高跟鞋的合理设计方案数学建模论文.doc

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1、数学建模山西大学工程学院高跟鞋的合理设计方案高跟鞋的合理设计方案摘要有一双鞋，穿上以后可以不用力就往前走；有一双鞋，走起路来倒退就会摔跤；有一双鞋，可以挺胸收腹坚持自我；有一双鞋，可以婷婷玉立盛气凌人。穿上高跟鞋，能使女人的脚踝和大腿变得轮廓更加优美，显出一种腿部颀长性感的风姿。这就是高跟鞋。 对高跟鞋稳定性的研究运用了力学模型，多元动态微分方程模型, 运用静力学分析法，力矩平衡，函数和方程的思想等。在关于步行运动的系列工作中, 将质心作水平直线运动的步行称作舒适步行。若将这种理想化的步行模式作为未扰运动的定义, 则质心保持在水平直线轨迹附近的步行就是满足轨道稳定性定义的受扰运动。经过分析推导

2、，得出以下几个重要公式：系统的动量定理和相对支点的动量矩定理: 步行连续性条件：经过分析可知，当高跟鞋的倾角达到20-30之间和跟高在3厘米左右才能保证实现穿高跟鞋状态下连续的稳定步行。对于高跟鞋的高度和对舒适性的影响这个问题我们用数学中的优化思想首先建立了优化模型。在对高跟鞋模型改进的基础上建立了一个较为简单的模型。，我们运用了最优化模型，进过分析推导出公式，并进行了拟合过程，验证了此方程。高跟鞋跟高对后中压强：；跟高对前侧压强：；跟高对中策压强：；跟高对前中压强：；倾斜度对舒适度的分析我们采用了拟合思想分析得出倾斜角度在20-30之间，高跟鞋最舒适。巧妙的足弓设计可以分担缓解压力，使脚部感

3、觉舒适。通过对人体脚型的观察与测量发现，正常人体的外纵弓有0.40.5 cm的凸量，脚处于水平时足部肌肉放松堆积拱显得小些，但是穿高跟鞋时，外纵弓紧绷，这个凸量很明显。外弧度比后踵心到跖关节转折弧线的切线凸出0.5 cm是比较舒适的，可以给中足比较好的支撑，从而分散前足和后足的压力。综合分析可得，跟高设计为3cm左右，倾斜角度设计在20-30之间，足弓外弧度比后踵心到跖关节转折弧线的切线凸出0.5 cm，这样才能到达稳定性与舒适性的完美结合。 目 录第一部分 问题重述(3)第二部分 问题分析(4)第三部分 模型的假设(5)第四部分 定义与符号说明(5)第五部分 模型的建立与求解(6)第六部分

4、对模型的评价(19)第七部分 参考文献(23)第八部分 附录(24)一、 问题重述女人为什么喜欢高跟鞋因为它能直接给女人带来优越感，穿着高跟鞋的女人行走时步幅减小，因为重心后移，腿部就相应挺直，胸部前挺，S型身体曲线凸现，袅娜的韵致应运而生，女性最具魅力的部分也正是被高跟鞋所突出了的这些部分。高跟鞋，仿佛有神奇的魔力，穿上后增加的不仅仅是高度，而是来自内心的自信和风度。但是穿上这类高跟鞋后，人体负重力线大大改变，如何既可以兼顾足的稳固、舒适和维护足弓的生理需要，从高度和倾斜角度，对高跟鞋进行合理设计，并给出一个具体方案。二、 问题分析女性对时尚的追求，使得广大女性更青睐高跟鞋。随着生活质量的提

5、高，女性越来越重视鞋的舒适性，一双好的高跟鞋，不仅要美观，更要结构合理达到最佳的稳定性和舒适性，那么？如何才能达到最佳呢？我们从高跟鞋的高度和倾角对高跟鞋的稳定性和舒适性进行研究本篇文章采用定性和定量的分析方法，结合了一些数学常用思想，用回归和最优化进行了讨论，结合插值和拟合的方法，解决了这些问题。（一） 高跟鞋的高度和倾斜角对稳定性的影响本题讨论人体穿高跟鞋步行运动的动态稳定性。人类的步行运动由左、右交替的单足支承状态构成, 步行过程中质心的地面投影经常越出支承足与地面的接触区域,因此不可能应用静态稳定性概念解释。由肌肉执行的控制力矩为内力矩, 它必须通过鞋底与地面的接触转换为外力矩, 才能

6、对人体的运动产生影响。因此对于具有正常控制能力的人体, 决定控制力矩能否实现的外部条件是影响步行稳定性的主要因素。对高跟鞋稳定性的研究不能简单套用稳定性理论的经典概念, 因为具有主观意志的人体不同于一般机械系统。为此必须首先对步行稳定性提出明确的定义。在关于步行运动的系列工作中, 将质心作水平直线运动的步行称作舒适步行。若将这种理想化的步行模式作为未扰运动的定义, 则质心保持在水平直线轨迹附近的步行就是满足轨道稳定性定义的受扰运动。若人体能通过肢体的协调动作使稳定的受扰运动得以实现, 则称此时运动是稳定的, 反之为不稳定。在此基础上作者提出限制质心投影位置的动态稳定域概念, 作为静态稳定域概念

7、的扩展。本文将人体的单刚体简单模型发展为由躯干、双臂、双腿和高跟鞋组成的多刚体人体模型, 计算动态稳定域的范围, 并导出实现连续稳定步行的必要条件。分析表明, 利用动态稳定域概念可使高跟鞋的稳定性研究更具有直观性。（二）高跟鞋的高度和倾斜角对舒适性的影响 舒适性或许是我们选择鞋子最优先考虑的重要因素，高跟鞋也不例外。既然名为高跟鞋自然高度是最显著的特征，也是影响舒适性的最重要的因素。同时高跟鞋的倾斜角度也是影响高跟鞋舒适性的一大因素。怎么设计一个舒适合理的高跟鞋自然要从高度和倾斜角度这两方面着重考虑。该问题属于最优化数学问题，这里我们采用实验采集数据然后结合计算机工具软件Labview和Mat

8、lab对采集回来的数据进行分析。最后使用插值拟合的方法，根据实验数据得出一般情况下的表达式，最后再对该表达式进行数据的验证分析。通过对该问题的分析我们可以得出在设计高跟鞋的过程中怎样的跟高和倾斜角度才可以达到最舒适的穿着效果。三、模型假设影响稳定性和舒适性得因素有很多，在这里我们只考虑高跟鞋的高度与倾角这两个因素，并作如下假设。1. 假设穿此高跟鞋的女性都具有正常的控制力。2. 假设女性穿高跟鞋时在平面水泥地上。3. 不考虑女性脚个体的差异性。4. 不考虑不同女性对舒适性感觉上的差异。5. 不考虑鞋的质量、材料、做工对鞋的稳定性和舒适性的影响。6. 在研究高跟鞋舒适性和稳定性时，不考虑鞋内垫材

9、料。7. 不考虑鞋的形状，如前翘起等。四、 定义与符号说明高跟鞋鞋长为l防水台的高度是鞋跟高度是高跟鞋的倾斜角度为五、模型的建立与求解5.1高跟鞋的高度和倾斜角对稳定性的影响高跟鞋的稳固性的研究即为对人体穿上高跟鞋后使其平稳前行的研究。建立模型，将人体简化为由躯干,左上、下臂、,左大、小腿、,右上、下臂、,右大、小腿（穿高跟鞋时）、组成的多刚体系统。上、下臂和大、小腿（穿高跟鞋时）、 i ( i = 1, , 4) 的质量分别集中于肘关节和膝关节( i =1, 4) 处。步行运动由左、右交替的单足支承阶段组成。支承足与地面接触区域的几何(左) 和(右) 沿宽度为b 的平行直线足迹道反对称地等距

10、离分布, 步长为a。不失一般性, 只讨论右足支承阶段。以为为垂直轴。躯干质心 和上、下肢的集中质量 ( i = 1, , 4) 的坐标分别为、 、 ( i = 0, 1, 4)。人体的总质心 的坐标为、 (见图1)。将左、右肩关节、 和左、右髋关节、 连线的中点分别记作O和O的高度保持常数h0、 h1 和h2。设的距离为, 则沿y、 z 轴的坐标为 （1）设T 为步行的半周期, 支承足在 t = T/ 2 时刻左右交替, 则 沿x 轴的坐标应满足以下条件: （2） 在步行过程中, 左、右腿在过足迹道的垂直面内前后摆动, 左、右臂的摆动平面随同躯干的晃动相对眚而倾斜H角。由于肘关节的平均高度与躯

11、干质心高度相接近, 则肘、膝关节 ( i = 1, ,4）沿y轴的坐标可写作 （3） 将左、右腕关节和髋关节依次记作( i = 1, , 4)。在t = T/ 2时刻, 肩腕和髋髁连线( i = 1, , 4) 相对z 轴有最大倾角( i = 1, , 4) , 且有 （4）设 为上、下臂( i = 1) 和大、小腿( i = 2) 的长度, 在t = T/ 2时刻, 或 ( i = 1, , 4)相对有最小倾角C i ( i = 1, , 4) , 且有(见图2) （5）则肘和膝关节 ( i = 1, , 4) 的坐标和 ( i = 1, , 4) 应满足以下条件: （6） 、 ( i =

12、1, , 4) 随同躯干质心位置的前移协调地变化, 可用的线性函数近似地模拟。利用t = T/2 时刻的条件(2) 和(6) , 导出 （7）其中 (i=1,2) (8)足底支承力的合力作用点P 随着躯干质心的前移沿x 轴由足根向足尖趋近。设x P 为P 的坐标, 此协调动作用以下线性规律近似地模拟: （9） 参数A由步长a 和足长c 确定, 即A= c/a。以上导出的式(1) (3) (7) (9) 为联系各坐标的完整约束条件, 所描绘的运动即作为模式化的稳定步行运动。 图2 支撑足交替时刻的人体姿态设( i = 0, 1, , 4) 为分体的质量,为人体的总质量, 为躯干相对过 与x 轴平

13、行的矢状轴的主惯量矩,、为地面对支承足作用的沿x、 y 轴的摩擦力和法向约束力, 为摩擦力形成的绕z 轴的力偶矩。列出系统的动量定理和相对支点的动量矩定理: （10）方程组可通过对M z 的主动控制作用而自动满足。将式(1) (7) 代入方程(10) , 导出 （11）利用式(3) (7) 导出人体质心坐标x 、 y 、 z 与躯干质心坐标之间的联系: （12）其中 = , = , 且有 （13）利用式(1) (3) (7) (9) (12) 将方程(10d) (10e) 的各项均以 、 及其导数表示, 再代入方程(10a) (10b) , 导出摩擦力随质心坐标、 的变化规律: （14）其中

14、（15）数值计算表明, k 为量级的微量, 可予忽略。摩擦力(14) 的实现可能性受到地面所能提供的最大静摩擦力的限制。设为静摩擦系数, 此限制条件为 （16）将式(14) 代入上式, 略去k , 化作 （17）其中 (18) 不等式(17) 确定的椭圆域即步行运动的动态稳定域。椭圆的半轴与地面静摩擦系数成比例, 且受双臂和双腿摆动的影响, 椭圆中心沿x 轴向后方略偏离支承点。在步行过程中, 人体质心的地面投影保持在此椭圆域以内是实现稳态步行的必要条件。为保证稳定步行的连续性, 左、右足的动态稳定域必须连通, 要求左、右足的动态稳定域均能复盖二椭圆中心和的连线中点O(见图3)。将的坐标代入式(

15、17) , 导出以下步行连续性条件: （19）结论验证将参考Hanavan数据：计算得：当高跟鞋的倾角达到30度左右和跟的长度达到3厘米 才能保证实现穿高跟鞋状态下连续的稳定步行。5.2高跟鞋的高度和倾斜角对舒适性的影响 5.2.1跟高对舒适性的影响随着鞋跟高度增加，人体重心向前移，前足承受的压力增大。跟高3cm左右的中低跟鞋把足后跟的压力向前移一部分，分散后足中的压力，对人体是有利的，可以减缓后跟的疲劳。但是跟高达到7 cm的高跟鞋的前足中的压力过于集中会造成不舒适。跟高的改变是导致足底压力及其分布变化的主要原因，这些变化是鞋跟部压力减小甚至消失”。为了研究跟高对足底压力的影响，选择跟高为5

16、9 cm粗细相同的高跟。实验者年龄24周岁，体重50 kg，身高1.55 m，测试姿势直立静站。通过LABVIEW系统采集存储数据，并对每次静站100 s获得的100个数值取平均值，然后对6个平均值再取平均，得到的各个部位的测量值，如表所示。经观察后，采样点大致符合二次函数所表达的关系。设此二次函数运用Matlab对函数拟合的方法，在0-15cm之间做出拟合曲线并求出表达式。为：（附录1）1) 跟高对后中压力的影响从表可以看出，后中压强随着跟高的变化呈现一定的规律。当跟高在57 cm之间时，后中压强随着随着跟高的增大而增大；当跟高在79 cm之间时，后中压强随着跟高的增大而减小。由此说明，跟高

17、增大一方面使后中压力逐步向前足转移导致压强减小，另一方面使足底与鞋底的接触面积减小导致压强增大，两种趋势共同作用形成以上结果。即在57 cm时压力向前转移的趋势小于接触面积减小的趋势，因而压强增大；在79 cm时压力向前转移的趋势较大，因此后中压强减小。经观察后，采样点大致符合一次函数所表达的关系。设此一次函数为运用Matlab对函数拟合的方法，在0-15cm之间做出拟合曲线并求出表达式。为：（附录2）2) 跟高对前侧压力的影响由表可以看出，当跟高在67 cm时，前侧压强最大，分别向左右递减。当跟高小于6 cm时，整个前足压力减小，且接触面积增大，导致前侧压强小；当跟高大于7 cm时，由于足弓

18、越来越紧绷，导致内纵弓比外纵弓的凸势越加明显，因此虽然前足压力增大，但是大部分压力由比较凸出的前中分担，使得前侧承担少压强小。经观察后，采样点大致符合三次函数所表达的关系。设此三次函数运用Matlab对函数拟合的方法，在0-15cm之间做出拟合曲线并求出表达式。为:（附录3）(3) 跟高对中侧压力的影响从表中可以看出足弓处的中侧压强普遍很小，与赤足时的中侧压强28 kPa相比，跟高使得足弓处承担的压力减小幅度十分明显。而且跟高在59cm变化时，中侧压强没有明显的增大减小趋势，因此可知高跟鞋的中侧压强不是由跟高控制的。经观察后，采样点大致符合一次函数关系。设此一次函数运用Matlab对函数拟合的

19、方法，在0-15cm之间做出拟合曲线并求出表达式。为：（附录4）(4)跟高对前中压力的影响从表可以看出，随着跟高的增加，前中压强一直增大。当跟高增加时前足压力增大面积减小，而前足压力大部分由前中承担，因此前中压强逐渐增大。综合分析可知:当鞋跟高度在3cm左右时，人感觉是最舒适的。5.2.2 不同防水台高度高跟鞋的倾斜角度对舒适性的影响目前市场上许多高跟鞋为了弥补过高的跟带来的不舒适，都增加了鞋底前掌的厚度即防水台。防水台减少了鞋跟的相对高度，降低高跟鞋的倾斜角度，但是防水台减缓作用到底如何呢，测得数据如表。不同倾斜角度对足底压力影响跟高/cm倾斜角/防水台高/cm后中压强/kPa前中压强/kP

20、a前侧压强/kPa中侧压强/kPa828.1046.549.016.03.0823.41.539.540.015.04.0931.0035.053.010.55.0927.21.335.544.510.55.0由表中两组数据可以看出，增加防水台使足底前中压强得到很大的缓解。且通过与跟高对压强的表格中的前中压强和跟高之间的关系排序看，缓解程度大于相对跟高的压力值。带有1.5 cm防水台的8 cm高跟鞋的前中压强比(81.5=6.5 cm)跟高的高跟鞋的前中压强还要小；防水台高13 cm跟高9 cm的高跟鞋，其前中压强比(91.3=7.7 cm)跟高的高跟鞋的前中压强还要小，所以防水台能有效减小高

21、跟鞋造成的前中压力过于集中，有效缓解疲劳。（附录5）综合考虑倾斜角度和防水台高度的关系可以知道在20-30之间的时候感觉最舒适。5.3 维护足弓的生理需要从纵向上，人体足部是向上凸起的，分为内纵弓、外纵弓。足弓造型也是高跟鞋舒适性结构设计必须注意的一个因素，Channa PWitana等人通过比较研究也得出足弓部造型对鞋底舒适性影响很大的结论。5.3.1 外纵弓巧妙的足弓设计可以分担缓解压力，使脚部感觉舒适；而设计不合理的足弓，不但不能分担压力，反而会给脚底施加压力，造成不舒适。通过对人体脚型的观察与测量发现，正常人体的外纵弓有0.40.5 cm的凸量，脚处于水平时足部肌肉放松堆积拱显得小些，

22、但是穿高跟鞋时，外纵弓紧绷，这个凸量很明显。通过试穿调查发现，市场上的高跟鞋的外弧度有的直接呈斜坡状，而不是带有凸量的弧线，这种鞋用于高跟鞋是不舒适的，穿上后感觉中足空落落，少了支撑；还有些鞋外弧度有一定的凸起，但是凸起量很小不能给人体足够的支撑，所以也是不舒适的；外弧度比后踵心到跖关节转折弧线的切线凸出0.5 cm是比较舒适的，可以给中足比较好的支撑，从而分散前足和后足的压力。5.3.2内纵弓出于与外纵弓同样的支撑原理，在某些研究中建议在鞋底内纵弓加一个鞋垫，从而分担一些压力。但是也有研究者表明，这样的做法是不合理的，给内纵弓支撑即一直有个力使弓顶着足弓，使足弓处于张紧状态，势必会导致足弓疲

23、劳。我觉得在内纵弓处加内垫是不合适的，在站立状态时内垫给足一定的支撑，但是运动时足弓必会压迫内垫，相反地内垫会阻碍足弓的运动，所以会使足弓疲劳，不利于运动，更易造成扁平足。5.4 结论综合以上模型的分析可知高跟鞋的合理设计方案应该是：跟高设计为3cm左右，倾斜角度设计在20-30之间，足弓外弧度比后踵心到跖关节转折弧线的切线凸出0.5 cm，这样才能到达稳定性与舒适性的完美结合。但是，考虑到这样会降低高跟鞋的高度，所以可以适当增加防水台的高度以便增加高跟鞋的高度，但应注意此时也要保持角度在20-30之间。六、模型评价与推广6.1模型的评价在建立模型的时候由于为了使分析问题简便而忽略了很多次要因

24、素，或者说选择的模型太过理想化了，在某些情况下这些次要因素很可能对分析结果造成影响。其次，在采集数据的时候采集的数据量不是很大，很可能在一定程度上不能准确或者说全面的反应问题，从而造成一定的误差。不过，所采用的模型简洁明了利于分析问题。得出的结果在一定程度上反应了问题的本质。6.2 推广据统计，穿高跟鞋且经常爬楼梯的女性，膝关节负荷压力是体重的3倍；穿高跟鞋下楼梯时，更可增加7至9倍，可见高跟鞋对健康的危害。专家建议。如果出席正式场合，不得不穿高跟鞋时，再穿，平时则尽可能不穿。为此，我们研究了下面这几种高跟鞋。一种新型高跟鞋，其特征在于鞋身（1）与鞋扣（2）相连，鞋身（1）与底部带螺丝文的鞋跟

25、（3）相连，底部带螺纹的鞋跟（3）与可旋转拧紧的鞋跟（4）相连，鞋跟拧上或取下就可以改变高跟鞋的高度。这样就可以改变高跟鞋的高度。这样，在需要提高身高时，可以增加高跟的高度，在很累时，可以降低高跟的高度，使女性的脚更加舒服。一种三腿高跟鞋，它是在加厚了鞋跟上在装置了一个组装轴，再将具有三条鞋腿的附着件通过组装孔装于鞋跟组装轴上，成为三条鞋腿同时着力并可旋转个条腿位置的三腿高跟鞋。这样，由于三角形具有稳定性，增加了高跟鞋的稳定度，使女性更容易保持平衡。加大了稳固性。实用新型提供一种按摩高跟鞋，其特征在于：在高跟鞋内安装气垫，鞋跟与高跟鞋相连。本实用新型的有益效果是：提供一种按摩高跟鞋，在高本跟鞋

26、跟部安装一个气垫，可以在走路时按摩防止脚跟疼。按摩气垫可以使女性穿高跟鞋时更加的舒服，增加了高跟鞋的舒适性。本实用新型设计一种带缓冲作用的高跟鞋。它是在该高跟鞋鞋底的后端安装有一块与鞋跟吻合的平板，平板下面连接有张力弹簧，张力弹簧下面连接有与鞋跟形状契合的高跟。该高跟在行走、跳跃时对脚跟有很好的缓冲作用，使用方便。 增加了高跟鞋的舒适性。七、参考文献1 唐芳,张海泉，基于LABVIEW系统对鞋底压力的研究，2009年2 唐芳,肖菊霞，高跟鞋鞋底结构优化以改善压力舒适性，2011年3 A lexander, R.McN.,Goldspink, G,Mechanics and Energet ic

27、s of A nimal Locomotion,Chapman & Hall,19774 Vukobratovic,M,Frank,A.A,Jruiceic, D,On the Stability of Biped Locomo tion,IEEETrans,1970,BM E217:252365 Chow, C.K,Jacobson, D.H.,Further Studies of Human Locomotion, Po stural Stability and Control, Math6 吴京，高跟鞋的发展及其对人体的影响，2005年八、 附件附录1syms tx=5;6;7;8;9;

28、y=41;46.5;52.5;46.5;35.0;f=fittype(a*t2+b*t+c,independent,t,coefficients,a,b,c)cfun=fit(x,y,f)xi=0:.1:15;yi=cfun(xi);plot(x,y,r*,xi,yi,b-);附录2syms tx=5;6;7;8;9;y=34.5;41.5;47.5;49;53;f=fittype(a*t+b,independent,t,coefficients,a,b)cfun=fit(x,y,f)xi=0:.1:15;yi=cfun(xi);plot(x,y,r*,xi,yi,b-);附录3syms tx

29、=5;6;7;8;9;y=20;23.5;22.5;16;10.5;f=f=fittype(a*t2+b*t+c,independent,t,coefficients,a,b,c)cfun=fit(x,y,f)xi=0:.1:15;yi=cfun(xi);plot(x,y,r*,xi,yi,b-);附录4syms tx=5;6;7;8;9;y=7;5.5;6.5;3;5;f=fittype(a*t3+b*t2+c*t+d,independent,t,coefficients,a,b,c,d);cfun=fit(x,y,f)xi=0:.1:15;yi=cfun(xi);plot(x,y,r*,x

30、i,yi,b-);附录5x=28.1 23.4 31 27.2;y1=46.5 395 35 35.5;y1=49 40 53 44.5;y1=46.5 395 35 35.5;y2=49 40 53 44.5;y3=16 15 10.5 10.5;y4=4 4 5 5;plot(x,y1)x=23.4 27.3 28.1 31;y1=39.5 35.5 46.5 35;y1=39.5 35.5 46.5 35y2=40 44.5 49 53;y3=15 10.5 16 10.5;y4=4 5 3 5;plot(x,y1)xi=0:.1:15;yi1=interp1(x,y1,xi,spline);plot(xi,yii)plot(xi,yi1)xi=0:.1:90;yi1=interp1(x,y1,xi,spline);plot(xi,yi1)hold onyi2=interp1(x,y2,xi,spline);plot(xi,yi2)plot(xi,yi2,red)yi3=interp1(x,y3,xi,spline);plot(xi,yi3,yellow)yi4=interp1(x,y4,xi,spline);plot(xi,yi4,black)xlabel(倾斜角度)ylabel(压强)ylabel(压强)title(不同倾斜角度对足底压力影响)