移表示：,（c）,将其代入虚功方程：,同理，可得到其余各项的结果：,将其代入虚功方程左边，有：,将其代入虚功方程，并整理有：,当应力边界条件满足时，,上式可简化为：,（11-8）,伽辽金（Galerkin）变分方程,表明：,当所取位移分量同时满足：位移边界条件、应力边界条件时，,其位移变分需满足的方程。,（11-6）,（1）位移变分方程,（2）虚功方程,位移变分方程小结：,也称 Lagrange 变分方程：,（3）最小势能原理,说明：,（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条

15、件；,（2）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程。,如：塑性材料、非线性弹性材料等。,（4）伽辽金（Galerkin）变分方程,要求：可能（虚）位移满足：,（1）位移边界条件；,（2）应力边界条件。,（11-8）,前节课内容回顾：,1.能量法的基本思想：,不依赖于自变量 x 变化的函数的增量,（1）在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；,或者，为在真实解附近寻求最接近于精确解的近似解。,2.变分与泛函的极值,（2）将定解问题转变为求解线性方程组。,（1）泛函：,自变量 x 的变分恒为零。,（2）变分：,（3）变分的运算：,变分与微分运算,变分与积分运算,变分运算与积分运算互相交换。,变分运

16、算与微分运算互相交换。,复合函数的变分,其中：,一阶变分：,自变量 x 的变分 x 0,二阶变分：,二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。,泛函的极值,泛函取得的条件：,取得极小值,取得极大值,不定，由高阶变分判别。,3.弹性体的形变势能,若用张量表示：,形变比能：,整体形变势能：,（1）一般形式,（2）应力分量表示形式,（3）应变分量表示形式,（11-3）,（4）位移分量表示形式,（5）应变能关于应变、应力的变化率,卡氏定理,材料物理方程的能量表达式,4.位移变分方程,（1）任给弹性体一微小的位移变化：,满足两个条件：,（1）不破坏平衡状态；,（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。,

17、变化后的位移状态：,称为位移的变分，或虚位移。,（2）考察弹性体的能量变化：,由能量守恒原理：,弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。,（11-6）,表明：,物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。,式（11-6）称为位移变分方程，也称 Lagrange 变分方程。,（11-6）,（3）虚功方程,（4）最小势能原理,说明：,（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；,（2）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程。,如：塑性材料、非线性弹性材料等。,（5）伽辽金（Galerkin）变分方程,要求：可能（虚）位移满足：,（1）位移边界条件；,（2）应力边界条件。,（10-8）,位移

18、变分方程,虚功方程,最小势能原理,平衡微分方程,应力边界条件,伽辽金（Galerkin）变分方程：,平衡微分方程,位移变分方程与弹性力学基本方程的等性,11-3 位移变分法,1.里兹（Ritz）法,基本思想：,设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件，其中含有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数，即得位移解。,设取位移的表达式如下：,（11-9）,其中：,为互不相关的 3m 个系数；,为设定的函数，且在边界上有：,为边界上为零的设定函数,显然，上述函数满足位移边界条件。,此时，位移的变分,只能由系数 Am、,Bm、Cm的变分来实现。,与变分无关。,（a）,位移的变分：,形变势能的

19、变分：,由式（11-5），可知：,（b）,将式（a）、（b）代入位移变分方程，有：,将上式整理、移项、合并，可得：,完全任意，且互相独立，,要使上式成立，则须有：,（11-10）,Ritz 法方程,或称 Rayleigh-Ritz 法方程,说明：,（1）,由 U 的位移表达式（11-5）可知，,U 是系数,的二次函数，,因而，方程（11-10）为各系数的线性方程 组。,互不相关，因而，总可以求出全部的系数。,（2）,求出了系数,就可求得其它量，如位移、应力等,（3）,在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。,2.伽辽金（Galerkin）法,设取位移的表达式如下：,（11-9）,同时满

20、足：,（1）位移边界条件；,（2）应力边界条件；,位移的变分：,将其代入伽辽金变分方程（10-8）：,得到：,完全任意，且互相独立，,要使上式成立，则须有：,将物理方程和几何方程代入，有,（11-11）,伽辽金（Galerkin）法方程,说明：,（1）,与 Ritz 法类似，得 3m 阶的线方程组，可求出3m个系数。,（2）,伽辽金（Galerkin）法与 Ritz 法的区别：在于设位移函数时，前者要求同时满足应力、位移边界条件，而后者只要求满足位移边界条件。,位移变分法的应用：,（1）求解弹性体的近似解；,（2）推导弹性体的平衡微分方程与自然（力）边界条件；,11-4 位移变分法应用于平面问

21、题,1.形变势能表达式,对于平面应变问题：,且,由式（11-5）,（11-12）,对于平面应力问题：,（11-13）,2.位移函数设定,由于，两种平面问题中，都不必考虑 z 方向的位移w，所以位移分量可设为：,（11-14）,式中：各系数的含义和以前相同。,3.变分法方程,Ritz 法方程：,（在 z 方向取单位长度）,（11-15）,Galerkin 法方程：,Galerkin 法方程：,（11-16）,适用于平面应变问题,式中：,对于平面应力问题：,（11-17）,例：,图示薄板，宽为 a，高度为 b，左边和下边受连杆支承，右边和上边分别受有均布压力 q1和 q2 作用，不计体力。试求薄板

22、的位移。,解：,（1）假设位移函数,（a）,满足边界条件：,试在式（a）中只取两个系数：A1、B1，即,（b）,（2）计算形变势能 U,将式（b）代入（11-13），有,（平面应力情形下形变势能公式）,积分得：,（c）,（c）,（3）代入Ritz 法方程求解,体力,有,在右边界：,在上边界：,于是有：,将式（c）代入，得,联立求解，得：,（f）,代入位移表达式（b），得：,（g）,讨论：,（1）,如果在位移式（a）中再多取一此系数如：A2、B2等，但是经计算，这些系数全为零。,（2）,位移解（g）满足几何方程、平衡方程和边界条件。,表明：位移解（g）为问题的精确解。,Ritz 法解题步骤：,（

23、1）假设位移函数，使其满足边界条件；,（2）计算形变势能 U；,（3）代入Ritz 法方程求解待定系数；,（4）回代求解位移、应力等。,本章内容回顾：,1.形变势能的计算：,张量表示：,形变比能：,整体形变势能：,（1）一般形式,（2）应力分量表示形式,（3）应变分量表示形式,（11-3）,其中：,（4）位移分量表示形式,（11-5）,2.变分与泛函的极值,2.变分与泛函的极值,变分与微分运算：,变分运算与微分运算互相交换。,变分与积分运算：,变分运算与积分运算互相交换。,复合函数的变分：,一阶变分：,注：自变量 x 的变分 x 0,二阶变分：,3.位移变分方程,位移变分方程：,Lagrang

24、e 变分方程,（11-6）,虚功方程：,（11-7）,虚功方程,最小势能原理：,注：位移分量满足位移边界条件。,泛函的极值条件：,为某一问题的泛函,取得极小值；,取得极大值；,伽辽金（Galerkin）变分方程：,（10-8）,伽辽金（Galerkin）变分方程,注：位移分量同时满足位移边界条件、应力边界条件。,位移变分方程,虚功方程,最小势能原理,平衡微分方程,应力边界条件,伽辽金（Galerkin）变分方程：,平衡微分方程,位移变分方程与弹性力学基本方程的等性,4.位移变分法,（1）里兹（Ritz）法,位移函数的设定：,（11-9）,里兹（Ritz）法方程：,（11-10）,其中：,为边界

25、上为零的设定函数,3m 阶的线方程组,伽辽金（Galerkin）法方程,说明：,（1）,与 Ritz 法类似，得 3m 阶的线方程组，可求出3m个系数。,（2）,伽辽金（Galerkin）法与 Ritz 法的区别：在于设位移函数时，前者要求同时满足应力、位移边界条件，而后者只要求满足位移边界条件。,（2）伽辽金（Galerkin）法,（3）位移变分法的应用,（1）求解弹性体的近似解；,（2）推导弹性体的平衡微分方程与自然（力）边界条件；,Ritz 法解题步骤：,（1）假设位移函数，使其满足边界条件；,（2）计算形变势能 U；,（3）代入Ritz 法方程求解待定系数；,（4）回代求解位移、应力等

26、。,例:,图示矩形薄板，宽为2 a，高度为2 b，左右两边和下边均被固定，而上边的给定位移为：,（h）,不计体力。试求薄板的位移和应力。,解:,（1）假设位移函数,取 m=1,将位移分量设为：,（i）,显然，可满足位移边界条件：,（2）代入Galerkin 法方程求解,该问题中，无应力边界条件，式（i）满足全部条件。可用伽辽金（Galerkin）法求解。,X=Y=0，m=1，伽辽金法方程变为：,（j）,将其代入伽辽金方程（j）,可求得：,代回位移式（h）,有：,代回位移表达式（h）,得位移解答：,当 b=a，取=0.2时，上述解答成为：,（3）求应力分量,应用几何方程及物理方程，可求得应力为：

27、,位移变分法用梁的弯曲问题：,例:,如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。,解:,（1）假设位移试探函数,（必须满足位移边界条件）,设位移试探函数为（取一项）：,式中：a 为待定常数。,（2）计算形变势能 U：,（a）,（b）,显然，式（a）满足端点的位移边界条件:,（3）代入Ritz 法方程，求解,（c）,（d）,讨论：,（1）,中点的挠度：,（e）,而材料力学的结果：,两者比较：,式（a）的结果偏小2%。,如果取如下位移函数：,式中项数 m 取得越多，则求得精度就越高。,（2）,所取的位移函数必须满足位移边界条件。,（3）,位移函数选取不是唯一的，如：,（1）假设位移试

28、探函数,式中：A1、A2 为待定常数。,显然，式（a）满足端点的位移边界条件:,（2）计算：,梁的形变势能:,（3）代入 Ritz 法方程:,（3）代入 Ritz 法方程:,所求挠曲线方程:,所求挠曲线方程:,中点挠度:,而材料力学的结果：,说明：,（1）设定的待定系数个数与所得的线性方程数相同；,（2）,亦可用最小势能原理求解上述问题。,最小势能原理：,注：位移分量满足位移边界条件。,例:,如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。,解:,（1）假设位移试探函数,（必须满足位移边界条件）,设位移试探函数为：,式中：a 为待定常数。,（2）求系统的总势能,（a）,（b）,（c）

29、,将式（a）代入，计算得,显然，式（a）满足端点的位移边界条件:,（3）由最小势能原理确定常数,（d）,说明：,（1）,（e）,与 Ritz 法结果相同；,（2）,所取的位移函数必须满足位移边界条件。,（3）,位移函数选取不是唯一的，如：,例,如图所示，一端固定，另一端有弹性支承的梁，跨度为 l，抗弯刚度为EI，弹簧的刚度为 k，梁上作用有分布载荷q(x)，试用最小势能原理导出梁的弯曲微分方程和边界条件。,解,（1）求系统的总势能,系统的总势能,=梁的弯曲变形能,+弹簧的变形能,+外力势能,(a),式中：w 为梁的挠度。,由最小势能原理：,(b),分部积分：,（2）对总势能求变分,将其代入式（

30、b），有,梁的左端固定，有,代入上式，有：,的任意性与相互独立性，有,（3）利用位移边界条件和变分的任意性确定所需的结果。,弯曲微分方程,力的边界条件,表明：,最小势能原理等价于平衡微分方程和力的边界条件；,Ritz 法解题步骤：,（1）假设位移函数，使其满足边界条件；,（2）计算形变势能 U；,（3）代入Ritz 法方程求解待定系数；,（4）回代求解位移、应力等。,用最小势能原理解题步骤：,（1）假设位移函数，使其满足边界条件；,（2）计算系统的总势能；,（3）由最小势能原理：=0，确定待定系数；,（4）回代求解位移、应力等。,图示简支梁，两端受轴向压力P 作用，在距左端距离 c 处受集中力

31、偶 M 作用，梁的跨度为 l。试用最小势能原理求的梁的挠曲线方程。,例,设梁的挠曲线方程可设为：,解,设定梁的挠曲线函数求系统的总势：,代入总势能计算公式：,由最小势能原理求出待定系数：,由于，Am不能等于零，可求得：,梁的挠曲线方程为：,梁的最小失稳载荷（m=1 时）为：,梁失稳时，有：,梁失稳时，临界载荷为：,1.位移变分方程,位移变分方程：,Lagrange 变分方程,（11-6）,虚功方程：,（11-7）,最小势能原理：,注：位移分量满足位移边界条件。,位移变分法：,基本思想：,在满足位移边界条件的可能位移中，寻求最接近于精确解的解。,伽辽金（Galerkin）变分方程：,（10-8）

32、,注：位移分量同时满足位移边界条件、应力边界条件。,位移变分方程,虚功方程,最小势能原理,平衡微分方程,应力边界条件,伽辽金（Galerkin）变分方程：,平衡微分方程,位移变分方程与弹性力学基本方程的等性,2.位移变分法,（1）里兹（Ritz）法,位移函数的设定：,（11-9）,里兹（Ritz）法方程：,（11-10）,其中：,为边界上为零的设定函数,3m 阶的线方程组,伽辽金（Galerkin）法方程,说明：,（1）,与 Ritz 法类似，得 3m 阶的线方程组，可求出3m个系数。,（2）,伽辽金（Galerkin）法与 Ritz 法的区别：在于设位移函数时，前者要求同时满足应力、位移边界

33、条件，而后者只要求满足位移边界条件。,（2）伽辽金（Galerkin）法,（3）位移变分法的应用,（1）求解弹性体的近似解；,（2）推导弹性体的平衡微分方程与自然（力）边界条件；,Ritz 法解题步骤：,（1）假设位移函数，使其满足边界条件；,（2）计算形变势能 U；,（3）代入Ritz 法方程求解待定系数；,（4）回代求解位移、应力等。,用最小势能原理解题步骤：,（1）假设位移函数，使其满足边界条件；,（2）计算系统的总势能；,（3）由最小势能原理：=0，确定待定系数；,（4）回代求解位移、应力等。,11-5 应力变分方程,1.形变余能,（1）单向应力状态,设：,一般的应力应变关系,形变势能

34、（比能）：,0,0,单位体积的形变势能（比能）,形变余能（比能）：,单位体积的形变余能（比余能）,对线弹性体，显然有：,形变势能（比能）等于形变余能（比余能）,表明：形变比余能在数值上等于图中矩形面积减去 U1 后余下的面积。,一般情形：,（2）三向应力状态,对线弹性体，有：,物体形变余能：,对线弹性体：,物体形变余能常用应力表示：,（3）形变余能的变分,对照形变余比能的表达式，有：,由应力表示的卡氏（Castigliano）定理,代入形变余比能的变分表达式，有：,若将上式中应变分量利用几何方程表示成位移形式，有：,代入形变余比能的变分表达式，有：,2.应力变分方程,设有任一弹性体，在外力的作

35、用下处于平衡状态。其应力和位移分别为：,实际的应力和位移，,建立：物体形变余能的变化与应力变分之间的关系。,（1）应力的变分,（8-1）,张量表示：,张量表示：,（8-5）,满足：,平衡微分方程,边界条件,假设：作用于物体的体力不变，而应力分量发生如下变分：,常称为虚应力,满足：,（1）平衡微分方程；,（2）应力边界条件,（即：在应力边界上变分应为零）。,变化后应力状态：,（2）应力变分满足的条件,都满足平衡方程,并作用于同样的体力，,即：,位移边界条件：,张量表示：,比较式（8-1），有：,（a）,张量表示,张量表示：,（1）在位移给定的边界上，,由于应力的变分必然引起该边界上面力的变分：,

36、由边界上应力与边界面力间关系，在位移给定边界上，应有：,比较得实际应力满足的边界条件，,（b）,张量表示,得在位移给定边界上，应有：,（2）在应力给定的边界上，,应力的变分恒为零，即：,张量表示：,比较得实际应力满足的边界条件，,得在应力给定边界上，应有：,（c）,张量表示,1.形变余能（比能）：,单位体积的形变余能（比余能）,对线弹性体，显然有：,形变势能（比能）等于形变余能（比余能）,对线弹性体：,物体形变余能常用应力表示：,应力变分法：,基本思想：,在满足平衡微分方程和应力边界条件的可能应力中，寻求最接近于精确解的解。,2.形变余能的变分:,3.应力变分满足的条件:,假设：作用于物体的体

37、力不变，而应力分量发生如下变分：,常称为虚应力,满足：,（1）平衡微分方程；,（2）应力边界条件,（即：在应力边界上变分应为零）。,张量表示,张量表示,在位移边界上，应满足：,在弹性体内，应满足：,在应力边界上，应满足：,张量表示,由形变余能的变分：,利用奥-高公式，将上式每一项作变换，如：,将其代入应变余能的变分，并整理有：,（3）应力变分方程,得到：,（11-18）,上式表明：,由于应力的变分，形变余能的变分等于面力的变分在实际位移上所做的功（虚功）。,应力变分方程，,也称Castigliano变分方程。,说明：,（1）,要求应力的变分满足：,平衡微分方程；,应力边界条件；,（2）,由应力

38、变分方程：,可得；右边的积分仅当在给定非零位移的边界上才不为零；而在应力边界和固定位移边界均为零。,（3）,实际存在的应力应满足：,（1）平衡方程；,（2）相容方程；,（3）应力边界条件；,（4）位移边界条件。,（1）平衡方程；,（2）应力边界条件；,（3）应力变分方程。,可见：,应力变分方程,（1）相容方程；,（2）位移边界条件。,特别当位移边界为固定边界时，,应力变分方程等价于相容方程，且有：,3.最小余能原理,将应力变分方程：,改写为：,（c）,在要积分的边界上，位移是给定的，其变分恒为零，,（d）,式中：,U*为形变余能；,外力余能；,总余能；,于是式（d）可写成：,（d）,上式可写为

39、,上式表明：,在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明该极值为极小值。,最小余能原理,（1）最小余能原理是应力变分方程的一个应用。,说明：,（2）应力变分方程或最小余能原理，仅限于单连体问题。,对于多连体问题，还需考虑位移单值条件，而在应力变分方程中考虑位移单值是非常复杂的问题。,相容方程；,最小余能原理,位移边界条件。,（3）外力势能与外力余能的区别：,外力势能：,外力余能：,=实际的力在可能位移上所做功的负值。,=可能的面力在实际位移上所做功的负值。,小结：,1.位移变分方程,位移变分方程：,Lagrange 变分方

40、程,（11-6）,虚功方程：,最小势能原理：,基本思想：,在满足位移边界条件的可能位移中，寻求最接近于精确解的解。,伽辽金（Galerkin）变分方程：,位移变分方程与弹性力学基本方程的等价性：,位移变分方程,平衡微分方程；,应力边界条件。,2.应力变分方程,基本思想：,在满足平衡微分方程和应力边界条件的可能应力中，寻求最接近于精确解的解。,（11-18）,应力变分方程，,也称Castigliano变分方程。,基本形式：,表明：,形变余能的变分等于面力的变分在实际位移上所做的功（虚功）。,最小余能原理：,在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如

41、果考虑二阶变分，可以证明该极值为极小值。,最小余能原理,总余能；,外力余能；,实际存在的应力应满足：,（1）平衡方程；,（2）应力边界条件；,（3）应力变分方程。,可见：,应力变分方程,（1）相容方程；,（2）位移边界条件。,与弹性力学基本方程的等价性：,特别当位移边界为固定边界时，,应力变分方程等价于相容方程，有：,最小余能原理,应力变分方程,11-6 应力变分法,1.应力分量的设定,以应力为未知量的近似解法,平衡微分方程；,应力分量设定的要求满足：,应力边界条件。,帕普考维奇应力分量设定：,（11-19）,其中：,（1）Am 为互不相关的 m 个系数；,平衡方程与应力边界条件的设定函数；,

42、为满足,（2）,（3）,为满足,“没有面力与体力作用时的平衡方程与应力边界条件”的设定函数；,满足：,则,平衡微分方程：,应力边界条件：,此时应力的变分仅由系数 Am 的变分实现。,2.应力变分法方程,（1）弹性体的位移边界为固定边界,此时，应力变分方程为：,将设定应力分量代入形变余能表达式：,将其代入应力变分方程，有：,由于 Am为互相独立，且任意，有：,（11-20）,由此得到 m 个线性方程，可确定m个系数 Am。,（2）弹性体具有给定的非零位移边界条件,或应力边界条件问题：,式中：,u、v、w 为已知函数；,而非零位移边界条件上的面力变分：,可由边界上应力应满足的条件确定：,（b）,将

43、设定的应力分量式（11-19）代入上式，并积分式（a）的右边，得：,（c）,式中：Bm 为积分所得的常数。,而式（a）左边为：,（d）,由式（c）、（d）、（a）可得：,由于 Am为互相独立，且任意，所以有：,（e）,式（c）仍为一 m 阶的线性方程组，可求解出 m 个系数 Am，,将系数 Am代回应力分量设定式（11-19），即得所求的应力。,说明：,（1）如果无位移被给定，且不等于零的边界，,（2）要求设定的应力分量既满足平衡微分方程、又满足应力边界条件，往往比较困难。,但若某些问题存在应力函数，,由于应力函数表示的应力分量已满足平衡微分方程，所以，假设的应力分量只需满足应力边界条件即可。

44、,即：系统无位移边界，,则所有的 Bm 都为零，此时式（e）简化为：,11-7 应力变分法应用于平面问题,1.应力函数的设定,对于平面问题，如果体力为常量，则存在应力函数，使得应力表示为：,（a）,根据问题的应力边界条件、及应力分量与应力函数 的关系，可将应力函数 设为：,（11-21）,其中：,Am 为互不相关的 m 个系数；,0 给出应力分量实际满足：应力边界条件；,m 给出应力分量满足：无面力的应力边界条件；,2.形变余能的计算,（1）平面应力问题,对于平面应力问题，有：,且不随坐标 z 变化。,限于考虑线弹性问题,在 z 方向取单位厚度，则有：,（11-22）,（2）平面应变问题,（1

45、1-23）,（3）平面单连体问题,无论是平面应力问题还是平面应变问题，两者的应力分量x、y、xy 均与材料常数无关，不妨取=0，此时平面问题的形变余能可用统一的形式：,将上式中的应力分量用应力函数 表示，有,（11-24）,3.应力变分法方程,对于应力边界条件问题，面力的变分恒为零，所以有：,将式（11-24）代入，得,（11-25）,平面单连体、仅有固定位移边界条件问题应力变分方程。,例:,图示矩形板或长柱，体力不计，在两对边上受有按抛物线分布的拉应力，其最大集度为 q，其边界条件为：,求弹性体中的应力。,解:,设定应力函数,先设：,则：,显然，0 可以满足全部的应力边界条件。,为使m 满足

46、无面力的应力边界条件，可取m具有因子：,或：,显然有：,由此可知，应力函数 可取：,若在式只取一个系数，则 为：,（b）,（c）,（c）,由应力变分方程或最小余能原理，确定待定常数,将式（c）代入，积分得：,对正方形的薄板或长柱，取 b/a=1，可求得：,将其代入式（c），并取 b/a=1，可求得应力分量：,薄板或长柱中心（x=y=0）处的应力：,较精确的解约为:,若要求得较精确的解，需在式（b）中取较多系数项。,解题步骤小结：,（1）确定应力函数 的形式,由应力边界条件、应力函数与应力分量间的关系来设定。,（2）确定应力函数 中的待定系数,由应力变分方程或最小势能原理确定。,（3）计算应力分

47、量,例:,设平面应力问题，全部边界上为给定应力边界条件，不计体力。试用最小余能原理证明Airy应力函数（x，y）满足双调和方程：,证:,计算系统的总余能：,因为，全部边界为应力边界条件，不计体力，所以其外力余能为零。系统的总余能就等于物体的形变余能：,（a）,（a）,计算总余能变分，并使其等于零,在应力边界上，有：,即：,利用奥高公式，有：,对上式中每一项进行分部积分，有：,因为在边界上，有：,在域内，,所以，有，,前面内容小结：,1.位移变分方程,位移变分方程：,Lagrange 变分方程,（11-6）,虚功方程：,最小势能原理：,基本思想：,在满足位移边界条件的可能位移中，寻求最接近于精确

48、解的解。,伽辽金（Galerkin）变分方程：,位移变分方程与弹性力学基本方程的等价性：,位移变分方程,平衡微分方程；,应力边界条件。,2.应力变分方程,基本思想：,在满足平衡微分方程和应力边界条件的可能应力中，寻求最接近于精确解的解。,（11-18）,应力变分方程，,也称Castigliano变分方程。,基本形式：,表明：,形变余能的变分等于面力的变分在实际位移上所做的功（虚功）。,最小余能原理：,在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明该极值为极小值。,最小余能原理,总余能；,外力余能；,实际存在的应力应满足：,（1

49、）平衡方程；,（2）应力边界条件；,（3）应力变分方程。,可见：,应力变分方程,（1）相容方程；,（2）位移边界条件。,与弹性力学基本方程的等价性：,特别当位移边界为固定边界时，,应力变分方程等价于相容方程，有：,最小余能原理,应力变分方程,3.应力变分法,设定应力分量函数，使其满足：,平衡微分方程,应力边界条件,计算系统的形变余能：,建立应力变分法方程：,（1）弹性体的位移边界为固定边界,（11-20）,式由此得到 m 个线性方程，可确定m个系数 Am。,或应力边界条件问题：,（2）弹性体具有给定的非零位移边界条件,系数 Bm 的确定：,应力变分法应用于平面问题：,（1）根据问题的应力边界条

50、件、及应力分量与应力函数 的关系，设定应力函数：,（11-21）,（2）代入应力函数表示的应力变分方程：,由此求出待定系数 Am。,（3）代回求得应力函数，代入应力分量表达式求出应力、变形等。,注：平面单连体、仅有固定位移边界条件问题应力变分方程。,（a）,例:,试用最小余能原理求图示静不定梁的支反力。,解:,分析受力确定的求未知量,计算系统的总余能：,本题为二次静不定问题，,选其中两个未,知力为待定未知力，,如：RB、RC，,由梁的平衡条件：,可解得：,（a）,外力余能：,杆右端支座无位移，故有,形变余能：,梁的形变余能,（仅考虑由梁的,内力弯矩引起的）：,梁的静力可能内力场（弯矩方程）：,